1.4.E: Líneas, Planos e Hiperplanos (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra ecuaciones vectoriales y paramétricas para la línea en\(\mathbb{R}^2\) a través\(\mathbf{p}=(2,3)\) en la dirección de\(\mathbf{v}=(1,-2)\).

Contestar

Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(1,-2)+(2,3)=(t+2,-2 t+3)\)

Ecuaciones paramétricas:

\ [\ begin {alineado}
&x=t+2\\
&y=-2 t+3
\ end {alineado}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra ecuaciones vectoriales y paramétricas para la línea en\(\mathbb{R}^4\) a través\(\mathbf{p}=(1,-1,2,3)\) en la dirección de\(\mathbf{v}=(-2,3,-4,1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra ecuaciones vectoriales y paramétricas para las líneas que pasan por los siguientes pares de puntos.

(a)\(\mathbf{p}=(-1,-3), \mathbf{q}=(4,2)\)

b)\(\mathbf{p}=(2,1,3), \mathbf{q}=(-1,2,1)\)

c)\(\mathbf{p}=(3,2,1,4), \mathbf{q}=(2,0,4,1)\)

d)\(\mathbf{p}=(4,-3,2), \mathbf{q}=(1,-2,4)\)

Contestar

a) Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(5,5)+(-1,-3)=(5 t-1,5 t-3)\)

Ecuaciones paramétricas:\ [\ begin {aligned}
&x=5 t-1\\
&y=5 t-3
\ end {alineado}\]

b) Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(3,1,-2)+(2,1,3)=(3 t+2, t+1,-2 t+3)\)

Ecuaciones paramétricas:\ [\ begin {aligned}
&x=3 t+2\\
&y=t+1\\
&z=-2 t+3
\ end {alineado}\]

c) Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(1,2,-3,3)+(3,2,1,4)=(t+3,2 t+2,-3 t+1,3 t+4)\)

Ecuaciones paramétricas:\ [\ begin {aligned}
w &=t+3\\
x &=2 t+2\\
y &=-3 t+1\\
z &=3 t+4
\ end {alineado}\]

d) Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(3,-1,-2)+(4,-3,2)=(3 t+4,-t-3,-2 t+2)\)

Ecuaciones paramétricas:\ [\ begin {aligned}
&x=3 t+4\\
&y=-t-3\\
&z=-2 t+2
\ end {alineado}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(1,3)\) hasta la línea con ecuación vectorial\( \mathbf{y} = t(2,1) + (3,1) \).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(1,3,-2)\) hasta la línea con ecuación vectorial\( \mathbf{y} = t(2,-1,4)+(1,-2,-1) \).

Contestar

\(\frac{1085}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{r}=(-1,2,-3)\) hasta la línea a través de los puntos\( \mathbf{p} = (1,0,1)\) y\(\mathbf{q}=(0,2,-1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{r}=(-1,-2,2,4)\) hasta la línea a través de los puntos\(\mathbf{p}=(2,1,1,2)\) y\(\mathbf{q}=(1,2,-4,3)\).

Contestar

\(\frac{4697}{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentra ecuaciones vectoriales y paramétricas para el plano en el\(\mathbb{R}^3\) que contiene los puntos\(\mathbf{p}=(1,3,-1)\),\(\mathbf{q}=(-2,1,1)\), y\(\mathbf{r}=(2,-3,2)\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra ecuaciones vectoriales y paramétricas para el plano en el\(\mathbb{R}^4\) que contiene los puntos\(\mathbf{p}=(2,-3,4,-1)\),\(\mathbf{q}=(-1,3,2,-4)\), y\(\mathbf{r}=(2,-1,2,1)\).

Contestar

Ecuación vectorial:\(\mathbf{y}=t(-3,6,-2,-3)+s(0,2,-2,2)+(2,3,4,-1)\)

Ecuaciones paramétricas:\ [\ begin {aligned}
&w=-3 t+2\\
&x=6 t+2 s+3\\
&y=-2 t-2 s+4\\
&z=-3 t+2 s-1
\ end {alineado}\]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar\(P\) ser el plano\(\mathbb{R}^3\) con ecuación vectorial\(\mathbf{y}=t(1,2,1)+s(-2,1,3)+(1,0,1) \). Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(1,3,1)\) hasta\(P\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Dejar\(P\) ser el plano\(\mathbb{R}^4\) con ecuación vectorial\( \mathbf{y}=t(1,-2,1,4)+s(2,1,2,3)+(1,0,1,0) \). Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(1,3,1,3)\) hasta\(P\).

Contestar

3

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Encuentra un vector normal y una ecuación normal para la línea\(\mathbb{R}^2\) con ecuación vectorial\(\mathbf{y}=t(1,2)+(1,-1) \).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Encuentra un vector normal y una ecuación normal para la línea\(\mathbb{R}^2\) con ecuación vectorial\( \mathbf{y}=t(0,1)+(2,0) \).

Contestar

\(\mathbf{n}=(1,0)\)

Ecuación normal:\((1,0) \cdot(x-2, y)=0 \), o\( x=2\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Encuentra un vector normal y una ecuación normal para el plano en\(\mathbb{R}^3\) con la ecuación vectorial\(\mathbf{y}=t(1,2,1)+s(3,1,-1)+(1,-1,1) \).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Encuentra un vector normal y una ecuación normal para la línea en la\(\mathbb{R}^2\) que pasa por los puntos\(\mathbf{p}=(3,2)\) y\(\mathbf{q}=(-1,3)\).

Contestar

\(\mathbf{n}=(1,4)\)

Ecuación normal:\((1,4) \cdot(x-3, y-2)=0, \text { or } x+4 y=11\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Encontrar un vector normal y una ecuación normal para el plano en el\(\mathbb{R}^3\) que pasa por los puntos\(\mathbf{p}=(1,2,-1)\),\(\mathbf{q}=(-1,3,1)\), y\(\mathbf{r}=(2,-2,2)\).

Contestar

\(\mathbf{n}=(11,8,7)\)

Ecuación normal:\((11,8,7) \cdot(x-1, y-2, z+1)=0, \text { or } 11 x+8 y+7 z=20\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(3,2)\)\(\mathbb{R}^2\) hasta la línea con ecuación\( x+2 y-3=0 \).

Contestar

\(\frac{4}{\sqrt{5}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(1,2,-1)\)\(\mathbb{R}^3\) hasta el plano con ecuación\( x+2 y-3 x=4 \).

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Encuentra la distancia desde el punto\(\mathbf{q}=(3,2,1,1)\) en\(\mathbb{R}^4\) hasta el hiperplano con ecuación\( 3 x+y-2 z+3 w=15 \).

Contestar

\(\frac{3}{\sqrt{23}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Encuentra el ángulo entre las líneas en\(\mathbb{R}^2\) con ecuaciones\(3 x+y=4 \) y\( x-y=5 \).

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Encuentra el ángulo entre los planos en\(\mathbb{R}^3\) con ecuaciones\( 3 x-y+2 z=5 \) y\( x-2 y+z=4\).

Contestar

0.7017 radianes

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Encuentra el ángulo entre los hiperplanos\(\mathbb{R}^4\) con ecuaciones\( w+x+y-z=3 \) y\( 2 w-x+2 y+z=6 \text { . } \)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Encuentra una ecuación para un plano en\(\mathbb{R}^3\) ortogonal al plano con ecuación\( x+2 y-3 z=4\) y pasando por el punto\(\mathbf{p}=(1,-1,2)\).

Contestar

\(2 x-y=3\)es la ecuación de uno de esos planos.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Encuentra una ecuación para el plano en el\(\mathbb{R}^3\) que es paralelo al plano\(x-y+2 z=6 \) y pasa por el punto\(\mathbf{p}=(2,1,2)\).

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Mostrar que si\( \mathbf{x}\),\( \mathbf{y}\), y\( \mathbf{z}\) son vectores en\(\mathbb{R}^n\) con\(\mathbf{x} \perp \mathbf{y}\) y\(\mathbf{x} \perp \mathbf{z}\), entonces\(\mathbf{x} \perp(a \mathbf{y}+b \mathbf{z})\) para cualquier escalar\(a\) y\(b\).

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Encuentra ecuaciones paramétricas para la línea de intersección de los planos en\(\mathbb{R}^3\) con ecuaciones\( x+2 y-6 z=4 \) y\( 2 x-y+z=2 \).

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Encuentra ecuaciones paramétricas para el plano de intersección de los hiperplanos en\(\mathbb{R}^4\) con ecuaciones\( w-x+y+z=3\) y\( 2 w+4 x-y+2 z=8 \).

Contestar

\(y=2 t-\frac{2}{3}, z=-s-t+\frac{11}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Dejar\(L\) ser la línea\(\mathbb{R}^3\) con ecuación vectorial\( \mathbf{y}=t(1,2,-1)+(3,2,1) \) y dejar\(P\) ser el plano en\(\mathbb{R}^3\) con ecuación\(x+2 y-3 z=8 \). Encuentra el punto donde se\(L\) cruza\(P\).

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Dejar\(P\) ser el plano\(\mathbb{R}^n\) con ecuación vectorial\(\mathbf{y}=t \mathbf{v}+s \mathbf{w}+\mathbf{p} \). Que\(\mathbf{c}\) sea la proyección de\(\mathbf{w}\) sobre\(\mathbf{v}\),

\[ \mathbf{a}=\frac{1}{\|v\|} \mathbf{v}, \nonumber \]

y

\[ \mathbf{b}=\frac{1}{\|\mathbf{w}-\mathbf{c}\|}(\mathbf{w}-\mathbf{c}). \nonumber \]

Mostrar que también\( \mathbf{y}=t \mathbf{a}+s \mathbf{b}+\mathbf{p} \) es una ecuación vectorial para\(P\).