3.1: Introducción

La mayoría de sus estudios de ecuaciones diferenciales hasta la fecha han sido el estudio de ecuaciones diferenciales lineales y métodos comunes para resolverlas. Sin embargo, el mundo real es muy no lineal. Entonces, ¿por qué estudiar ecuaciones lineales? Porque se resuelven más fácilmente. Como recordará, podemos usar la propiedad de superposición lineal de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales para obtener soluciones generales. Veremos que a veces podemos aproximar las soluciones de sistemas no lineales con sistemas lineales en pequeñas regiones de espacio de fase.

En general, las ecuaciones no lineales no pueden resolverse obteniendo soluciones generales. Sin embargo, a menudo podemos investigar el comportamiento de las soluciones sin poder encontrar expresiones simples en términos de funciones elementales. Cuando queremos seguir la evolución de estas soluciones, recurrimos a resolver numéricamente nuestras ecuaciones diferenciales. Tales métodos numéricos necesitan ser ejecutados con cuidado y hay muchas técnicas que se pueden utilizar. No entraremos en estas técnicas en este curso. Sin embargo, podemos hacer uso de sistemas de álgebra computacional, o programas de computadora, ya desarrollados para obtener tales soluciones.

Los problemas no lineales ocurren de forma natural. Veremos problemas de muchos de los mismos campos que exploramos en la Sección 2.9. Un ejemplo es el de la dinámica poblacional. Por lo general, tenemos una determinada población\(y(t)\), y la ecuación diferencial que rige el comportamiento de crecimiento de esta población se desarrolla de manera similar a la utilizada anteriormente para problemas de mezcla. Observamos que la tasa de cambio de la población viene dada por la Tasa In menos la Tasa de Salida. El Rate In viene dado por el número de especies nacidas por unidad de tiempo. El Rate Out viene dado por el número que muere por unidad de tiempo.

Se puede obtener un modelo poblacional simple si se asume que estas tasas son lineales en la población. Así, suponemos que la Tasa de Entrada = por y la Tasa de Salida = mi. Aquí hemos denotado la tasa de natalidad como\(b\) y la tasa de mortalidad como\(m\),. Esto da la tasa de cambio de la población como

\[\dfrac{dy}{dt} = by - my \label{3.1} \]

Generalmente, estas tasas podrían depender del tiempo. En el caso de que ambas sean tasas constantes, podemos definir\(k = b − m\) y obtener el modelo exponencial familiar:

\[\dfrac{dy}{dt} = ky \nonumber \]

Esto se resuelve fácilmente y se obtiene crecimiento exponencial (\(k > 0\)) o decaimiento (\(k < 0\)). Este modelo lleva el nombre de Malthus, un clérigo que utilizó este modelo para advertir de la inminente fatalidad de la raza humana si sus prácticas reproductivas continuaban.

Sin embargo, cuando las poblaciones se vuelven lo suficientemente grandes, hay competencia por recursos, como el espacio y la comida, lo que puede llevar a una mayor tasa de mortalidad. Así, la tasa de mortalidad puede ser una función del tamaño de la población,\(m=m(y)\). El modelo más simple sería una dependencia lineal,\(m=\tilde{m}+c y\). Entonces, el modelo exponencial anterior toma la forma

\[\dfrac{dy}{dt} = ky - cy^2 \label{3.2} \]

Esto se conoce como el modelo logístico de crecimiento poblacional. Por lo general,\(c\) es pequeño y el término no lineal agregado realmente no entra en acción hasta que la población se vuelve lo suficientemente grande.

Si bien se puede resolver esta ecuación en particular, es instructivo estudiar el comportamiento cualitativo de las soluciones sin anotar realmente las soluciones explícitas. Dichos métodos son útiles para ecuaciones no lineales más difíciles. Investigaremos algunas ecuaciones simples de primer orden en la siguiente sección. En la siguiente sección presentamos la solución analítica para la completitud.

Reanudaremos nuestros estudios de sistemas de ecuaciones y diversas aplicaciones a lo largo del resto de este capítulo. Veremos que podemos obtener bastante información sobre el comportamiento de las soluciones usando algunos de nuestros métodos anteriores para sistemas lineales.