1.3.E: El Producto Cruzado (Ejercicios)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada uno de los siguientes pares de vectores\(\mathbf{x}\) y\(\mathbf{y}\), encontrar\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}\) y verificar que\(\mathbf{x} \perp(\mathbf{x} \times \mathbf{y})\) y\(\mathbf{y} \perp(\mathbf{x} \times \mathbf{y})\).

(a)\(\mathbf{x}=(1,2,-1), \mathbf{y}=(-2,3,-1)\)

b)\(\mathbf{x}=(-2,1,4), \mathbf{y}=(3,1,2)\)

c)\(\mathbf{x}=(1,3,-2), \mathbf{y}=(3,9,6)\)

d)\(\mathbf{x}=(-1,4,1), \mathbf{y}=(3,2,-1)\)

Contestar

(a)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(1,3,7)\)

b)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(-2,16,-5)\)

c)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(36,-12,0)\)

d)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(-6,2,-14)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el área del paralelogramo en la\(\mathbb{R}^3\) que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(2,3,1)\) y\(\mathbf{y}=(-3,3,1)\) para lados adyacentes.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el área del paralelogramo en la\(\mathbb{R}^2\) que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(3,1)\) y\(\mathbf{y}=(1,4)\) para lados adyacentes.

Contestar: 11

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^3\) que tiene vértices en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−2, 4, 4) y (−3, 2, 3).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^2\) que tiene vértices en (2, −1), (4, −2), (3,0) y (1,1).

Contestar: 3

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el área del triángulo en\(\mathbb{R}^3\) que tiene vértices en (1, 1, 0), (2, 3, 1) y (−1, 3, 2).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra el área del triángulo en\(\mathbb{R}^2\) que tiene vértices en (−1, 2), (2, −1) y (1, 3).

Contestar: \(\frac{9}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentra el volumen del paralelepípedo que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(1,2,1)\),\(\mathbf{y}=(-1,1,1)\), y\(\mathbf{z}=(-1,-1,6)\) para lados adyacentes.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Un paralelepípedo tiene vértices base en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−2, 4, 4) y (−3, 2, 3) y vértices superiores en (2, 2, 6), (3, 4, 7), (−1, 5, 9) y (−2, 3, 8). Encuentra su volumen.

Contestar: 42

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Verificar las propiedades del producto cruzado que se indican en las Ecuaciones (1.3.8) a (1.3.12).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Dado que\(\vert \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \vert\)\(\vert \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \vert \), y\(\vert \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \vert \) son todos iguales al volumen de un paralelepípedo con bordes adyacentes\(\mathbf{x}\)\(\mathbf{y}\),, y\(\mathbf{z}\), todos deben tener el mismo valor.

Demostrar que de hecho

\[ \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \nonumber \]

¿Cómo se comparan estos con\( \mathbf{z} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z})\),\(\mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x})\), y\(\mathbf{x} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{y} ) \)?

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Supongamos\(\mathbf{x}\) y\(\mathbf{y}\) son vectores paralelos en\(\mathbb{R}^3\). Mostrar directamente desde la definición del producto cruzado que\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=\mathbf{0}\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Mostrar con el ejemplo que el producto cruzado no es asociativo. Es decir, encontrar vectores\(\mathbf{x}\),\(\mathbf{y}\), y\(\mathbf{z}\) tal que\[\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \neq (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} \nonumber . \]

Contestar: Por ejemplo,\(\mathbf{e}_{2} \times\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}\right)=-\mathbf{e}_{3}\), mientras\(\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{2}\right) \times \mathbf{e}_{3}=\mathbf{0}\).