3.8: Límite de ciclos

Hasta el momento nos acaban de preocupar las soluciones de equilibrio y su comportamiento. Sin embargo, los puntos fijos asintóticamente estables no son los únicos atractores. Existen otros tipos de soluciones, conocidas como ciclos límite, hacia los que puede tender una solución. En esta sección veremos algunos ejemplos de estas soluciones periódicas.

Tales soluciones son de naturaleza común. Rayleigh investigó el problema

\[x'' + c \left( \dfrac{1}{3} (x')^2 - 1 \right) x' + x = 0 \label{3.38} \]

en el estudio de las vibraciones de una cuerda de violín. Van der Pol estudió un circuito eléctrico, modelando este comportamiento. Otros han investigado sistemas biológicos, como los sistemas neuronales, las reacciones químicas, como la cinética de Michaelis-Menton o los sistemas que conducen a oscilaciones químicas. Uno de los modelos más importantes en el estudio histórico de los sistemas dinámicos es el del movimiento planetario y la investigación de la estabilidad de las órbitas planetarias. Como es bien sabido, estas órbitas son periódicas.

Los ciclos límite son soluciones periódicas aisladas hacia las que los estados vecinos pueden tender cuando son estables. Un ejemplo clave que muestra un ciclo límite es dado por el sistema

\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =\ mu x-y-x\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)\\
&y^ {\ prime} =x+\ mu y-y\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)
\ end {alineado}\ label {3.39}\]

Es claro que el origen es un punto fijo. La matriz jacobiana se da como

\ [\ nombreoperador {Df} (0,0) =\ left (\ begin {array} {cc}
\ mu & -1\\
1 &\ mu
\ end {array}\ derecha)\ label {3.40}\]

Se encuentra que los valores propios son\(\lambda=\mu \pm i\). Porque\(\mu=0\) tenemos un centro Para\(\mu<0\) tenemos una espiral estable y para\(\mu>0\) tenemos una espiral inestable. Sin embargo, esta espiral no vaga hacia el infinito. Vemos en la Figura 3.18 que el punto de equilibrio es una espiral. Sin embargo, en la Figura 3.19 es claro que la solución no sale en espiral hasta el infinito. Está delimitado por un círculo.

Figura 3.18. Plano de fase para sistema (3.39) con\(\mu = 0.4\).

Figura 3.19. Plano de fase para sistema (3.39) con\(\mu = 0.4\) mostrar que la espiral interna está delimitada por un ciclo límite.

En realidad se puede encontrar el radio de este círculo. Esto requiere reescribir el sistema en forma polar. Recordemos del Capítulo 2 que esto se hace usando

\[r r^{\prime}=x x^{\prime}+y y^{\prime}, \label{3.41} \]

\[r^{2} \theta^{\prime}=x y^{\prime}-y x^{\prime}. \label{3.42} \]

Insertando el sistema (3.39) en estas expresiones, tenemos

\[r r^{\prime}=\mu r^{2}-r^{4}, \quad r^{2} \theta^{\prime}=r^{2}, \nonumber \]

o

\[r^{\prime}=\mu r-r^{3}, \theta^{\prime}=1. \label{3.43} \]

Por supuesto, para una\(r=\) const circular, por lo tanto necesitamos mirar las soluciones de equilibrio de la Ecuación (3.43). Esto equivale a resolver\(\mu r-r^{3}=0\) para\(r\). Las soluciones de esta ecuación son\(r=0, \pm \sqrt{\mu}\). Solo necesitamos mantener la solución de un radio positivo,\(r=\sqrt{\mu}\). En las Figuras 3.18-3.19\(\mu=0.4\), por lo que esperamos un círculo con\(r=\sqrt{0.4} \approx 0.63\). La\(\theta\) ecuación solo nos dice que seguimos el ciclo límite en sentido contrario a las agujas del reloj.

Los ciclos límite no son siempre círculos. En las Figuras 3.20-3.21 mostramos el comportamiento del sistema Rayleigh (3.38) para\(c=0.4\) y\(c=2.0\). En este caso vemos que las soluciones tienden hacia un ciclo límite no circular.

Un ligero cambio del sistema Rayleigh lleva a la ecuación de van der Pol:

\[x^{\prime \prime}+c\left(x^{2}-1\right) x^{\prime}+x=0 \label{3.44} \]

Figura 3.20. Plano de fase para el sistema Rayleigh (3.38) con\(c = 0.4\).

El ciclo límite para\(c = 2.0\) se muestra en la Figura 3.22.

Figura 3.21. Plano de fase para el sistema Rayleigh (3.38) con\(c = 2.0\).

Figura 3.22. Plano de fase para el sistema Rayleigh (3.44) con\(c = 0.4\).

¿Se puede determinar con anticipación si un sistema no lineal dado tendrá un ciclo límite? Para responder a esta pregunta, introduciremos algunas definiciones.

Figura 3.23. Un boceto que representa la idea de trayectoria, u órbita, pasando por x.

Primero describimos diferentes trayectorias y familias de trayectorias. Un flujo encendido\(R^2\) es una función\(\phi\) que satisface lo siguiente

1. \(\phi(x,t)\)es continuo en ambos argumentos.
2. \(\phi(x,0) = x\)para todos\(x \in R^2\).
3. \(\phi(\phi(x,t_1),t_2) = \phi(x, t_1 + t_2)\).

La órbita, o trayectoria, a través de x se define como\(\gamma = {\phi(x,t)|t \in I}\). En la Figura 3.23 demostramos estas propiedades. Para\(t=0, \phi(x,0) = x\). Al aumentar\(t\), se sigue la trayectoria hasta llegar al punto\(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}\right)\). Continuando\(t_{2}\) más, uno está entonces en\(\phi\left(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}\right), t_{2}\right)\). Por la tercera propiedad, esto es lo mismo que ir de\(\mathbf{x}\) a\(\phi\left(\mathbf{x}, t_{1}+t_{2}\right)\) para\(t=t_{1}+t_{2}\).

Una vez definidas las órbitas, necesitamos definir el comportamiento asintótico de la órbita tanto para tiempos grandes positivos como negativos. Definimos la semiórbita positiva a través de\(\mathbf{x}\) como\(\gamma^{+}=\{\phi(\mathbf{x}, t) \mid t>0\}\). La semiórbita negativa a través\(\mathbf{x}\) se define como\(\gamma^{-}=\{\phi(\mathbf{x}, t) \mid t<0\}\). Así, tenemos\(\gamma=\gamma^{+} \cup \gamma^{-}\).

El conjunto de límites positivos, o\(\omega\) -limit set, de punto\(\mathbf{x}\) se define como

\[\Lambda^{+}=\left\{\mathbf{y} \mid \text { there exists a sequence of } t_{n} \rightarrow \infty \text { such that } \phi\left(\mathbf{x}, t_{n}\right) \rightarrow \mathbf{y}\right\} . \nonumber \]

Los\(\mathbf{y}\)'s se conocen como puntos\(\omega\) -límite. Esto se muestra en la Figura 3.24.

Figura 3.24. Un boceto que representa un conjunto\(\omega\) -limit. Tenga en cuenta que las órbitas tienden hacia el conjunto a medida que\(t\) aumenta.

Figura 3.25. Un boceto que representa un conjunto\(\alpha\) -limit. Tenga en cuenta que las órbitas se alejan del conjunto a medida que\(t\) aumenta.

Del mismo modo, definimos el conjunto de límites negativos, o conjuntos de límite alfa, de punto\(\mathbf{x}\) se define como

\[\Lambda^{-}=\left\{\mathbf{y} \mid\right.$ there exists a sequences of $t_{n} \rightarrow-\infty \text{ such that } \left.\phi\left(\mathbf{x}, t_{n}\right) \rightarrow \mathbf{y}\right\} \nonumber \]

y las y correspondientes son\(\alpha\) -puntos límite. Esto se muestra en la Figura 3.25.
Hay varios tipos de órbitas que un sistema podría poseer. Un ciclo u órbita periódica es cualquier órbita cerrada que no es un punto de equilibrio. Una órbita periódica es estable si por cada vecindario de la órbita tal que todas las órbitas cercanas permanezcan dentro del vecindario. De lo contrario, es inestable. La órbita es asintóticamente estable si todas las órbitas cercanas convergen a la órbita periódica.

Un ciclo límite es un ciclo que es el conjunto\(\alpha\) o\(\omega\) -limit de alguna trayectoria que no sea el ciclo límite. Un ciclo límite\(\Gamma\) es estable si\(\Lambda^{+}=\Gamma\) para todos\(\mathbf{x}\) en algún barrio de\(\Gamma\). Un ciclo límite\(\Gamma\) es inestable si\(\Lambda^{-}=\Gamma\) para todos\(\mathbf{x}\) en algún vecindario de\(\Gamma\). Por último, un ciclo de límites es semistable si está atrayendo por un lado y repeliendo por el otro lado. En los ejemplos anteriores, vimos ciclos límite que eran estables. Las figuras 3.24 y 3.25 representan ciclos límite estables e inestables, respectivamente.

Ahora declaramos un teorema que describe el tipo de órbitas que podríamos encontrar en nuestro sistema.

Teorema 3.7. Teorema de Poincaré-Bendixon

\(\gamma^{+}\)Déjese contener en una región acotada en la que hay finitamente muchos puntos críticos. Entonces\(\Lambda^{+}\) es

1. un único punto crítico;
2. una sola órbita cerrada;
3. un conjunto de puntos críticos unidos por órbitas heteroclínicas [Comparar las Figuras 3.27 y??.]

Figura 3.26. Una órbita heteroclínica que conecta dos puntos críticos.

Nos interesa determinar cuándo pueden existir, o no, ciclos límite. Una consecuencia del Teorema de Poincaré-Bendixon viene dada por el siguiente corolario.

Corolario Let\(D\) Ser un conjunto cerrado acotado que no contenga puntos críticos y supongamos que\(\gamma^{+} \subset D\). Entonces existe un ciclo límite contenido en\(D\).
Criterios más específicos nos permiten determinar si existe un ciclo límite en una región determinada. Estos están dados por Criterios de Dulac y Criterios de Bendixon.

Figura 3.27. Una órbita homoclínica regresando al punto que dejó.

Criterios de Dulac

Considere el sistema plano autónomo

\[x' = f(x,y), \quad y' = g(x,y) \nonumber \]

y una función continuamente diferenciable\(\psi\) definida en una región anular\(D\) contenida en algún conjunto abierto. Si

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi f) + \dfrac{\partial}{\partial y} (\psi g) \nonumber \]

no cambia de inicio de sesión\(D\), entonces hay como máximo un ciclo límite contenido completamente en\(D\).

Criterios de Bendixon

Considere el sistema plano autónomo

\[x' = f(x,y), \quad y' = g(x,y) \nonumber \]

definido en un dominio simplemente conectado de\(D\) tal manera que

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi f) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\psi g) \neq 0 \nonumber \]

pulg\(D\). Entonces no hay ciclos límite enteramente en\(D\).

Estos se demuestran fácilmente usando el Teorema de Green en el plano. Demostramos los Criterios de Bendixon. Vamos\(\mathbf{f}=(f, g)\). Supongamos que\(\Gamma\) es una órbita cerrada que se encuentra en\(D\). Que\(S\) sea el interior de\(\Gamma\). Entonces

\ [\ begin {alineado}
\ int_ {S}\ nabla\ cdot\ mathbf {f} d x d y &=\ oint_ {\ Gamma} (f d y-g d x)\\
&=\ int_ {0} ^ {T} (f\ punto {y} -g\ punto {x}) d t\
&=\ int_ {0} ^ {T} (g-f g f) d t=0
\ final {alineado}\ etiqueta {3.45}\]

Entonces, si no\(\nabla \cdot \mathbf{f}\) es idénticamente cero y no cambia de inicio de sesión\(S\), entonces desde la continuidad de\(\nabla \cdot \mathbf{f}\) adentro\(S\) tenemos que el lado derecho arriba es positivo o negativo. Así, tenemos una contradicción y no hay ninguna órbita cerrada en su interior\(D\).

Ejemplo 3.8.

Considere el ejemplo anterior en (3.39) con\(\mu=1\).

\ [\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=x-y-x\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)\\
y^ {\ prime} &=x+y-y\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha).
\ end {alineado}\ etiqueta {3.46}\]

Ya sabemos que existe un ciclo límite en\(x^{2}+y^{2}=1\). Un simple cómputo da que

\[\nabla \cdot \mathbf{f}=2-4 x^{2}-4 y^{2}. \nonumber \]

Para un anillo arbitrario\(a<x^{2}+y^{2}<b\), tenemos

\[2-4 b<\nabla \cdot \mathbf{f}<2-4 a. \nonumber \]

Para\(a=3 / 4\) y\(b=5 / 4,-3<\nabla \cdot \mathbf{f}<-1\). Así,\(\nabla \cdot \mathbf{f}<0\) en el anillo\(3 / 4<x^{2}+y^{2}<5 / 4\). Por lo tanto, por Criterios de Dulac hay como máximo un ciclo límite en este anillo.

Ejemplo 3.9.

Considerar el sistema

\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =y\\
&y^ {\ prime} =-a x-b y+c x^ {2} +d y^ {2}
\ final {alineado}\ etiqueta {3.47}\]

Vamos\(\psi(x, y)=e^{-2 d x}\). Entonces,

\[\dfrac{\partial}{\partial x}(\psi y)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\psi\left(-a x-b y+c x^{2}+d y^{2}\right)\right)=-b e^{-2 d x} \neq 0 \nonumber \]

Concluimos por Criterios de Bendixon que no hay ciclos límite para este sistema.