3.3: Solución de la Ecuación Logística
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La forma general de la ecuación de Riccati es
\[\dfrac{d y}{d t}=a(t)+b(t) y+c(t) y^{2} \label{3.4} \]
Siempre y cuando\(c(t) \neq 0\), esta ecuación se pueda reducir a una ecuación diferencial lineal de segundo orden a través de la transformación
\[y(t)=-\dfrac{1}{c(t)} \dfrac{\dot{x}(t)}{x(t)} \nonumber \]
Demostraremos esto usando el caso simple de la ecuación logística,
\[\dfrac{d y}{d t}=k y-c y^{2} \label{3.5} \]
Dejamos
\[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x} \nonumber \]
Entonces
\ [\ begin {alineado}
\ dfrac {d y} {d t} &=\ dfrac {1} {c}\ izquierda [\ dfrac {\ ddot {\ ddot {x}} {x} -\ izquierda (\ dfrac {\ punto {x}} {x}\ derecha) ^ {2}\ derecha]\\
&=\ dfrac {1} {c}\ izquierda [\ dfrac {\ ddot {x}} {x} - (c y) ^ {2}\ derecha]\\
&=\ dfrac {1} {c}\ dfrac {\ dfrac {\ ddot {x}} {x} -c y^ {2}
\ final {alineado}\ etiqueta {3.6}\]
Insertando esto en la ecuación logística (3.5), tenemos
\(\dfrac{1}{c} \dfrac{\ddot{x}}{x}-c y^{2}=k \dfrac{1}{c}\left(\dfrac{\dot{x}}{x}\right)-c y^{2}\),
o
\[\ddot{x}=k \dot{x} \nonumber \]
Esta ecuación se resuelve fácilmente para dar
\[x(t)=A+B e^{k t} \nonumber \]
Por lo tanto, tenemos la solución a la ecuación logística es
\[y(t)=\dfrac{1}{c} \dfrac{\dot{x}}{x}=\dfrac{k B e^{k t}}{c\left(A+B e^{k t}\right)} \nonumber \]
Parece que tenemos dos constantes arbitrarias. Pero, empezamos con una ecuación diferencial de primer orden y esperamos sólo una constante arbitraria. Sin embargo, podemos resolver esto dividiendo el numerador y el denominador por\(k B e^{k t}\) y definiendo\(C=\dfrac{A}{B}\). Entonces tenemos
\[y(t)=\dfrac{k / c}{1+C e^{-k t}} \label{3.7} \]
demostrando que en realidad sólo hay una constante arbitraria en la solución.
Cabe señalar que esta no es la única manera de obtener la solución a la ecuación logística, aunque sí proporciona una introducción a las ecuaciones de Riccati. Un enfoque más directo sería utilizar la separación de variables en la ecuación logística. El lector debe verificar esto.