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LibreTexts Español

1.6.E: Operaciones con Matrices (Ejercicios)

  • Page ID
    111745
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Vamos\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
    2 & 3\\
    -2 & 1\\
    4 & -1
    \ end {array}\ right]\) y\ (N=\ left [\ begin {array} {rr}
    3 & -2\\
    1 & 0\\
    2 & -5
    \ end {array}\ right]\). Evalúe lo siguiente.

    (a)\(3M\)

    b)\(M-N\)

    c)\(2 M+N\)

    (d)\(2 N-6 M\)

    Contestar

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    6 & 9\\
    -6 & 3\\
    12 & -3
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    -1 & 5\\
    -3 & 1\\
    2 & 4
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    7 & 4\\
    -3 & 2\\
    10 & -7
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {cc}
    -14 & 18\\
    -10 & 2\\
    -4 & 28
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Evaluar los siguientes productos de matriz.

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    3 & 2\\
    -1 & 1
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
    2\\
    3
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    2 & -3\\
    1 & 4
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}
    1 & 4\\
    2 & -2
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    2 & 1 & 3\\
    -3 & 2 & 1
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rrr}
    3 & 4 & -1\\
    0 & 2 & 4\\
    2 & 1 & -2
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {llll}
    1 & 2 & 3 & -1
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}
    2 & 1\\
    3 & 1\\
    -2 & 4\\
    0 & -4
    \ end {array}\ right]\)

    Contestar

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {c}
    12\\
    1
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    -4 & 14\\
    9 & -4
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {ccr}
    12 & 13 & -4\\
    -7 & -7 & 9
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
    2 & 19
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos\(L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) y\(K: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) están definidos por

    \[ L(x, y, z)=(2 x+3 y, y-x+2 z, x+2 y-z) \nonumber \]

    y

    \[ K(x, y, z)=(2 x+4 y-3 z, x+y+z, 3 x-y+4 z). \nonumber \]

    Encuentre las matrices para las siguientes funciones lineales.

    (a)\(3 L\)

    b)\(L+K\)

    c)\(2 L-K\)

    (d)\(K+2 L\)

    (e)\(K \circ L\)

    f)\(L \circ K\)

    Contestar

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    6 & 9 & 0\\
    -3 & 3 & 6\\
    3 & 6 & 3 & 3
    \ end {array}\ derecha]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    4 & 7 & -3\\
    0 & 2 & 3\\
    4 & 1 & 3
    \ end {array}\ derecha]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    2 & 2 & 3\\
    -3 & 1 & 3\\
    -1 & 5 & -6
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {rcr}
    6 & 10 & -3\\
    -1 & 3 & 5\\
    5 & 3 & 2
    \ end {array}\ derecha]\)

    (e)\ (\ left [\ begin {array} {ccc}
    -3 & 4 & 11\\
    2 & 6 & 1\\
    11 & 16 & -6
    \ end {array}\ right]\)

    (f)\ (\ left [\ begin {array} {ccc}
    7 & 11 & -3\\
    5 & -5 & 12\\
    1 & 7 & -5
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Let\(\mathbb{R}_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) Ser la función lineal que gira un vector en\(\mathbb{R}^{2}\) sentido antihorario a través de un ángulo θ. En la Sección 1.5 vimos que

    \ [R_ {\ theta} (x, y) =\ left [\ begin {array} {rr}
    \ cos (\ theta) & -\ sin (\ theta)\\ sin (
    \ theta)\\ sin (\ theta) &\ cos (
    \ theta)\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
    x\\
    y
    \ end {array}\ derecha]. \ nonumber\]

    Demostrar que la matriz para\(R_{\theta} \circ R_{\alpha}\) es la misma que la matriz para\(R_{\theta+\alpha}\). En otras palabras, demuéstralo\(R_{\theta} \circ R_{\alpha}=R_{\theta+\alpha}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Compute los determinantes de las siguientes matrices.

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {ll}
    2 & 3\\
    1 & 4
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    -3 & -2\\
    1 & 2
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    2 & 3 & 1\\
    1 & 2 & 9\\
    5 & -3 & -1
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {rrr}
    -1 & 2 & -1\\
    3 & 1 & 0\\
    5 & -4 & 0
    \ end {array}\ right]\)

    (e)\ (\ left [\ begin {array} {rrrr}
    1 & 2 & -1 & 3\\
    4 & 3 & -2 & 1\\
    1 & 4 & -4 & 3\
    1 & 3 & 3 & 1
    \ end {array}\ derecha]\)

    (f)\ (\ left [\ begin {array} {rrrrr}
    1 & 2 & -2 & 3 & 1\\
    0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\
    -3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 5\\
    1 & 5 & 2 & 1 & 0\
    6 & -5 & 0 & 2 & -4
    \ end {matriz}\ derecha]\)

    Contestar

    a) 5

    b) -4

    c) 175

    d) 17

    e) -143

    f) 300

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^{2}\) con vértices en (1, −2), (3, −1), (4, 1) y (2, 0).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el volumen del paralelepípedo\(\mathbb{R}^{3}\) con los vértices inferiores en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−1, 4, 3) y (−2, 2, 2) y los vértices superiores en (1, 0, 5), (2 , 2, 6), (−1, 3, 7) y (−2, 1, 6).

    Contestar

    32

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(P\) ser el paralelepípedo de 4 dimensiones con bordes adyacentes\(\mathbf{a}_{1}=(2,1,2,1)\),\(\mathbf{a}_{2}=(-2,0,1,1)\),\(\mathbf{a}_{3}=(1,1,3,6)\), y\(\mathbf{a}_{4}=(-3,1,5,0)\). Encuentra el volumen de\(P\).

    Contestar

    8

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra\(2 \times 2\) matrices\(A\) y\(B\) para las cuales\(A B \neq B A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Verificar que (1.6.25) y (1.6.26) se mantengan para todos\(2 \times 2\) y\(3 \times 3\) matrices.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Una\(n \times n\) matriz\(M=\left[a_{i j}\right]\) se llama matriz diagonal si es\(a_{i j}=0\) para todos\(i \neq j\). Mostrar que si\(M\) es una matriz diagonal, entonces\(\operatorname{det}(M)=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Si\(M\) es una\(n \times m\) matriz, entonces la\(m \times n\) matriz\(M^{T}\) cuyas columnas son las filas de\(M\) se llama la transposición de\(M\). Por ejemplo, si

    \ [M=\ left [\ begin {array} {ll}
    1 & 2\\
    3 & 4\\
    5 & 6
    \ end {array}\ derecha],\ nonumber\]

    entonces

    \ [M^ {T} =\ left [\ begin {array} {lll}
    1 & 3 & 5\\
    2 & 4 & 6
    \ end {array}\ right]. \ nonumber\]

    (a) Demostrar que para una\(2 \times 2\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\).

    (b) Demostrar que para una\(3 \times 3\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\). (Pista: Usando (1.6.26), expanda\(\operatorname{det}(M)\) a lo largo de la primera fila y\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)\) a lo largo de la primera columna.)

    (c) Utilizar inducción para demostrar que para cualquier\(n \times n\) matriz\(M\),\(\operatorname{det}\left(M^{T}\right)=\operatorname{det}(M)\). (Pista: Tenga en cuenta que\(\left(M^{T}\right)_{i j}=\left(M_{j i}\right)^{T}\).)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Dejar\(\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) y\(\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\) ser vectores en\(\mathbb{R}^{3}\) y dejar\(\mathbf{e}_{1}\),\(\mathbf{e}_{2}\), y\(\mathbf{e}_{3}\) ser los vectores base estándar para\(\mathbb{R}^{3}\). Mostrar que aplicar (1.6.20) a la matriz

    \ [\ left [\ begin {array} {lll}
    \ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}\
    x_ {1} & x_ {2} & x_ {3}\\
    y_ {1} & y_ {2} & y_ {3}
    \ end {array}\ nono]\ umber\]

    rendimientos\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}\). Discutir lo que es correcto y lo que es incorrecto sobre la declaración

    \ [\ mathbf {x}\ veces\ mathbf {y} =\ nombreoperador {det}\ left [\ begin {array} {lll}
    \ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}\\
    x_ {1} & x_ {2} & x_ {3}\\
    y_ {1} & y_ {2} & y_ {3}
    \ end {array}\ right]. \ nonumber\]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Mostrar que el conjunto de todos los puntos\(\mathbf{x}=(x, y, z)\) en los\(\mathbb{R}^{3}\) que satisfacer la ecuación

    \ [\ nombreoperador {det}\ left [\ begin {array} {rrr}
    x & y & z\\
    1 & 2 & -1\\
    3 & 1 & 2
    \ end {array}\ derecha] =0\ nonumber\]

    es un plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, −1) y (3, 1, 2).

    Contestar

    Este es el conjunto de todos los puntos que satisfacen\(x-y-z=0\).

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Verificar directamente que si\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{p}\) y\(K: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) son funciones lineales, entonces también\(K \circ L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es una función lineal.


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