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LibreTexts Español

1.5.E: Funciones Lineales y Afín (Ejercicios)

  • Page ID
    111750
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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\) ser vectores en\(\mathbb{R}^{m}\) y definir\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) por

    \[ L(\mathbf{x})=\left(\mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{a}_{2} \cdot \mathbf{x}, \ldots, \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{x}\right). \nonumber \]

    Mostrar que\(L\) es lineal. Cómo se\(L\) ve en los casos especiales

    1. \(m=n=1 ?\)
    2. \(n=1 ?\)
    3. \(m=1 ?\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Para cada una de las siguientes funciones\(f\), encuentre la dimensión del espacio de dominio, la dimensión del espacio de rango y indique si la función es lineal, afín o ninguna.

    1. \(f(x, y)=(3 x-y, 4 x, x+y)\)
    2. \(f(x, y)=(4 x+7 y, 5 x y)\)
    3. \(f(x, y, z)=(3 x+z, y-z, y-2 x)\)
    4. \(f(x, y, z)=(3 x-4 z, x+y+2 z)\)
    5. \(f(x, y, z)=\left(3 x+5, y+z, \frac{1}{x+y+z}\right)\)
    6. \(f(x, y)=3 x+y-2\)
    7. \(f(x)=(x, 3 x)\)
    8. \(f(w, x, y, z)=(3 x, w+x-y+z-5)\)
    9. \(f(x, y)=(\sin (x+y), x+y)\)
    10. \(f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, x-y, x^{2}-y^{2}\right)\)
    11. \(f(x, y, z)=(3 x+5, y+z, 3 x-z+6, z-1)\)
    Contestar

    a) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3;\(f\) es lineal

    (b) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no\(f\) es lineal ni afín

    (c) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 3;\(f\) es lineal

    (d) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

    e) Dimensión del espacio de dominio = 3; dimensión del espacio de rango = 4;\(f\) es afín

    (f) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 1;\(f\) es afín

    (g) Dimensión del espacio de dominio = 1; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

    (h) Dimensión del espacio de dominio = 4; dimensión del espacio de rango = 2;\(f\) es lineal

    (i) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 2; no\(f\) es lineal ni afín

    (j) Dimensión del espacio de dominio = 2; dimensión del espacio de rango = 3; no\(f\) es lineal ni afín

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Para cada una de las siguientes funciones lineales\(L\), encuentra una matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\).

    1. \(L(x, y)=(x+y, 2 x-3 y)\)
    2. \(L(w, x, y, z)=(x, y, z, w)\)
    3. \(L(x)=(3 x, x, 4 x)\)
    4. \(L(x)=-5 x\)
    5. \(L(x, y, z)=4 x-3 y+2 z\)
    6. \(L(x, y, z)=(x+y+z, 3 x-y, y+2 z)\)
    7. \(L(x, y)=(2 x, 3 y, x+y, x-y, 2 x-3 y)\)
    8. \(L(x, y)=(x, y)\)
    9. \(L(w, x, y, z)=(2 w+x-y+3 z, w+2 x-3 z)\)
    Contestar

    (a)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
    1 & 1\\
    2 & -3
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
    2 & 1 & -1 & 3\\
    1 & 2 & 0 & -3
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (M=\ left [\ begin {array} {l}
    3\\
    1\\
    4
    \ end {array}\ right]\)

    d)\(M=[-5]\)

    (e)\ (M=\ left [\ begin {array} {lll}
    4 & -3 & 2
    \ end {array}\ right]\)

    (f)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrr}
    1 & 1 & 1\\
    3 & -1 & 0\\
    0 & 1 & 2
    \ end {array}\ derecha]\)

    (g)\ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
    2 & 0\\
    0 & 3\\
    1 & 1\\
    1 & -1\\
    2 & -3
    \ end {array}\ derecha]\)

    (h)\ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
    1 & 0\\
    0 & 1
    \ end {array}\ right]\)

    (i)\ (M=\ left [\ begin {array} {rrrr}
    2 & 1 & -1 & 3\\
    1 & 2 & 0 & -3
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Para cada una de las siguientes funciones afín\(A\), encuentra una matriz\(M\) y un vector\(\mathbf{b}\) tal que\(A(\mathbf{x})=M \mathbf{x}+\mathbf{b}\).

    1. \(A(x, y)=(3 x+4 y-6,2 x+y-3)\)
    2. \(A(x)=3 x-4\)
    3. \(A(x, y, z)=(3 x+y-4, y-z+1,5)\)
    4. \(A(w, x, y, z)=(1,2,3,4)\)
    5. \(A(x, y, z)=3 x-4 y+z-1\)
    6. \(A(x)=(3 x,-x, 2)\)
    7. \(A\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+1, x_{1}-x_{3}+1, x_{2}+x_{3}\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Multiplica lo siguiente.

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
    1 & 2 & 3\\
    3 & 2 & 1
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
    1\\
    2\\
    -3
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {rr}
    -1 & 2\\
    3 & -2\\
    -1 & 1
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
    3\\
    -1
    \ end {array}\ right]\)

    (c)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
    1 & 2 & 1-3
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
    2\\
    3\
    -2\\
    1
    \ end {array}\ right]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {lll}
    1 & 2 & 1\\
    3 & 2 & 3\\
    0 & 1 & 2
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {r}
    2\\
    -1\
    2
    \ end {array}\ right]\)

    Contestar

    (a)\ (\ left [\ begin {array} {r}
    -4\\
    4
    \ end {array}\ right]\)

    (b)\ (\ left [\ begin {array} {c}
    -5\\
    11\
    -4
    \ end {array}\ right]\)

    c)\([3]\)

    (d)\ (\ left [\ begin {array} {c}
    2\\
    10\\
    3
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Let\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) Ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflexión a través del eje horizontal. Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dejar\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflejo a través de la línea\(y=x\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

    Contestar

    \ (M=\ left [\ begin {array} {ll}
    0 & 1\\
    1 & 0
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que mapea un vector\(\mathbf{x}=(x, y)\) a su reflejo a través de la línea\(y=-x\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

    Contestar

    \ (M=\ left [\ begin {array} {rr}
    0 & -1\\
    -1 & 0
    \ end {array}\ right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Dejar\(R_{\theta}\) definirse como en (1.5.12).

    1. Demuéstrale eso para cualquiera\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\),\(\left\|R_{\theta}(\mathbf{x})\right\|=\|\mathbf{x}\| \).
    2. Para cualquiera\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\), deja\( \alpha \) ser el ángulo entre\(\mathbf{x}\) y\(R_{\theta}(\mathbf{x})\). Demostrar eso\(\cos (\alpha)= \cos(\theta)\). Junto con (a), esto verifica que\(R_{\theta}(\mathbf{x})\) es la rotación de\(\mathbf{x}\) a través de un ángulo θ.

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Dejar\(S_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser la función lineal que gira un vector en\(\mathbf{x}\) sentido horario a través de un ángulo\(\theta\). Encuentra la matriz\(M\) tal que\(S_{\theta}(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(\mathbb{R}^{2}\).

    Contestar

    \ (M=\ izquierda [\ begin {array} {rr}
    \ cos (\ theta) &\ sin (\ theta)\\
    -\ sin (\ theta) &\ cos (\ theta)
    \ end {array}\ derecha]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dada una función\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), llamamos al conjunto

    \[ \left\{\mathbf{y}: \mathbf{y}=f(\mathbf{x}) \text { for some } \mathbf{x} \text { in } \mathbb{R}^{m}\right\} \nonumber \]

    la imagen, o rango, de\(f\).

    1. Supongamos que\(L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es lineal con\(L(1) \neq \mathbf{0}\). Mostrar que la imagen de\(L\) es una línea en la\(\mathbb{R}^{n}\) que pasa a través\(\mathbf{0}\).
    2. Supongamos que\(L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es lineal\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right)\) y y\(L\left(\mathbf{e}_{2}\right)\) son linealmente independientes. Demostrar que la imagen de\(L\) es un plano en el\(\mathbb{R}^{n}\) que pasa a través\(\mathbf{0}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Dada una función\(f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\), llamamos al conjunto

    \[ \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, x_{m+1}\right): x_{m+1}=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right\} \nonumber \]

    la gráfica de\(f\). Mostrar que si\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}\) es lineal, entonces la gráfica de\(L\) es un hiperplano en\(\mathbb{R}^{m+1}\).


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