3.5: Péndulo no lineal

En esta sección presentaremos el péndulo no lineal como nuestro primer ejemplo de movimiento periódico en un sistema no lineal. Las oscilaciones son importantes en muchas áreas de la física. Ya hemos visto el movimiento de una masa en un resorte, lo que lleva a movimientos armónicos simples, amortiguados y forzados. Posteriormente exploraremos estos efectos en un sistema simple no lineal. En esta sección introduciremos el péndulo no lineal y determinaremos su periodo de oscilación.

Comenzamos por derivar la ecuación del péndulo. El péndulo simple consiste en una masa puntual que\(m\) cuelga de una cuerda de longitud\(L\) de algún soporte. [Ver Figura 3.11.] Uno tira de la masa hacia atrás a algún ángulo inicial\(\theta_{0}\),, y la libera. El objetivo es encontrar la posición angular en función del tiempo,\(\theta(t)\).

Figura 3.11. Un péndulo simple consiste en una masa puntual $m$ unida a una cadena de longitud\(L\). Se libera desde un ángulo\(\theta_{0}\).

Hay un par de derivaciones posibles. Podríamos usar la Segunda Ley de Movimiento de Newton\(F=m a\), o su análogo rotacional en términos de torque. Usaremos el primero solo para limitar la cantidad de antecedentes físicos necesarios. Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa puntual, el peso y la tensión en la cuerda. El peso apunta hacia abajo y tiene una magnitud de\(m g\), donde\(g\) está el símbolo estándar para la aceleración debido a la gravedad. En la superficie de la tierra podemos tomar esto para ser\(9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) o\(32.2 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\). En la Figura 3.12 se muestra tanto el peso como la tensión que actúa sobre la masa. También se muestra la fuerza neta.

La tensión equilibra la proyección del vector de peso, dejando un componente desequilibrado del peso en la dirección del movimiento. Así, la magnitud de la suma de las fuerzas se encuentra fácilmente a partir de este componente desequilibrado como\(F=m g \sin \theta\).

La Segunda Ley del Movimiento de Newton nos dice que la fuerza neta es la masa multiplicada por la aceleración. Entonces, podemos escribir

\(m \ddot{x}=-m g \sin \theta\)

A continuación, necesitamos relacionarnos\(x\) y\(\theta\). \(x\)es la distancia recorrida, que es la longitud del arco trazada por nuestra masa puntual. La longitud del arco está relacionada con el ángulo, siempre que el ángulo se mida en radianes. A saber,\(x=r \theta\) para\(r=L\). Así, podemos escribir

Figura 3.12. Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa, el peso\(mg\) y la tensión\(T\). Se encuentra que la magnitud de la fuerza neta es\(F = mg \sin \theta\).

\[m L \ddot{\theta}=-m g \sin \theta \nonumber \]

Cancelando las masas, conduce a la ecuación de péndulo no lineal

\[L \ddot{\theta}+g \sin \theta=0 \label{3.8} \]

Existen varias variaciones de la Ecuación (3.8) las cuales serán utilizadas en este texto. El primero es el péndulo lineal. Esto se obtiene haciendo una pequeña aproximación de ángulo. Para ángulos pequeños lo sabemos\(\sin \theta \approx \theta\). Bajo esta aproximación (3.8) se convierte

\[L \ddot{\theta}+g \theta=0 \label{3.9} \]

También podemos hacer que el sistema sea más realista agregando amortiguación. Esto podría deberse a la pérdida de energía en la forma en que la cuerda se une al soporte o debido al arrastre sobre la masa, etc. Suponiendo que la amortiguación es proporcional a la velocidad angular, tenemos ecuaciones para la péndula amortiguada no lineal y lineal amortiguada:

\[L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta=0 \label{3.10} \]

\[L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \theta=0 \label{3.11} \]

Por último, podemos agregar el forzamiento. Imagínese que el soporte está unido a un dispositivo para hacer que el sistema oscile horizontalmente con alguna frecuencia. Entonces podríamos tener ecuaciones como

\[L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta=F \cos \omega t \label{3.12} \]

Analizaremos estos y otros problemas de oscilación más adelante en los ejercicios. Estos se resumen en la siguiente tabla.

Ecuaciones para el movimiento del péndulo

1. Péndulo no lineal:\(L \ddot{\theta}+g \sin \theta=0\).
2. Péndulo no lineal amortiguado:\(L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta=0\).
3. Péndulo Lineal:\(L \ddot{\theta}+g \theta=0\).
4. Péndulo Lineal Amortiguado:\(L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \theta=0\).
5. Péndulo no lineal amortiguado forzado:\(L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \sin \theta= F \cos \omega t\).
6. Péndulo Lineal Amortiguado Forzado:\(L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \theta=F \cos \omega t\).

3.5.1 En busca de soluciones

Antes de volver a estudiar las soluciones de equilibrio del péndulo no lineal, veremos hasta dónde podemos llegar para obtener soluciones analíticas. Primero, investigamos el péndulo lineal simple.

La ecuación de péndulo lineal (3.9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficiente constante. Las raíces de las ecuaciones características son\(r= \pm \sqrt{\dfrac{g}{L}} i\). Así, la solución general toma la forma

\[\theta(t)=c_{1} \cos \left(\sqrt{\dfrac{g}{L}} t\right)+c_{2} \sin \left(\sqrt{\dfrac{g}{L}} t\right) \label{3.13} \]

Observamos que esto suele simplificarse introduciendo la frecuencia angular

\[\omega \equiv \sqrt{\dfrac{g}{L}} \label{3.14} \]

Una consecuencia de esta solución, que se utiliza a menudo en la física introductoria, es una expresión para el período de oscilación de un simple péndulo. Recordemos que el periodo es el tiempo que se tarda en completar un ciclo de la oscilación. Se encuentra que el periodo es

\[T=\dfrac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} \label{3.15} \]

Este valor para el periodo de un péndulo simple se basa en la ecuación del péndulo lineal, la cual se derivó asumiendo una pequeña aproximación de ángulo. ¿Qué tan buena es esta aproximación? ¿Qué se entiende por un ángulo pequeño? Recordamos la aproximación de la serie Taylor de\(\sin \theta\) aproximadamente\(\theta=0\):

\[\sin \theta=\theta-\dfrac{\theta^{3}}{3 !}+\dfrac{\theta^{5}}{5 !}+\ldots \label{3.16} \]

Se puede obtener un límite sobre el error al truncar esta serie a un término después de tomar un curso de análisis numérico. Pero podemos simplemente trazar el error relativo, que se define como

Error relativo\(=\left|\dfrac{\sin \theta-\theta}{\sin \theta}\right| \times 100 \%\).

Una gráfica del error relativo se da en la Figura 3.13. Observamos que un error relativo del uno por ciento corresponde a aproximadamente 0.24 radianes, que es menor que catorce grados. Se brinda mayor discusión al respecto al final de esta sección.

Figura 3.13. El error relativo en porcentaje al aproximar\(\sin \theta\) por\(\theta\).

Pasamos ahora al péndulo no lineal. Primero reescribimos la ecuación (3.8) en la forma más simple

\[\ddot{\theta}+\omega^{2} \sin \theta=0 \label{3.17} \]

A continuación empleamos una técnica que es útil para ecuaciones de la forma

\[\ddot{\theta}+F(\theta)=0 \nonumber \]

cuando es fácil integrar la función\(F(\theta)\). A saber, observamos que

\[\dfrac{d}{d t}\left[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}+\int^{\theta(t)} F(\phi) d \phi\right]=[\ddot{\theta}+F(\theta)] \dot{\theta} \nonumber \]

Para nuestro problema, multiplicamos la Ecuación (3.17) por\(\dot{\theta}\),

\[\ddot{\theta} \dot{\theta} + w^2 \sin \theta \dot{\theta} = 0 \nonumber \]

y tenga en cuenta que el lado izquierdo de esta ecuación es una derivada perfecta. Por lo tanto,

\[\dfrac{d}{d t}\left[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta\right]=0. \nonumber \]

Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis es una constante. Entonces, podemos escribir

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta=c \label{3.18} \]

Resolviendo para\(\dot{\theta}\), obtenemos

\[\dfrac{d \theta}{d t}=\sqrt{2\left(c+\omega^{2} \cos \theta\right)} \nonumber \]

Esta ecuación es una ecuación separable de primer orden y podemos reorganizar e integrar los términos para encontrar que

\[t=\int d t=\int \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\left(c+\omega^{2} \cos \theta\right)}} \label{3.19} \]

Por supuesto, uno necesita ser capaz de hacer la integral. Cuando uno obtiene una solución en esta forma implícita, se dice que el problema ha sido resuelto por cuadraturas. Es decir, la solución se da en términos de alguna integral. En el apéndice de este capítulo mostramos que esta solución puede escribirse en términos de integrales elípticas y derivar correcciones a la fórmula para el periodo de un péndulo.