3.4: Bifurcaciones para Ecuaciones de Primer Orden

En esta sección presentamos familias de ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma

\[\dfrac{d y}{d t}=f(y ; \mu) \nonumber \]

Aquí\(\mu\) hay un parámetro que podemos cambiar y luego observar los efectos resultantes sobre los comportamientos de las soluciones de la ecuación diferencial. Cuando un pequeño cambio en el parámetro conduce a grandes cambios en el comportamiento de la solución, entonces se dice que el sistema se somete a una bifurcación. Pasaremos a algunos ejemplos genéricos, dando lugar a bifurcaciones especiales de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden.

Ejemplo 3.1. \(y' = y^2 - \mu\).

Primero tenga en cuenta que las soluciones de equilibrio ocurren para\(y^{2}=\mu\). En este problema, hay tres casos a considerar.

1. \(\mu>0\).
   En este caso hay dos soluciones reales,\(y=\pm \sqrt{\mu}\). Tenga en cuenta que\(y^{2}-\mu<0\) para\(|y|<\sqrt{\mu}\). Entonces, tenemos la línea de fase izquierda en la Figura 3.4.
2. \(\mu=0\).
   Solo hay un punto de equilibrio en\(y=0\). La ecuación se convierte\(y^{\prime}=y^{2}\). Es obvio que el lado derecho de esta ecuación nunca es negativo.
   Entonces, la línea de fase se muestra como la línea media en la Figura 3.4.
3. \(\mu<0\).
   En este caso no hay soluciones de equilibrio. Ya que\(y^{2}-\mu>0\), las pendientes para todas las soluciones son positivas como lo indica la última línea de fase en la Figura 3.4.

Figura 3.4. Líneas de fase para\(y^{\prime}=y^{2}-\mu\). A la izquierda\(\mu>0\) y a la derecha\(\mu<0\).

Podemos combinar estos resultados en un diagrama conocido como diagrama de bifurcación. Trazamos las soluciones de equilibrio\(y\) vs\(\mu\). Comenzamos alineando las líneas de fase para\(\mu\) varios's, las mostramos en la Figura 3.5. Tenga en cuenta que el patrón de puntos de equilibrio satisface\(y=\mu^{2}\) como debería. Esto se ve fácilmente como una curva parabólica. La rama superior de esta curva es una colección de equilibrios inestables y la parte inferior es una rama estable. Entonces, podemos disponer de las líneas de fase y simplemente mantener los equilibrios. Sin embargo, dibujaremos la rama inestable como una línea discontinua y la rama estable como una línea continua.

El diagrama de bifurcación se muestra en la Figura 3.6. Este tipo de bifurcación se denomina bifurcación de nodo de silla de montar. El punto\(\mu=0\) en el que cambia el comportamiento se denomina punto de bifurcación. Al\(\mu\) pasar de negativo a positivo, pasamos de no tener equilibrios a tener un punto de equilibrio estable y otro inestable.

Ejemplo 3.2. \(y' = y^2 - \mu y\).

En este ejemplo tenemos dos puntos de equilibrio,\(y=0\) y\(y=\mu\). El comportamiento de las soluciones depende del signo de\(y^{2}-\mu y=y(y-\mu)\). Esto lleva a cuatro casos con los signos indicados de la derivada.

1. \(y>0, y-\mu>0 \Rightarrow y^{\prime}>0\).
2. \(y<0, y-\mu>0 \Rightarrow y^{\prime}<0\).
3. \(y>0, y-\mu<0 \Rightarrow y^{\prime}<0\).
4. \(y<0, y-\mu<0 \Rightarrow y^{\prime}>0\).

Las líneas de fase correspondientes y el diagrama de bifurcación superpuesta se muestran en 3.7. El diagrama de bifurcación se encuentra en la Figura 3.8 y esto se denomina bifurcación transcrítica.

Figura 3.5. Las líneas de fase típicas para\(y' = y^2 - \mu\).

Figura 3.6. Diagrama de bifurcación para\(y' = y^2 - \mu\). Este es un ejemplo de una bifurcación de nodo de silla de montar.

Figura 3.7. Recogida de líneas de fase para\(y' = y^2 - \mu y\).

Ejemplo 3.3. \(y' = y^3 - \mu y\).

Para este último ejemplo, encontramos a partir de\(y^3 - \mu y = y(y^2 - \mu) = 0\) eso hay dos casos.

1. \(\mu < 0\)En este caso solo hay un punto de equilibrio en\(y = 0\). Para valores positivos de\(y\) tenemos eso\(y' > 0\) y para valores negativos de\(y\) tenemos eso\(y'<0\). Por lo tanto, este es un punto de equilibrio inestable.

Figura 3.8. Diagrama de bifurcación para\(y' = y^2 - \mu y\). Este es un ejemplo de bifurcación transcrítica.

2. \(\mu>0\)Aquí tenemos tres equilibrios,\(x=0, \pm \sqrt{\mu}\). Una investigación cuidadosa muestra que\(x=0\). es un punto de equilibrio estable y que los otros dos equilibrios son inestables.

En la Figura 3.9 se muestran las líneas de fase para estos dos casos. A continuación se esboza el diagrama de bifurcación correspondiente en la Figura 3.10. Por razones obvias esto ha sido etiquetado como una bifurcación de horca.

Figura 3.9. Las líneas de fase para\(y' = y^3 - \mu y\). La izquierda corresponde a\(\mu < 0\) y la línea de fase derecha es para\(\mu > 0\)

Figura 3.10. Diagrama de bifurcación para\(y' = y^3 - \mu y\). Este es un ejemplo de enterramiento de horca.