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# 1.5.E: Funciones Lineales y Afín (Ejercicios)

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}$$ ser vectores en$$\mathbb{R}^{m}$$ y definir$$L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ por

$L(\mathbf{x})=\left(\mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{x}, \ldots, \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{x}\right). \nonumber$

Mostrar que$$L$$ es lineal. Cómo se$$L$$ ve en los casos especiales

1. $$m=n=1 ?$$
2. $$n=1 ?$$
3. $$m=1 ?$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Para cada una de las siguientes funciones$$f$$, encuentre la dimensión del espacio de dominio, la dimensión del espacio de rango y indique si la función es lineal, afín o ninguna.

1. $$f(x, y)=(3 x-y, 4 x, x+y)$$
2. $$f(x, y)=(4 x+7 y, 5 x y)$$
3. $$f(x, y, z)=(3 x+z, y-z, y-2 x)$$
4. $$f(x, y, z)=(3 x-4 z, x+y+2 z)$$
5. $$f(x, y, z)=\left(3 x+5, y+z, \frac{1}{x+y+z}\right)$$
6. $$f(x, y)=3 x+y-2$$
7. $$f(x)=(x, 3 x)$$
8. $$f(w, x, y, z)=(3 x, w+x-y+z-5)$$
9. $$f(x, y)=(\sin (x+y), x+y)$$
10. $$f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, x-y, x^{2}-y^{2}\right)$$
11. $$f(x, y, z)=(3 x+5, y+z, 3 x-z+6, z-1)$$
Contestar

a) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3;$$f$$ es lineal

(b) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no$$f$$ es lineal ni afín

(c) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 3;$$f$$ es lineal

(d) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 2;$$f$$ es lineal

e) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 4;$$f$$ es afín

(f) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 1;$$f$$ es afín

(g) Dimensión del espacio de dominio = 1; dimensión del espacio de rango = 2;$$f$$ es lineal

(h) Dimensión del espacio de dominio = 4; dimensión del espacio de rango = 2;$$f$$ es lineal

(i) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no$$f$$ es lineal ni afín

(j) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3; no$$f$$ es lineal ni afín

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Para cada una de las siguientes funciones lineales$$L$$, encuentra una matriz$$M$$ tal que$$L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}$$.

1. $$L(x, y)=(x+y, 2 x-3 y)$$
2. $$L(w, x, y, z)=(x, y, z, w)$$
3. $$L(x)=(3 x, x, 4 x)$$
4. $$L(x)=-5 x$$
5. $$L(x, y, z)=4 x-3 y+2 z$$
6. $$L(x, y, z)=(x+y+z, 3 x-y, y+2 z)$$
7. $$L(x, y)=(2 x, 3 y, x+y, x-y, 2 x-3 y)$$
8. $$L(x, y)=(x, y)$$
9. $$L(w, x, y, z)=(2 w+x-y+3 z, w+2 x-3 z)$$
Contestar

(a)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
1 & 1\\
2 & -3
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
2 & 1 & -1 & 3\\
1 & 2 & 0 & -3
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (M=\ left [\ begin {array} {l}
3\\
1\\
4
\ end {array}\ right]\)

d)$$M=[-5]$$

(e)\ (M=\ left [\ begin {array} {lll}
4 & -3 & 2
\ end {array}\ right]\)

(f)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 1 & 1\\
3 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2
\ end {array}\ derecha]\)

(g)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
2 & 0\\
0 & 3\\
1 & 1\\
1 & -1\\
2 & -3
\ end {array}\ derecha]\)

(h)\ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\)

(i)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
2 & 1 & -1 & 3\\
1 & 2 & 0 & -3
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Para cada una de las siguientes funciones afín$$A$$, encuentra una matriz$$M$$ y un vector$$\mathbf{b}$$ tal que$$A(\mathbf{x})=M \mathbf{x}+\mathbf{b}$$.

1. $$A(x, y)=(3 x+4 y-6,2 x+y-3)$$
2. $$A(x)=3 x-4$$
3. $$A(x, y, z)=(3 x+y-4, y-z+1,5)$$
4. $$A(w, x, y, z)=(1,2,3,4)$$
5. $$A(x, y, z)=3 x-4 y+z-1$$
6. $$A(x)=(3 x,-x, 2)$$
7. $$A\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+1, x_{1}-x_{3}+1, x_{2}+x_{3}\right)$$

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Multiplica lo siguiente.

(a)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
1\\
2\\
-3
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
-1 & 2\\
3 & -2\\
-1 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
3\\
-1
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 1-3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
2\\
3\
-2\\
1
\ end {array}\ right]\)

(d)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
2\\
-1\
2
\ end {array}\ right]\)

Contestar

(a)\ (\ left [\ begin {array} {r}
-4\\
4
\ end {array}\ right]\)

(b)\ (\ left [\ begin {array} {c}
-5\\
11\
-4
\ end {array}\ right]\)

c)$$[3]$$

(d)\ (\ left [\ begin {array} {c}
2\\
10\\
3
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Let$$L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ Ser la función lineal que mapea un vector$$\mathbf{x}=(x, y)$$ a su reflexión a través del eje horizontal. Encuentra la matriz$$M$$ tal que$$L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}$$ para todos$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ ser la función lineal que mapea un vector$$\mathbf{x}=(x, y)$$ a su reflejo a través de la línea$$y=x$$. Encuentra la matriz$$M$$ tal que$$L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}$$ para todos$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$.

Contestar

\ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ ser la función lineal que mapea un vector$$\mathbf{x}=(x, y)$$ a su reflejo a través de la línea$$y=-x$$. Encuentra la matriz$$M$$ tal que$$L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}$$ para todos$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$.

Contestar

\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
0 & -1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Dejar$$R_{\theta}$$ definirse como en (1.5.12).

1. Demuéstrale eso para cualquiera$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$,$$\left\|R_{\theta}(\mathbf{x})\right\|=\|\mathbf{x}\|$$.
2. Para cualquiera$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$, deja$$\alpha$$ ser el ángulo entre$$\mathbf{x}$$ y$$R_{\theta}(\mathbf{x})$$. Demostrar eso$$\cos (\alpha)= \cos(\theta)$$. Junto con (a), esto verifica que$$R_{\theta}(\mathbf{x})$$ es la rotación de$$\mathbf{x}$$ a través de un ángulo θ.

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Dejar$$S_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ ser la función lineal que gira un vector en$$\mathbf{x}$$ sentido horario a través de un ángulo$$\theta$$. Encuentra la matriz$$M$$ tal que$$S_{\theta}(\mathbf{x})=M \mathbf{x}$$ para todos$$\mathbf{x}$$ en$$\mathbb{R}^{2}$$.

Contestar

\ (M=\ izquierda [\ begin {array} {rr}
\ cos (\ theta) &\ sin (\ theta)\\
-\ sin (\ theta) &\ cos (\ theta)
\ end {array}\ derecha]\)

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dada una función$$f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$, llamamos al conjunto

$\left\{\mathbf{y}: \mathbf{y}=f(\mathbf{x}) \text { for some } \mathbf{x} \text { in } \mathbb{R}^{m}\right\} \nonumber$

la imagen, o rango, de$$f$$.

1. Supongamos que$$L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ es lineal con$$L(1) \neq \mathbf{0}$$. Mostrar que la imagen de$$L$$ es una línea en la$$\mathbb{R}^{n}$$ que pasa a través$$\mathbf{0}$$.
2. Supongamos que$$L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ es lineal$$L\left(\mathbf{e}_{1}\right)$$ y y$$L\left(\mathbf{e}_{2}\right)$$ son linealmente independientes. Demostrar que la imagen de$$L$$ es un plano en el$$\mathbb{R}^{n}$$ que pasa a través$$\mathbf{0}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Dada una función$$f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$$, llamamos al conjunto

$\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, x_{m+1}\right): x_{m+1}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right\} \nonumber$

la gráfica de$$f$$. Mostrar que si$$L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$$ es lineal, entonces la gráfica de$$L$$ es un hiperplano en$$\mathbb{R}^{m+1}$$.

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