1.6.E: Operaciones con Matrices (Ejercicios)
- Page ID
- 111745
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Vamos\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
2 & 3\\
-2 & 1\\
4 & -1
\ end {array}\ right]\) y\ (N=\ left [\ begin {array} {rr}
3 & -2\\
1 & 0\\
2 & -5
\ end {array}\ right]\). Evalúe lo siguiente.
(a)\(3M\)
b)\(M-N\)
c)\(2 M+N\)
(d)\(2 N-6 M\)
- Contestar
-
(a)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
6 & 9\\
-6 & 3\\
12 & -3
\ end {array}\ right]\)(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-1 & 5\\
-3 & 1\\
2 & 4
\ end {array}\ right]\)(c)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
7 & 4\\
-3 & 2\\
10 & -7
\ end {array}\ right]\)(d)\ (\ left [\ begin {array} {cc}
-14 & 18\\
-10 & 2\\
-4 & 28
\ end {array}\ right]\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Evaluar los siguientes productos de matriz.
(a)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
3 & 2\\
-1 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
2\\
3
\ end {array}\ right]\)
(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
2 & -3\\
1 & 4
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}
1 & 4\\
2 & -2
\ end {array}\ right]\)
(c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
2 & 1 & 3\\
-3 & 2 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rrr}
3 & 4 & -1\\
0 & 2 & 4\\
2 & 1 & -2
\ end {array}\ right]\)
(d)\ (\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 2 & 3 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}
2 & 1\\
3 & 1\\
-2 & 4\\
0 & -4
\ end {array}\ right]\)
- Contestar
-
(a)\ (\ left [\ begin {array} {c}
12\\
1
\ end {array}\ right]\)(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-4 & 14\\
9 & -4
\ end {array}\ right]\)(c)\ (\ left [\ begin {array} {ccr}
12 & 13 & -4\\
-7 & -7 & 9
\ end {array}\ right]\)(d)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
2 & 19
\ end {array}\ right]\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Supongamos\(L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) y\(K: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) están definidos por
\[ L(x, y, z)=(2 x+3 y, y-x+2 z, x+2 y-z) \nonumber \]
y
\[ K(x, y, z)=(2 x+4 y-3 z, x+y+z, 3 x-y+4 z). \nonumber \]
Encuentre las matrices para las siguientes funciones lineales.
(a)\(3 L\)
b)\(L+K\)
c)\(2 L-K\)
(d)\(K+2 L\)
(e)\(K \circ L\)
f)\(L \circ K\)
- Contestar
-
(a)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
6 & 9 & 0\\
-3 & 3 & 6\\
3 & 6 & 3 & 3
\ end {array}\ derecha]\)(b)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
4 & 7 & -3\\
0 & 2 & 3\\
4 & 1 & 3
\ end {array}\ derecha]\)(c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
2 & 2 & 3\\
-3 & 1 & 3\\
-1 & 5 & -6
\ end {array}\ right]\)(d)\ (\ left [\ begin {array} {rcr}
6 & 10 & -3\\
-1 & 3 & 5\\
5 & 3 & 2
\ end {array}\ derecha]\)(e)\ (\ left [\ begin {array} {ccc}
-3 & 4 & 11\\
2 & 6 & 1\\
11 & 16 & -6
\ end {array}\ right]\)(f)\ (\ left [\ begin {array} {ccc}
7 & 11 & -3\\
5 & -5 & 12\\
1 & 7 & -5
\ end {array}\ right]\)
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Let\(\mathbb{R}_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) Ser la función lineal que gira un vector en\(\mathbb{R}^{2}\) sentido antihorario a través de un ángulo θ. En la Sección 1.5 vimos que
\ [R_ {\ theta} (x, y) =\ left [\ begin {array} {rr}
\ cos (\ theta) & -\ sin (\ theta)\\ sin (
\ theta)\\ sin (\ theta) &\ cos (
\ theta)\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ derecha]. \ nonumber\]
Demostrar que la matriz para\(R_{\theta} \circ R_{\alpha}\) es la misma que la matriz para\(R_{\theta+\alpha}\). En otras palabras, demuéstralo\(R_{\theta} \circ R_{\alpha}=R_{\theta+\alpha}\).
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Compute los determinantes de las siguientes matrices.
(a)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
2 & 3\\
1 & 4
\ end {array}\ right]\)
(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-3 & -2\\
1 & 2
\ end {array}\ right]\)
(c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
2 & 3 & 1\\
1 & 2 & 9\\
5 & -3 & -1
\ end {array}\ right]\)
(d)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
-1 & 2 & -1\\
3 & 1 & 0\\
5 & -4 & 0
\ end {array}\ right]\)
(e)\ (\ left [\ begin {array} {rrrr}
1 & 2 & -1 & 3\\
4 & 3 & -2 & 1\\
1 & 4 & -4 & 3\
1 & 3 & 3 & 1
\ end {array}\ derecha]\)
(f)\ (\ left [\ begin {array} {rrrrr}
1 & 2 & -2 & 3 & 1\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
-3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 5\\
1 & 5 & 2 & 1 & 0\
6 & -5 & 0 & 2 & -4
\ end {matriz}\ derecha]\)
- Contestar
-
a) 5
b) -4
c) 175
d) 17
e) -143
f) 300
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^{2}\) con vértices en (1, −2), (3, −1), (4, 1) y (2, 0).
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Encuentra el volumen del paralelepípedo\(\mathbb{R}^{3}\) con los vértices inferiores en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−1, 4, 3) y (−2, 2, 2) y los vértices superiores en (1, 0, 5), (2 , 2, 6), (−1, 3, 7) y (−2, 1, 6).
- Contestar
-
32
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Dejar\(P\) ser el paralelepípedo de 4 dimensiones con bordes adyacentes\(\mathbf{a}_{1}=(2,1,2,1)\),\(\mathbf{a}_{2}=(-2,0,1,1)\),\(\mathbf{a}_{3}=(1,1,3,6)\), y\(\mathbf{a}_{4}=(-3,1,5,0)\). Encuentra el volumen de\(P\).
- Contestar
-
8
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Encuentra\(2 \times 2\) matrices\(A\) y\(B\) para las cuales\(A B \neq B A\).
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
Verificar que (1.6.25) y (1.6.26) se mantengan para todos\(2 \times 2\) y\(3 \times 3\) matrices.
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
Una\(n \times n\) matriz\(M=\left[a_{i j}\right]\) se llama matriz diagonal si es\(a_{i j}=0\) para todos\(i \neq j\). Mostrar que si\(M\) es una matriz diagonal, entonces\(\operatorname{det}(M)=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}\).
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
Si\(M\) es una\(n \times m\) matriz, entonces la\(m \times n\) matriz\(M^{T}\) cuyas columnas son las filas de\(M\) se llama la transposición de\(M\). Por ejemplo, si
\ [M=\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
3 & 4\\
5 & 6
\ end {array}\ derecha],\ nonumber\]
entonces
\ [M^ {T} =\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6
\ end {array}\ right]. \ nonumber\]
(a) Demostrar que para una\(2 \times 2\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\).
(b) Demostrar que para una\(3 \times 3\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\). (Pista: Usando (1.6.26), expanda\(\operatorname{det}(M)\) a lo largo de la primera fila y\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)\) a lo largo de la primera columna.)
(c) Utilizar inducción para demostrar que para cualquier\(n \times n\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\). (Pista: Tenga en cuenta que\(\left(M^{T}\right)_{i j}=\left(M_{j i}\right)^{T}\).)
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
Dejar\(\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) y\(\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\) ser vectores en\(\mathbb{R}^{3}\) y dejar\(\mathbf{e}_{1}\),\(\mathbf{e}_{2}\), y\(\mathbf{e}_{3}\) ser los vectores base estándar para\(\mathbb{R}^{3}\). Mostrar que aplicar (1.6.20) a la matriz
\ [\ left [\ begin {array} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}\
x_ {1} & x_ {2} & x_ {3}\\
y_ {1} & y_ {2} & y_ {3}
\ end {array}\ nono]\ umber\]
rendimientos\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}\). Discutir lo que es correcto y lo que es incorrecto sobre la declaración
\ [\ mathbf {x}\ veces\ mathbf {y} =\ nombreoperador {det}\ left [\ begin {array} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}\\
x_ {1} & x_ {2} & x_ {3}\\
y_ {1} & y_ {2} & y_ {3}
\ end {array}\ right]. \ nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
Mostrar que el conjunto de todos los puntos\(\mathbf{x}=(x, y, z)\) en los\(\mathbb{R}^{3}\) que satisfacer la ecuación
\ [\ nombreoperador {det}\ left [\ begin {array} {rrr}
x & y & z\\
1 & 2 & -1\\
3 & 1 & 2
\ end {array}\ derecha] =0\ nonumber\]
es un plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, −1) y (3, 1, 2).
- Contestar
-
Este es el conjunto de todos los puntos que satisfacen\(x-y-z=0\).
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
Verificar directamente que si\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{p}\) y\(K: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) son funciones lineales, entonces también\(K \circ L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es una función lineal.