3.7: Modelos de población no lineales
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El modelo Lotka-Volterra toma la forma
\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {x} &= ax -bxy,\\
\ punto {y} &= -dy + cxy
\ final {alineado}\ etiqueta {3.34}\]
En este caso, podemos pensar en la población de conejos (presas) y\(y\) es la población de zorros (depredadores).\(x\) Eligiendo todas las constantes para que sean positivas, podemos describir los términos.
- \(ax\): Cuando se deja sola, la población de conejos crecerá. Así\(a\) es la tasa de crecimiento natural sin depredadores.
- \(-dy\): Cuando no hay conejos, la población de zorros debe decaer. Por lo tanto, el coeficiente necesita ser negativo.
- \(-b x y\): Añadimos un término no lineal correspondiente al agotamiento de los conejos cuando los zorros están alrededor.
- \(cxy\): Cuantos más conejos haya, más comida para los zorros. Entonces, agregamos un término no lineal dando lugar a un incremento en la población de zorros.
El análisis del modelo Lotka-Volterra comienza con la determinación de los puntos fijos. Entonces, tenemos de la Ecuación (3.34)
\ [\ comenzar {reunido}
x (a-b y) =0\\
y (-d+c x) =0.
\ final {reunido}\ etiqueta {3.35}\]
Por lo tanto, el origen y\(\left(\dfrac{d}{c} \dfrac{a}{b}\right)\) son los puntos fijos.
A continuación, determinamos su estabilidad, por linealización sobre los puntos fijos. Podemos usar la matriz jacobiana, o podríamos simplemente expandir el lado derecho de cada ecuación en (3.34). La matriz jacobiana es\(D f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}a-b y & -b x \\ c y & -d+c x\end{array}\right)\).
Evaluando en cada punto fijo, tenemos
\ [\ begin {aligned}
D f (0,0) &=\ left (\ begin {array} {cc}
a & 0\\
0 & -d
\ end {array}\ right)
\ end {alineada}\ label {3.36}\]
\ [\ begin {alineado}
D f\ left (\ dfrac {d} {c},\ dfrac {a} {b}\ right) &=\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -\ dfrac {b d} {c}\
\ dfrac {a c} {b} & 0
\ end {array}\ derecha).
\ end {alineado}\ etiqueta {3.37}\]
Los valores propios de (3.36) son\(\lambda = a,-d\). Entonces, el origen es un punto de silla de montar. Los valores propios de (3.37) satisfacen\(\lambda^2 + ad = 0\). Entonces, el otro punto es un centro. En la Figura 3.17 se muestra un campo de dirección de muestra para el sistema Lotka-Volterra.
Otra forma de linealizar es expandir las ecuaciones sobre los puntos fijos. A pesar de que esto equivale a computar la matriz jacobiana, a veces puede ser más rápida.
