3.6: La estabilidad de los puntos fijos en sistemas no lineales

Ahora nos interesa estudiar la estabilidad de las soluciones de equilibrio del péndulo no lineal. En el camino desarrollaremos algunos métodos básicos para estudiar la estabilidad de los equilibrios en sistemas no lineales.

Comenzamos con la ecuación diferencial lineal para oscilaciones amortiguadas como se dio anteriormente en la Ecuación (3.9). En este caso, tenemos una ecuación de segundo orden de la forma

\[x'' + bx' + w^2x. \nonumber \]

Usando los métodos del Capítulo 2, esta ecuación de segundo orden puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones de primer orden:

\ [\ begin {alineado}
x' &= y\\
y' &= -by - w^2x.
\ end {alineado}\ etiqueta {3.20}\]

Este sistema tiene sólo una solución de equilibrio,\(x = 0, y = 0\).

Volviendo al péndulo no lineal amortiguado, tenemos el sistema

\ [\ begin {alineado}
x' &= y\\
y' &= -por - w^2\ sin x.
\ end {alineado}\ label {3.21}\]

Este sistema también tiene la solución de equilibrio,\(x=0, y=0\). Sin embargo, en realidad hay un número infinito de soluciones. Los equilibrios se determinan a partir de\(y=0\) y\(-b y-\omega^{2} \sin x=0\). Esto implica que\(\sin x=0\). Hay un número infinito de soluciones:\(x=n \pi, n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) Entonces, tenemos un número infinito de equilibrios,\((n \pi, 0), n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)

A continuación, tenemos que determinar su estabilidad. Para ello necesitamos una teoría más general para los sistemas no lineales. Comenzamos con el sistema\(n-\) dimensional

\[\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n} \label{3.22} \]

Aquí\(\mathbf{f}: \mathrm{R}^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{n}\). Definimos puntos fijos, o soluciones de equilibrio, de este sistema como puntos\(\mathbf{x}^{*}\) satisfactorios

\(\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{0}\)

Ahora se puede determinar la estabilidad en la vecindad de los puntos fijos. Nos interesa lo que sucede con las soluciones de nuestro sistema con condiciones iniciales comenzando cerca de un punto fijo. Podemos representar un punto cerca de un punto fijo en la forma\(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\), donde la longitud de\(\boldsymbol{\xi}\) da una indicación de lo cerca que estamos del punto fijo. Entonces, consideramos que inicialmente,\(|\boldsymbol{\xi}| \ll 1\).

A medida que el sistema evolucione,\(\boldsymbol{\xi}\) va a cambiar. El cambio\(\boldsymbol{\xi}\) en el tiempo se rige a su vez por un sistema de ecuaciones. Podemos aproximar esta evolución de la siguiente manera. En primer lugar, observamos que

\[\mathbf{x}^{\prime}=\boldsymbol{\xi}^{\prime} \nonumber \]

A continuación, tenemos que

\[\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\right) \nonumber \]

Podemos expandir el lado derecho sobre el punto fijo usando una versión multidimensional del Teorema de Taylor. Así, tenemos que

\[\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}+\boldsymbol{\xi}\right)=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)+D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right) \boldsymbol{\xi}+O\left(|\boldsymbol{\xi}|^{2}\right) \nonumber \]

Aquí\(D \mathbf{f}\) está la matriz jacobiana, definida como

\ (D\ mathbf {f} =\ left (\ begin {array} {cccc}
\ dfrac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial x_ {1}} &\ dfrac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial x_ {2}} &\ cdots &\ dfrac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial x_ {n}\\
\ dfrac {\ parcial f_ {2}} {\ parcial x_ {1}} &\ ddots &\ ddots &\ vdots\\ vdots\
\ vdots &\ ddots &\ ddots &\ vdots\
\ dfrac {\ parcial f_ {n}} {\ parcial x_ {1}} &\ cdots &\ cdots &\ dfrac {\ parcial f_ {n}} {\ parcial x_ {n}}
\ end {array}\ derecha)\)

Señalando que\(\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{0}\), entonces tenemos ese sistema (3.22) se convierte en

\[\xi^{\prime} \approx D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right) \boldsymbol{\xi} \label{3.23} \]

Es esta ecuación la que describe el comportamiento del sistema cerca del punto fijo. Decimos que el sistema (3.22) se ha linealizado o que la Ecuación (3.23) es la linealización del sistema (3.22).

Ejemplo 3.4. Como ejemplo de la aplicación de esta linealización, observamos el sistema

\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =-2 x-3 x y\\
&y^ {\ prime} =3 y-y^ {2}
\ end {alineado}\ label {3.24}\]

Primero determinamos los puntos fijos:

\ [\ begin {alineado}
&0=-2 x-3 x y=-x (2+3 y)\\
&0=3 y-y^ {2} =y (3-y)
\ final {alineado}\ etiqueta {3.25}\]

A partir de la segunda ecuación, tenemos eso\(y=0\) o bien\(y=3\). La primera ecuación da entonces\(x=0\) en cualquiera de los casos. Entonces, hay dos puntos fijos:\((0,0)\) y\((0,3)\).

A continuación, linealizamos sobre cada punto fijo por separado. Primero, escribimos la matriz jacobiana.

\ [D\ mathbf {f} (x, y) =\ left (\ begin {array} {cc}
-2-3 y & -3 x\\
0 & 3-2 y
\ end {array}\ derecha)\ label {3.26}\]

1. Caso\((0,0)\) I.

En este caso nos encontramos con que

\ [D\ mathbf {f} (0,0) =\ left (\ begin {array} {cc}
-2 & 0\\
0 & 3
\ end {array}\ right). \ label {3.27}\]

Por lo tanto, la ecuación linealizada se convierte

\ [\ xi^ {\ prime} =\ left (\ begin {array} {cc}
-2 & 0\\
0 & 3
\ end {array}\ right)\ negridsymbol {\ xi}. \ label {3.28}\]

Esto se escribe equivalentemente como el sistema

\ [\ begin {alineado}
&\ xi_ {1} ^ {\ prime} =-2\ xi_ {1}\\
&\ xi_ {2} ^ {\ prime} =3\ xi_ {2}
\ final {alineado}\ etiqueta {3.29}\]

Este es el sistema linealizado sobre el origen. Anote la similitud con el sistema original. Destacamos que las ecuaciones linealizadas son ecuaciones de coeficiente constante y podemos usar métodos de matriz anteriores para determinar la naturaleza del punto de equilibrio. Los valores propios del sistema son obviamente\(\lambda=-2,3\). Por lo tanto, tenemos que el origen es un punto de sillín.

2. Caso II\((0,3)\)

En este caso procedemos como antes. Escribimos la matriz jacobiana y observamos sus valores propios para determinar el tipo de punto fijo. Entonces, tenemos que la matriz jacobiana es

\ [D\ mathbf {f} (0,3) =\ left (\ begin {array} {cc}
-2 & 0\\
0 & -3
\ end {array}\ right)\ text {.}\ label {3.30}\]

Aquí, tenemos los valores propios\(\lambda=-2,-3\). Entonces, este punto fijo es un nodo estable.

Este análisis nos ha dado una silla de montar y un nodo estable. Sabemos cómo es el comportamiento cerca de cada punto fijo, pero tenemos que recurrir a otros medios para decir algo sobre el comportamiento lejos de estos puntos. El retrato de fase para este sistema se da en la Figura 3.14. Deberías poder encontrar el punto de sillín y el nodo. Observe cómo se comportan las soluciones en regiones alejadas de estos puntos.

Figura 3.14. Plano de fase para el sistema\(x^{\prime}=-2 x-3 x y, y^{\prime}=3 y-y^{2}\).

Podemos esperar poder realizar una linealización bajo condiciones generales. Estos se dan en el Teorema de Hartman-Großman:

Teorema 3.5.

Existe un mapa continuo entre los sistemas lineales y no lineales cuando\(D \mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}\right)\) no tiene ningún valor propio con parte real cero.

Generalmente, hay varios tipos de comportamiento que se pueden ver en sistemas no lineales. Se pueden ver sumideros o fuentes, puntos hiperbólicos (sillín), puntos elípticos (centros) o focos. Hemos definido algunos de estos para sistemas planos. En general, si al menos dos valores propios tienen partes reales con signos opuestos, entonces el punto fijo es un punto hiperbólico. Si la parte real de un valor propio distinto de cero es cero, entonces tenemos un centro, o punto elíptico.

Ejemplo 3.6. Regreso al Péndulo No Lineal

Ahora estamos listos para establecer el comportamiento de los puntos fijos del péndulo no lineal amortiguado en la Ecuación (3.21). El sistema era

\ [\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=y\\
y^ {\ prime} &=-b y-\ omega^ {2}\ sin x.
\ end {alineado}\ etiqueta {3.31}\]

Encontramos que hay un número infinito de puntos fijos en\((n \pi, 0), n= 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)
Observamos que la matriz jacobiana es

\ [D\ mathbf {f} (x, y) =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-\ omega^ {2}\ cos x & -b
\ end {array}\ right). \ label {3.32}\]

Evaluando esto en los puntos fijos, encontramos que

\ [D\ mathbf {f} (n\ pi, 0) =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-\ omega^ {2}\ cos n\ pi & -b
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
\ omega^ {2} (-1) ^ {n+1} & -b
\ end {matriz}\ derecha)\ etiqueta {3.33}\]

Hay dos casos a considerar:\(n\) par\(n\) e impar. Para el primer caso, encontramos la ecuación de valor propio

\[\lambda^{2}+b \lambda+\omega^{2}=0 \nonumber \]

Esto tiene las raíces

\[\lambda=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \omega^{2}}}{2} . \nonumber \]

Porque\(b^{2}<4 \omega^{2}\), tenemos dos raíces conjugadas complejas con una parte real negativa. Así, tenemos focos estables para valores incluso de $n$. Si no hay amortiguación, entonces obtenemos centros.
En el segundo caso,\(n\) impar, tenemos que

\[\lambda^{2}+b \lambda-\omega^{2}=0 . \nonumber \]

En este caso encontramos

\[\lambda=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}+4 \omega^{2}}}{2} . \nonumber \]

Ya que\(b^{2}+4 \omega^{2}>b^{2}\), estas raíces serán reales con signos opuestos. Así, tenemos puntos hiperbólicos, o sillas de montar.

En la Figura (3.15) se muestra el plano de fase para el péndulo no lineal no amortiguado. Vemos que tenemos una mezcla de centros y sillas de montar. Hay órbitas para las que hay movimiento periódico. En\(\theta=\pi\) el comportamiento es inestable. Esto se debe a que es difícil mantener la masa vertical. Esto sería apropiado si tuviéramos que reemplazar la cuerda por una varilla sin masa. También hay órbitas sin límites, pasando por todos los ángulos. Estos corresponden a la masa girando alrededor del pivote en una dirección para siempre. Hemos indicado en la figura curvas de solución con las condiciones iniciales\(\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,3),(0,2),(0,1),(5,1)\).
Cuando hay amortiguación, vemos que podemos tener una variedad de otros comportamientos como se ve en la Figura (3.16). En particular, la pérdida de energía lleva a que la masa se asiente alrededor de uno de los puntos fijos estables. Esto lleva a comprender por qué hay un número infinito de equilibrios, a pesar de que físicamente la masa traza un conjunto atado de puntos cartesianos. Hemos indicado en la Figura (3.16) curvas de solución con las condiciones iniciales\(\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,3),(0,2),(0,1),(5,1)\).

Figura 3.15. Plano de fase para el péndulo no lineal no amortiguado. Las curvas de solución se muestran para las condiciones iniciales\((x_0, y_0) = (0, 3), (0, 2), (0, 1), (5, 1)\).