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# 2.2.E: Mejores aproximaciones afín (ejercicios)

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

a)$$f(t)=\left(t^{3}, t, 2 t+4\right)$$

b)$$g(t)=(3 t \cos (2 t), 4 t \sin (2 t))$$

c)$$h(t)=\left(4 t^{3}-3, \sin (t), e^{-2 t}\right)$$

d)$$f(t)=\left(e^{-t} \sin (3 t), e^{-t} \cos (3 t), t e^{-t}\right)$$

Responder

a)$$D f(t)=\left(3 t^{2}, 1,2\right)$$

c)$$D h(t)=\left(12 t^{2}, \cos (t),-2 e^{-2 t}\right)$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Para cada una de las siguientes, encuentra la mejor aproximación afín a$$f$$ en el punto dado.

a)$$f(t)=\left(t, t^{3}\right), t=2$$

b)$$f(t)=(3 \sin (2 t), 4 \cos (2 t)), t=\frac{\pi}{6}$$

c)$$f(t)=(\cos (t), \sin (t), \cos (2 t)), t=\frac{\pi}{3}$$

d)$$f(t)=(2 \cos (2 t), 3 \sin (2 t), 3 t), t=0$$

Responder

a)$$A(t)=(1,12)(t-2)+(2,8)$$

c)$$A(t)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2},-\sqrt{3}\right)\left(t-\frac{\pi}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Deje que$$f(t)=(2 \cos (\pi t), 3 \sin (\pi t))$$ entre parametrizar una elipse$$E$$ $$\mathbb{R}^2$$. Trazar$$E$$ junto con la línea tangente en$$f\left(\frac{2}{3}\right)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f(t)=((1+2 \cos (t)) \cos (t),(1+2 \cos (t)) \sin (t))$$ parametrizar una curva$$C$$ en$$\mathbb{R}^2$$. Trazar$$C$$ junto con la línea tangente en$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$h(t)=\left(\sin (2 \pi t), \cos (2 \pi t), \frac{t}{2}\right)$$ parametrizar una hélice$$H$$ circular$$\mathbb{R}^3$$. Trazar$$H$$ junto con la línea tangente en$$h\left(\frac{3}{2}\right)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$g(t)=(\cos (\pi t), \sqrt{t}, \sin (\pi t))$$ parametrizar una curva$$C$$ en$$\mathbb{R}^3$$. Trazar$$C$$ junto con la línea tangente en$$g\left(\frac{1}{4}\right)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Supongamos que$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ se define por$$f(t)=(t, \varphi(t))$$, donde$$\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ es diferenciable, y dejar que$$C$$ sea la curva en$$\mathbb{R}^2$$ parametrizada por$$f$$. Mostrar que la línea tangente a$$C$$ at$$f(c)$$ es la misma que la línea tangente a la gráfica de$$\varphi$$ at$$(c, \varphi(c)$$.

Responder

Tenga en cuenta que la línea tangente a$$C$$ at$$f(c)$$ está parametrizada por

$A(t)=\left(1, \varphi^{\prime}(c)\right)(t-c)+(c, \varphi(c))=\left(t, \varphi^{\prime}(c)(t-c)+\varphi(c)\right) \nonumber$

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$C$$ ser la curva en$$\mathbb{R}^2$$ parametrizada por$$f(t)=\left(t^{3}, t^{6}\right),-\infty<t<\infty .$$ Es$$f$$ una parametrización suave de$$C$$? Si no, ¿se puede encontrar una parametrización suave de$$C$$?

Responder

No, no$$f$$ es una parametrización suave de$$C$$ desde entonces$$D f(0)=(0,0)$$. Sin embargo$$g(t)=\left(t, t^{2}\right),-\infty<t<\infty$$,, es una parametrización suave de$$C$$.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Dejar$$C$$ ser la curva en$$\mathbb{R}^2$$ parametrizada por$$f(t)=\left(t^{2}, t^{2}\right),-\infty<t<\infty$$. Demostrar que no$$f$$ es una parametrización suave de$$C$$. ¿Dónde está el problema? Trazar$$C$$ e identificar la ubicación del problema.

Responder

$$f$$no es una parametrización suave de$$C$$ desde entonces$$D f(0)=(0,0)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Dejar$$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$$ y$$\mathbf{p}$$ ser vectores en$$\mathbb{R}^n$$ y dejar$$C$$ ser la curva en$$\mathbb{R}^n$$ parametrizada por$$f(t)=t \mathbf{v}+\mathbf{p}$$. ¿Cuál es la mejor aproximación afín a$$f$$ at$$t=t_{0}$$?

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Para cada una de las siguientes, encuentra el vector tangente unitario y el vector normal de unidad principal en el punto indicado.

a)$$f(t)=\left(t, t^{2}\right), t=1$$

b)$$g(t)=(3 \sin (2 t), 3 \cos (2 t)), t=\frac{\pi}{3}$$

c)$$f(t)=(2 \cos (t), 4 \sin (t)), t=\frac{\pi}{4}$$

d)$$h(t)=(\cos (\pi t), 2 \sin (\pi t)), t=\frac{3}{4}$$

e)$$g(t)=(\cos (t), \sin (t), t), t=\frac{\pi}{3}$$

f)$$f(t)=(2 \sin (t), 3 \cos (2 t), 2 t), t=\frac{\pi}{4}$$

g)$$f(t)=(\sin (\pi t),-\cos (\pi t), 3 t), t=\frac{1}{2}$$

h)$$g(t)=\left(\cos \left(\pi t^{2}\right), \sin \left(\pi t^{2}\right), t^{2}\right), t=1$$

i)$$f(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), t=2$$

Responder

a)$$T(1)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2) ; N(1)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1)$$

c)$$T\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2) ; N\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$$

e)$$T\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ; N\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$

g)$$T\left(\frac{1}{2}\right)=\left(0, \frac{\pi}{\sqrt{9+\pi^{2}}}, \frac{3}{\sqrt{9+\pi^{2}}}\right) ; N\left(\frac{1}{2}\right)=(-1,0,0)$$

i)$$T(2)=\frac{1}{\sqrt{161}}(1,4,12) ; N(2)=\frac{1}{\sqrt{29141}}(-76,-143,54)$$

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Usa el hecho de que$$f(t)=(b \cos (t), b \sin (t))$$ parametriza un círculo de radio$$b$$ para mostrar que un radio de un círculo siempre es perpendicular a la línea tangente en el punto donde el radio toca el círculo.

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Verificar (2.2.21); es decir, mostrar que si$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$$ y$$\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ son ambos diferenciables, entonces

$D(\varphi(t) f(t))=\varphi(t) D f(t)+\varphi^{\prime}(t) f(t). \nonumber$

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Supongamos$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ y ambos$$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ son diferenciables. Demostrar que

$D(f(t) \times g(t))=f(t) \times D g(t)+D f(t) \times g(t), \nonumber$

otra versión más de la regla del producto.

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

La siguiente figura ilustra una curva en R2 parametrizada por alguna función$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$. Si$$\mathbf{T}$$ es el vector tangente unitario en el punto indicado en la curva, entonces cualquiera$$\mathbf{M}$$ o$$\mathbf{N}$$ es el vector normal de unidad principal en ese punto. ¿Cuál es?

Responder

$$M$$

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