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2.1: Curvas

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Ahora que tenemos una comprensión básica de la geometría de$$\mathbb{R}^{n}$$, estamos en condiciones de iniciar el estudio del cálculo de más de una variable. Romperemos nuestro estudio en tres pedazos. En este capítulo consideraremos funciones$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$, en el Capítulo 3 estudiaremos funciones$$f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$$, y finalmente en el Capítulo 4 consideraremos el caso general de las funciones$$f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$.

Parametrizaciones de curvas

Comenzamos con algo de terminología y notación. Dada una función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$, vamos

$f_{k}(t)=k \text { th coordinate of } f(t)$

para$$k=1,2, \ldots, n$$. Llamamos a$$f_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la$$\text { kth coordinate function of } f$$. Obsérvese que$$f_{k}$$ tiene el mismo dominio que$$f$$ y que, para cualquier punto$$t$$ en el dominio de$$f$$,

$f(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{n}(t)\right) .$

Si el dominio de$$f$$ es un intervalo$$I$$, entonces el rango de$$f$$, es decir, el conjunto

$C=\{\mathbf{x}: \mathbf{x}=f(t) \text { for some } t \text { in } I\},$

se llama curva con parametrización$$f$$. La ecuación$$\mathbf{x}=f(t)$$, donde$$\mathbf{x}$$ está en$$\mathbb{R}^{n}$$, es una ecuación vectorial para$$C$$ y, escribiendo$$\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$$, las ecuaciones

\ [\ begin {align}
x_ {1} =f_ {1} (t),\ nonumber\\
x_ {2} =f_ {2} (t),\ label {}\
x_ {n} =f_ {n} (t),\ nonumber
\ end align}\]

son ecuaciones paramétricas para$$C$$.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Considerar$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ definido por

$f(t)=(\cos (t), \sin (t)) \nonumber$

para$$0 \leq t \leq 2 \pi$$. Entonces por cada valor de$$t$$,$$f(t)$$ es un punto en el círculo$$C$$ de radio 1 con centro en (0, 0). Tenga en cuenta que$$f(0)=(1,0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)=(0,1), f(\pi)=(-1,0), f\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=(0,-1)$$, y$$f(2 \pi)=(1,0)=f(0)$$. De hecho, como$$t$$ va de 0 a$$2\pi$$,$$f(t)$$ atraviesa$$C$$ exactamente una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. Así$$f$$ es una parametrización del círculo unitario$$C$$. Si denotamos un punto en$$\mathbb{R}^{2}$$ por$$(x,y)$$, entonces

&x=\ cos (t),\\
&y=\ sin (t),

son ecuaciones paramétricas para$$C$$. Ver Figura 2.1.1. Las funciones de coordenadas son

&f_ {1} (t) =\ cos (t),\\
&f_ {2} (t) =\ sin (t),

aunque frecuentemente escribimos estos como simplemente

&x (t) =\ cos (t),\\
&y (t) =\ sin (t).

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Considerar$$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ definido por

$g(t)=(\sin (2 \pi t), \cos (2 \pi t)) \nonumber$

para$$0 \leq t \leq 2$$. Después$$g$$ también parametriza el círculo unitario$$C$$ centrado en el origen, igual que$$f$$ en el ejemplo anterior. No obstante, hay una diferencia:$$g(0)=(0,1), g\left(\frac{1}{4}\right)=(1,0)$$,$$g\left(\frac{1}{2}\right)=(0,-1), g\left(\frac{3}{4}\right)=(-1,0),$$ y$$g(1)=(0,1)=g(0)$$, momento en el que$$g$$ empieza a repetir sus valores. De ahí que$$g(t)$$, comenzando en (0, 1), recorra$$C$$ dos veces en el sentido de las agujas del reloj a medida que$$t$$ va de 0 a 2.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Más generalmente, supongamos$$a$$$$b$$,, y$$\alpha$$ son números reales, con$$a>0$$,$$b>0$$, y$$\alpha \neq 0$$, y dejar

\ [\ begin {aligned}
&x (t) =a\ cos (\ alpha t),\\
&y (t) =b\ sin (\ alpha t).

Entonces

$\frac{(x(t))^{2}}{a^{2}}+\frac{(y(t))^{2}}{b^{2}}=\cos ^{2}(\alpha t)+\sin ^{2}(\alpha t)=1, \nonumber$

así$$(x(t),y(t))$$ es un punto en la elipse$$E$$ con ecuación

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 , \nonumber$

que se muestra en la Figura 2.1.2. Así la función

$f(t)=(a \cos (\alpha t), b \cos (\alpha t)) \nonumber$

parametriza la elipse$$E$$, atravesando la elipse completa a medida que$$t$$ va de 0 a$$\left|\frac{2 \pi}{\alpha}\right|$$.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Definir$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ por

$f(t)=(t \cos (t), t \sin (t)) \nonumber$

para$$-\infty<t<\infty$$. Luego, para valores negativos de$$t$$,$$f(t)$$ espirales hacia el origen a medida que$$t$$ aumenta, mientras que para valores positivos de$$t$$,$$f(t)$$ espirales lejos del origen. Parte de esta curva parametrizada por$$f$$ se muestra en la Figura 2.1.3.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Definir$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ por

$f(t)=(3-4 t, 2+3 t) \nonumber$

para$$-\infty<t<\infty$$. Entonces

$f(t)=t(-4,3)+(3,2), \nonumber$

así$$f$$ es una parametrización de la línea a través del punto (3, 2) en la dirección de (−4, 3).

En general, una función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ definida por$$f(t)=t \mathbf{v}+\mathbf{p}$$, donde$$\mathbf{v} \neq 0$$ y$$\mathbf{p}$$ son vectores en$$\mathbb{R}^{n}$$, parametriza una línea en$$\mathbb{R}^{n}$$.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Supongamos que$$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ está definido por

$g(t)=(4 \cos (t), 4 \sin (t), t) \nonumber$

para$$-\infty<t<\infty$$. Si denotamos las funciones de coordenadas por

&x (t) =4\ cos (t),\\
&y (t) =4\ sin (t),\\
&z (t) =t,

entonces

$(x(t))^{2}+(y(t))^{2}=16 \cos ^{2}(t)+16 \sin ^{2}(t)=16. \nonumber$

De ahí$$g(t)$$ que siempre se encuentre sobre un cilindro de radio 1 centrado alrededor del$$z$$ eje. A medida que$$t$$ aumenta,$$g(t)$$ se eleva constantemente a medida que se enrolla alrededor de este cilindro, completando un viaje alrededor del cilindro en cada intervalo de longitud$$2\pi$$. Es decir,$$g$$ parametriza una hélice, parte de la cual se muestra en la Figura 2.1.4.

Límites en$$\mathbb{R}^{n}$$

Al igual que en el cálculo de una variable, los límites son fundamentales para entender ideas como la continuidad y la diferenciabilidad. Comenzamos con la definición del límite de una secuencia de puntos en$$\mathbb{R}^{m}$$.

Definición$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}$$ ser una secuencia de puntos en$$\mathbb{R}^{m}$$. Decimos que el límite de$$\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}$$ como se$$n$$ acerca al infinito es$$\mathbf{a}$$$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{a}$$, escrito, si por cada$$\epsilon>0$$ hay un entero positivo$$N$$ tal que

$\left\|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{a}\right\|<\epsilon \label{2.1.5}$

siempre que$$n>N$$

Observe que esta definición implica sólo una ligera modificación de la definición para el límite de una secuencia de números reales, es decir, el uso de la norma de un vector en lugar del valor absoluto de un número real in ($$\ref{2.1.5}$$). En palabras,$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{a}$$ si, dado alguno$$\epsilon>0$$, siempre podemos encontrar un punto en la secuencia más allá del cual todos los términos de la secuencia se encuentran dentro$$B^{n}(\mathbf{a}, \epsilon)$$, la bola abierta de radio$$\epsilon$$ centrada en$$\mathbf{a}$$.

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Supongamos

$\mathbf{x}_{n}=\left(1-\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right) \nonumber$

para$$n=1,2,3, \ldots$$. Desde

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1 \nonumber$

y

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n}=0 ,\nonumber$

deberíamos tener

$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=(1,0) .\nonumber$

Para verificar esto, primero observamos que

$\left\|\mathbf{x}_{n}-(1,0)\right\|=\left\|\left(-\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right)\right\|=\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+\frac{4}{n^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{n} .\nonumber$

De ahí$$\left\|\mathbf{x}_{n}-(1,0)\right\|<\epsilon$$ cuando sea$$n>\frac{\sqrt{5}}{\epsilon}$$. Es decir, si dejamos$$N$$ ser cualquier entero mayor que o igual a$$\frac{\sqrt{5}}{\epsilon}$$, entonces$$\left\|\mathbf{x}_{n}-(1,0)\right\|<\epsilon$$ cuando sea$$n > N$$, verificando que

$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=(1,0) . \nonumber$

Ver Figura 2.1.5.

Dicho de otra manera, la definición del límite de una secuencia en$$\mathbb{R}^{m}$$ dice que una secuencia$$\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}$$ en$$\mathbb{R}^{m}$$ converge a$$\mathbf{a}$$ in$$\mathbb{R}^{m}$$ si y sólo si la secuencia de números reales$$\left\{\left\|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{a}\right\|\right\}$$ converge a 0. Es decir,$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{a}$$ si y sólo si$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{a}\right\|=0$$. Además, si dejamos$$\mathbf{x}_{n}=\left(x_{n 1}, x_{n 2}, \ldots, x_{n m}\right)$$ y$$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right)$$, entonces

$\left\|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\left(x_{n 1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{n 2}-a_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n m}-a_{m}\right)^{2}},$

así que$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{a}\right\|=0$$ si y solo si

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left(x_{n 1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{n 2}-a_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n m}-a_{m}\right)^{2}}=0 . \label{2.1.7}$

Pero ($$\ref{2.1.7}$$) puede ocurrir sólo cuando$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n k}-a_{k}\right)^{2}=0$$ para$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n k}-a_{k}\right)^{2}=0$$. De ahí$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{a}$$ si y sólo si$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n k}=a_{k}$$ para$$k=1,2, \ldots, m$$.

Proposición$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que$$\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}$$ es una secuencia en$$\mathbb{R}^{m}$$$$\mathbf{x}_{n}=\left(x_{n 1}, x_{n 2}, \ldots, x_{n m}\right)$$,, y$$\mathbf{a}= \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right)$$. Entonces$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{a}$$ si y sólo si$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n k}=a_{k}$$ por$$k=1,2, \ldots, m$$.

Esta proposición nos dice que para calcular el límite de una secuencia en$$\mathbb{R}^{m}$$, solo necesitamos calcular el límite de cada coordenada por separado, reduciendo así el problema de computar límites en$$\mathbb{R}^{m}$$ el problema de encontrar límites de secuencias de números reales.

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Si

$\mathbf{x}_{n}=\left(\frac{2-n}{n^{2}}, \sin \left(\frac{1}{n}\right), \cos \left(\frac{3}{n}\right)\right), \nonumber$

$$n=1,2,3, \ldots$$, luego

$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2-n}{n^{2}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\frac{1}{n}\right), \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\frac{3}{n}\right)\right)=(0,0,1). \nonumber$

Ahora podemos definir el límite de una función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$ en un número real$$c$$. Observe que la definición es idéntica a la definición de un límite para una función de valor real$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$.

Definición$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$c$$ ser un número real, dejar$$I$$ ser un intervalo abierto que contiene$$c$$, y dejar$$J=\{t: t \text { is in } I, t \neq c\}$$. Supongamos que$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$ se define para todos$$t$$ en$$J$$. Entonces decimos que el límite de$$f(t)$$ como$$c$$ se$$t$$ acerca es$$\mathbf{a}$$, denotado$$\lim _{t \rightarrow c} f(t)=\mathbf{a}$$, si por cada secuencia de números reales$$\left\{t_{n}\right\}$$ en$$J$$,

$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(t_{n}\right)=\mathbf{a}$

cuando sea$$\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=c$$.

Como en el cálculo de una variable, podemos definir el límite de$$f(t)$$ como$$t$$ enfoques$$c$$ desde la derecha, denotado

$\lim _{t \rightarrow c^{+}} f(t), \nonumber$

restringiendo a secuencias$$\left\{t_{n}\right\}$$ con$$t_{n}>c$$ for$$n=1,2,3, \ldots$$, y el límite de$$f(t)$$ como se$$t$$ acerca$$c$$ desde la izquierda, denotado

$\lim _{t \rightarrow c^{-}} f(t), \nonumber$

restringiendo a secuencias$$\left\{t_{n}\right\}$$ con$$t_{n}<c$$ for$$n=1,2,3, \ldots$$. Además, la siguiente proposición útil se desprende inmediatamente de nuestra definición y de la propuesta anterior.

Proposición$$\PageIndex{2}$$

Supongamos$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$ con

$f(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{m}(t)\right). \nonumber$

Entonces para cualquier número real$$c$$,

$\lim _{t \rightarrow c} f(t)=\left(\lim _{t \rightarrow c} f_{1}(t), \lim _{t \rightarrow c} f_{2}(t), \ldots, \lim _{t \rightarrow c} f_{m}(t)\right).$

De ahí que el problema de calcular los límites para las funciones se$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$ reduce al problema de calcular los límites de las funciones de coordenadas$$f_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, k=1,2, \ldots, m$$, un problema familiar a partir del cálculo de una variable. También se mantienen las declaraciones análogas para los límites de la derecha y la izquierda.

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Si$$f(t)=\left(t^{2}-1, \sin (t), \cos (t)\right)$$ es una función de$$\mathbb{R}$$ a$$\mathbb{R}^3$$, entonces, por ejemplo,

$\lim _{t \rightarrow \pi} f(t)=\left(\lim _{t \rightarrow \pi}\left(t^{2}-1\right), \lim _{t \rightarrow \pi} \sin (t), \lim _{t \rightarrow \pi} \cos (t)\right)=\left(\pi^{2}-1,0,-1\right). \nonumber$

Las definiciones de continuidad también siguen el patrón de las definiciones relacionadas en un cálculo variable.

Definición$$\PageIndex{3}$$

Supongamos$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$. Decimos que$$f$$ es continuo en un punto$$c$$ si

$\lim _{t \rightarrow c} f(t)=f(c).$

Decimos que$$f$$ es continuo desde la derecha en$$c$$ si

$\lim _{t \rightarrow c^{+}} f(t)=f(c)$

y continuo desde la izquierda en$$c$$ si

$\lim _{t \rightarrow c^{-}} f(t)=f(c).$

Decimos que$$f$$ es continuo en un intervalo abierto$$(a,b)$$ si$$f$$ es continuo en cada punto$$c$$ en$$(a,b)$$ y decimos que$$f$$ es continuo en un intervalo cerrado$$[a,b]$$ si$$f$$ es continuo en el intervalo abierto$$(a,b)$$, continuo desde la derecha en$$a$$, y continuo desde la izquierda en$$b$$.

Si$$f(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{m}(t)\right)$$, entonces$$f$$ es continuo en un punto$$c$$ si y solo si

$\lim _{t \rightarrow c} f(t)=\left(\lim _{t \rightarrow c} f_{1}(t), \lim _{t \rightarrow c} f_{2}(t), \ldots, \lim _{t \rightarrow c} f_{m}(t)=f(c)=\left(f_{1}(c), f_{2}(c), \ldots, f_{m}(c)\right)\right. , \nonumber$

lo cual es cierto si y sólo si es$$\lim _{t \rightarrow c} f_{k}(t)=f_{k}(c)$$ por$$k=1,2, \ldots, m$$. En otras palabras, tenemos la siguiente proposición útil.

Proposición$$\PageIndex{3}$$

Una función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$ con$$f(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{m}(t)\right)$$ es continua en un punto$$c$$ si y solo si las funciones de coordenadas$$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{m}$$ son continuas en$$c$$.

Declaraciones similares se mantienen para la continuidad desde la derecha y desde la izquierda.

Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

La función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ definida por

$f(t)=\left(\sin \left(t^{2}\right), t^{3}+4, \cos (t)\right) \nonumber$

es continuo en el intervalo$$(-\infty, \infty)$$ ya que cada una de sus funciones de coordenadas es continua$$(-\infty, \infty)$$.

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