1.2.E: Los ángulos y el producto del punto (ejercicios)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(3,-2), \mathbf{y}=(-2,5),\) y\(\mathbf{z}=(4,1) .\) Calcula cada una de las siguientes.
(a)\(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(b)\(2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(c)\(\mathbf{x} \cdot(3 \mathbf{y}-\mathbf{z})\)
(d)\(-\mathbf{z} \cdot(\mathbf{x}+5 \mathbf{y})\)

Contestar

(a) -16

b) -32

d) 5

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(3,-2,1), \mathbf{y}=(-2,3,5),\) y\(\mathbf{z}=(-1,4,1) .\) Calcula cada una de las siguientes.
(a)\(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(b)\(2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(c)\(\mathbf{x} \cdot(3 \mathbf{y}-\mathbf{z})\)
(d)\(-\mathbf{z} \cdot(\mathbf{x}+5 \mathbf{y})\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(3,-2,1,2), \mathbf{y}=(-2,3,4,-5),\) y\(\mathbf{z}=(-1,4,1,-2) .\) Calcula cada una de las siguientes.
(a)\(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(b)\(2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\)
(c)\(\mathbf{x} \cdot(3 \mathbf{y}-\mathbf{z})\)
(d)\(-\mathbf{z} \cdot(\mathbf{x}+5 \mathbf{y})\)

Contestar

(a) -18

b) -36

(d) -126

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los ángulos entre los siguientes pares de vectores. Primero encuentra tus respuestas en radianes y luego conviértalas a grados.
a)\(\mathbf{x}=(1,2), \mathbf{y}=(2,1)\)
b\(\mathbf{z}=(3,1), \mathbf{w}=(-3,1)\)
) c\(\mathbf{x}=(1,1,1), \mathbf{y}=(-1,1,-1)\)
) d\(\mathbf{y}=(-1,2,4), \mathbf{z}=(2,3,-1)\)
) e\(\mathbf{x}=(1,2,1,2), \mathbf{y}=(2,1,2,1)\)
) f\(\mathbf{x}=(1,2,3,4,5), \mathbf{z}=(5,4,3,2,1)\)

Contestar

a) 0.6435 radianes, o\(36.87^{\circ}\)

c) 1.9106 radianes, o\(109.47^{\circ}\)

e) 0.6435 radianes, o\(36.87^{\circ}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Los tres puntos\((2,1),(1,2),\) y\((-2,1)\) determinan un triángulo en\(\mathbb{R}^{2} .\) Encuentra la medida de sus tres ángulos y verifica que su suma sea\(\pi\).

Contestar: El ángulo en el vértice (−2,1) es 0.3218 radianes, en el vértice (1,2) es 2.0344 radianes, y en el vértice (2,1) es\(\frac{\pi}{4}\) radianes.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dados tres puntos\(\mathbf{p}, \mathbf{q},\) y\(\mathbf{r}\) en\(\mathbb{R}^{n},\) los vectores\(\mathbf{q}-\mathbf{p}, \mathbf{r}-\mathbf{p},\) y\(\mathbf{q}-\mathbf{r}\) describir los lados del triángulo con vértices en\(\mathbf{p}, \mathbf{q},\) y\(\mathbf{r} .\) Para cada uno de los siguientes, encontrar la medida de los tres ángulos del triángulo con vértices en los puntos dados.
a\(\mathbf{p}=(1,2,1), \mathbf{q}=(-1,-1,2), \mathbf{r}=(-1,3,-1)\)
) b\(\mathbf{p}=(1,2,1,1), \mathbf{q}=(-1,-1,2,3), \mathbf{r}=(-1,3,-1,2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cada uno de los siguientes, encuentra los ángulos entre el vector dado y los ejes de coordenadas.
(a)\(\mathbf{x}=(-2,3)\)
(b)\(\mathbf{w}=(-1,2,1)\)
(c)\(\mathbf{y}=(2,3,1,-1)\)
(d)\(\mathbf{x}=(1,2,3,4,5)\)

Contestar

a) 2.1588 radianes; 0.5880 radianes

b) 1.9913 radianes; 0.6155 radianes; 1.1503 radianes

c) 1.0282 radianes; 0.6847 radianes; 1.3096 radianes; 1.8320 radianes

d) 1.4355 radianes; 1.2977 radianes; 1.1543 radianes; 1.011 radianes; 0.8309 radianes

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para cada una de las siguientes, encontrar la coordenada de\(\mathbf{x}\) en la dirección de\(\mathbf{y}\) y la proyección\(\mathbf{w}\) de\(\mathbf{x}\) sobre\(\mathbf{y} .\) En cada caso verificar eso\(\mathbf{y} \perp(\mathbf{x}-\mathbf{w})\).
(a)\(\mathbf{x}=(-2,4), \mathbf{y}=(4,1)\)
(b)\(\mathbf{x}=(4,1,4), \mathbf{y}=(-1,3,1)\)
(c)\(\mathbf{x}=(-4,-3,1), \mathbf{y}=(1,-1,6)\)
(d)\(\mathbf{x}=(1,2,4,-1), \mathbf{y}=(2,-1,2,3)\)

Contestar

a) Coordinar:\(-\frac{4}{\sqrt{17}}\); Proyección:\(\left(-\frac{16}{17},-\frac{4}{17}\right)\)

b) Coordinar:\(\frac{3}{\sqrt{11}}\); Proyección:\(\left(-\frac{3}{11}, \frac{9}{11}, \frac{3}{11}\right)\)

c) Coordinar:\(\frac{5}{\sqrt{38}}\); Proyección:\(\left(\frac{5}{38},-\frac{5}{38}, \frac{15}{19}\right)\)

d) Coordinar:\(\frac{5}{3 \sqrt{2}}\); Proyección:\(\left(\frac{5}{9},-\frac{5}{18}, \frac{5}{9}, \frac{5}{6}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Verificar propiedades (1.2.5) a (1.2.11) del producto punto.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Si\(\mathbf{w}\) es la proyección de\(\mathbf{x}\) sobre\(\mathbf{y},\) verificar que\(\mathbf{y}\) es ortogonal a\(\mathbf{x}-\mathbf{w}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Escribe\(\mathbf{x}=(1,2,-3)\) como la suma de dos vectores, uno paralelo a\(\mathbf{y}=(2,3,1)\) y el otro ortogonal a\(\mathbf{y}\).

Contestar: \(\mathbf{x}=\left(\frac{5}{7}, \frac{15}{14}, \frac{5}{14}\right)+\left(\frac{2}{7}, \frac{13}{14},-\frac{47}{14}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Supongamos que\(\mathbf{x}\) es un vector con la propiedad que\(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0\) para todos los vectores\(\mathbf{y}\) en\(\mathbb{R}^{n}, \mathbf{y} \neq \mathbf{x}\). Demostrar que se deduce de eso\(\mathbf{x}=0\).