1.5.E: Funciones Lineales y Afín (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\) ser vectores en\(\mathbb{R}^{m}\) y definir\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) por

\[ L(\mathbf{x})=\left(\mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{x}, \ldots, \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{x}\right). \nonumber \]

Mostrar que\(L\) es lineal. Cómo se\(L\) ve en los casos especiales

1. \(m=n=1 ?\)
2. \(n=1 ?\)
3. \(m=1 ?\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada una de las siguientes funciones\(f\), encuentre la dimensión del espacio de dominio, la dimensión del espacio de rango y indique si la función es lineal, afín o ninguna.

1. \(f(x, y)=(3 x-y, 4 x, x+y)\)
2. \(f(x, y)=(4 x+7 y, 5 x y)\)
3. \(f(x, y, z)=(3 x+z, y-z, y-2 x)\)
4. \(f(x, y, z)=(3 x-4 z, x+y+2 z)\)
5. \(f(x, y, z)=\left(3 x+5, y+z, \frac{1}{x+y+z}\right)\)
6. \(f(x, y)=3 x+y-2\)
7. \(f(x)=(x, 3 x)\)
8. \(f(w, x, y, z)=(3 x, w+x-y+z-5)\)
9. \(f(x, y)=(\sin (x+y), x+y)\)
10. \(f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, x-y, x^{2}-y^{2}\right)\)
11. \(f(x, y, z)=(3 x+5, y+z, 3 x-z+6, z-1)\)

Contestar

a) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3;\(f\) es lineal

(b) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no\(f\) es lineal ni afín

(c) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 3;\(f\) es lineal

(d) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

e) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 4;\(f\) es afín

(f) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 1;\(f\) es afín

(g) Dimensión del espacio de dominio = 1; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

(h) Dimensión del espacio de dominio = 4; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

(i) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no\(f\) es lineal ni afín

(j) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3; no\(f\) es lineal ni afín

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Para cada una de las siguientes funciones lineales\(L\), encuentra una matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\).

1. \(L(x, y)=(x+y, 2 x-3 y)\)
2. \(L(w, x, y, z)=(x, y, z, w)\)
3. \(L(x)=(3 x, x, 4 x)\)
4. \(L(x)=-5 x\)
5. \(L(x, y, z)=4 x-3 y+2 z\)
6. \(L(x, y, z)=(x+y+z, 3 x-y, y+2 z)\)
7. \(L(x, y)=(2 x, 3 y, x+y, x-y, 2 x-3 y)\)
8. \(L(x, y)=(x, y)\)
9. \(L(w, x, y, z)=(2 w+x-y+3 z, w+2 x-3 z)\)

Contestar

(a)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
1 & 1\\
2 & -3
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
2 & 1 & -1 & 3\\
1 & 2 & 0 & -3
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (M=\ left [\ begin {array} {l}
3\\
1\\
4
\ end {array}\ right]\)

d)\(M=[-5]\)

(e)\ (M=\ left [\ begin {array} {lll}
4 & -3 & 2
\ end {array}\ right]\)

(f)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 1 & 1\\
3 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2
\ end {array}\ derecha]\)

(g)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
2 & 0\\
0 & 3\\
1 & 1\\
1 & -1\\
2 & -3
\ end {array}\ derecha]\)

(h)\ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\)

(i)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
2 & 1 & -1 & 3\\
1 & 2 & 0 & -3
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada una de las siguientes funciones afín\(A\), encuentra una matriz\(M\) y un vector\(\mathbf{b}\) tal que\(A(\mathbf{x})=M \mathbf{x}+\mathbf{b}\).

1. \(A(x, y)=(3 x+4 y-6,2 x+y-3)\)
2. \(A(x)=3 x-4\)
3. \(A(x, y, z)=(3 x+y-4, y-z+1,5)\)
4. \(A(w, x, y, z)=(1,2,3,4)\)
5. \(A(x, y, z)=3 x-4 y+z-1\)
6. \(A(x)=(3 x,-x, 2)\)
7. \(A\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+1, x_{1}-x_{3}+1, x_{2}+x_{3}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Multiplica lo siguiente.

(a)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
1\\
2\\
-3
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-1 & 2\\
3 & -2\\
-1 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
3\\
-1
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 1-3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
2\\
3\
-2\\
1
\ end {array}\ right]\)

(d)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
2\\
-1\
2
\ end {array}\ right]\)

Contestar

(a)\ (\ left [\ begin {array} {r}
-4\\
4
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {c}
-5\\
11\
-4
\ end {array}\ right]\)

c)\([3]\)

(d)\ (\ left [\ begin {array} {c}
2\\
10\\
3
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Let\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) Ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflexión a través del eje horizontal. Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflejo a través de la línea\(y=x\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

Contestar

\ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dejar\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflejo a través de la línea\(y=-x\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

Contestar

\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dejar\(R_{\theta}\) definirse como en (1.5.12).

1. Demuéstrale eso para cualquiera\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\),\(\left\|R_{\theta}(\mathbf{x})\right\|=\|\mathbf{x}\| \).
2. Para cualquiera\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\), deja\( \alpha \) ser el ángulo entre\(\mathbf{x}\) y\(R_{\theta}(\mathbf{x})\). Demostrar eso\(\cos (\alpha)= \cos(\theta)\). Junto con (a), esto verifica que\(R_{\theta}(\mathbf{x})\) es la rotación de\(\mathbf{x}\) a través de un ángulo θ.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar\(S_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que gira un vector en\(\mathbf{x}\) sentido horario a través de un ángulo\(\theta\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(S_{\theta}(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

Contestar

\ (M=\ izquierda [\ begin {array} {rr}
\ cos (\ theta) &\ sin (\ theta)\\
-\ sin (\ theta) &\ cos (\ theta)
\ end {array}\ derecha]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Dada una función\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), llamamos al conjunto

\[ \left\{\mathbf{y}: \mathbf{y}=f(\mathbf{x}) \text { for some } \mathbf{x} \text { in } \mathbb{R}^{m}\right\} \nonumber \]

la imagen, o rango, de\(f\).

1. Supongamos que\(L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es lineal con\(L(1) \neq \mathbf{0}\). Mostrar que la imagen de\(L\) es una línea en la\(\mathbb{R}^{n}\) que pasa a través\(\mathbf{0}\).
2. Supongamos que\(L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es lineal\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right)\) y y\(L\left(\mathbf{e}_{2}\right)\) son linealmente independientes. Demostrar que la imagen de\(L\) es un plano en el\(\mathbb{R}^{n}\) que pasa a través\(\mathbf{0}\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dada una función\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\), llamamos al conjunto

\[ \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, x_{m+1}\right): x_{m+1}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right\} \nonumber \]

la gráfica de\(f\). Mostrar que si\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\) es lineal, entonces la gráfica de\(L\) es un hiperplano en\(\mathbb{R}^{m+1}\).