Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.3.E: El Producto Cruzado (Ejercicios)

  • Page ID
    111738
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Para cada uno de los siguientes pares de vectores\(\mathbf{x}\) y\(\mathbf{y}\), encontrar\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}\) y verificar que\(\mathbf{x} \perp(\mathbf{x} \times \mathbf{y})\) y\(\mathbf{y} \perp(\mathbf{x} \times \mathbf{y})\).

    (a)\(\mathbf{x}=(1,2,-1), \mathbf{y}=(-2,3,-1)\)

    b)\(\mathbf{x}=(-2,1,4), \mathbf{y}=(3,1,2)\)

    c)\(\mathbf{x}=(1,3,-2), \mathbf{y}=(3,9,6)\)

    d)\(\mathbf{x}=(-1,4,1), \mathbf{y}=(3,2,-1)\)

    Contestar

    (a)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(1,3,7)\)

    b)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(-2,16,-5)\)

    c)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(36,-12,0)\)

    d)\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=(-6,2,-14)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el área del paralelogramo en la\(\mathbb{R}^3\) que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(2,3,1)\) y\(\mathbf{y}=(-3,3,1)\) para lados adyacentes.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el área del paralelogramo en la\(\mathbb{R}^2\) que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(3,1)\) y\(\mathbf{y}=(1,4)\) para lados adyacentes.

    Contestar

    11

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^3\) que tiene vértices en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−2, 4, 4) y (−3, 2, 3).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^2\) que tiene vértices en (2, −1), (4, −2), (3,0) y (1,1).

    Contestar

    3

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el área del triángulo en\(\mathbb{R}^3\) que tiene vértices en (1, 1, 0), (2, 3, 1) y (−1, 3, 2).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el área del triángulo en\(\mathbb{R}^2\) que tiene vértices en (−1, 2), (2, −1) y (1, 3).

    Contestar

    \(\frac{9}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el volumen del paralelepípedo que tiene los vectores\(\mathbf{x}=(1,2,1)\),\(\mathbf{y}=(-1,1,1)\), y\(\mathbf{z}=(-1,-1,6)\) para lados adyacentes.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Un paralelepípedo tiene vértices base en (1, 1, 1), (2, 3, 2), (−2, 4, 4) y (−3, 2, 3) y vértices superiores en (2, 2, 6), (3, 4, 7), (−1, 5, 9) y (−2, 3, 8). Encuentra su volumen.

    Contestar

    42

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Verificar las propiedades del producto cruzado que se indican en las Ecuaciones (1.3.8) a (1.3.12).

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dado que\(\vert \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \vert\)\(\vert \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \vert \), y\(\vert \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \vert \) son todos iguales al volumen de un paralelepípedo con bordes adyacentes\(\mathbf{x}\)\(\mathbf{y}\),, y\(\mathbf{z}\), todos deben tener el mismo valor.

    Demostrar que de hecho

    \[ \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \nonumber \]

    ¿Cómo se comparan estos con\( \mathbf{z} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z})\),\(\mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x})\), y\(\mathbf{x} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{y} ) \)?

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Supongamos\(\mathbf{x}\) y\(\mathbf{y}\) son vectores paralelos en\(\mathbb{R}^3\). Mostrar directamente desde la definición del producto cruzado que\(\mathbf{x} \times \mathbf{y}=\mathbf{0}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Mostrar con el ejemplo que el producto cruzado no es asociativo. Es decir, encontrar vectores\(\mathbf{x}\),\(\mathbf{y}\), y\(\mathbf{z}\) tal que\[\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \neq (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} \nonumber . \]

    Contestar

    Por ejemplo,\(\mathbf{e}_{2} \times\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}\right)=-\mathbf{e}_{3}\), mientras\(\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{2}\right) \times \mathbf{e}_{3}=\mathbf{0}\).


    This page titled 1.3.E: El Producto Cruzado (Ejercicios) is shared under a CC BY-NC-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Dan Sloughter via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.