Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.3.E: Movimiento a lo largo de una curva (Ejercicios)

  • Page ID
    111721
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Para cada una de las siguientes, supongamos que una partícula se está moviendo a lo largo de una curva para que su posición en el tiempo\(t\) sea dada por\(\mathbf{x}=f(t)\). Encuentra la velocidad y aceleración de la partícula.

    a)\(f(t)=\left(t^{2}+3, \sin (t)\right)\)

    b)\(f(t)=\left(t^{2} e^{-2 t}, t^{3} e^{-2 t}, 3 t\right)\)

    c)\(f(t)=\left(\cos \left(3 t^{2}\right), \sin \left(3 t^{2}\right)\right)\)

    d)\(f(t)=\left(t \cos \left(t^{2}\right), t \sin \left(t^{2}\right), 3 t \cos \left(t^{2}\right)\right)\)

    Responder

    a)\(\mathbf{v}=(2 t, \cos (t)) ; \mathbf{a}=(2,-\sin (t)\)

    c)\(\mathbf{v}=\left(-6 t \sin \left(3 t^{2}\right), 6 t \cos \left(3 t^{2}\right)\right)\);\(\mathbf{a}=\left(-36 t^{2} \cos \left(3 t^{2}\right)-6 \sin \left(3 t^{2}\right),-36 t^{2} \sin \left(3 t^{2}\right)+6 \cos \left(3 t^{2}\right)\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la curvatura de las siguientes curvas en el punto dado.

    a)\(f(t)=\left(t, t^{2}\right), t=1\)

    b)\(f(t)=(3 \cos (t), \sin (t)), t=\frac{\pi}{4}\)

    c)\(f(t)=(\cos (t), \sin (t), t), t=\frac{\pi}{3}\)

    d)\(f(t)=\left(\cos (t), \sin (t), e^{-t}\right), t=0\)

    Responder

    a)\(\frac{2}{5 \sqrt{5}}\)

    c)\(\frac{1}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Trazar la curvatura para cada una de las siguientes curvas en el intervalo dado\(I\).

    a)\(f(t)=\left(t, t^{2}\right), I=[-2,2]\)

    b)\(f(t)=(\cos (t), 3 \sin (t)), I=[0,2 \pi]\)

    c)\(g(t)=((1+2 \cos (t)) \cos (t),(1+2 \cos (t)) \sin (t)), I=[0,2 \pi]\)

    d)\(h(t)=(2 \cos (t), \sin (t), 2 t), I=[0,2 \pi] \)

    e)\(f(t)=(4 \cos (t)+\sin (4 t), 4 \sin (t)+\sin (4 t)), I=[0,2 \pi]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Para cada una de las siguientes, supongamos que una partícula se está moviendo a lo largo de una curva para que su posición en el tiempo\(t\) sea dada por\(\mathbf{x}=f(t)\). Encuentre las coordenadas de aceleración en la dirección del vector tangente unitario y en la dirección del vector normal de la unidad principal en el punto especificado. Escriba la aceleración como una suma de múltiplos escalares del vector tangente unitario y el vector normal de la unidad principal.

    a)\(f(t)=(\sin (t), \cos (t)), t=\frac{\pi}{3}\)

    b)\(f(t)=(\cos (t), 3 \sin (t)), t=\frac{\pi}{4}\)

    c)\(f(t)=\left(t, t^{2}\right), t=1\)

    d)\(f(t)=(\sin (t), \cos (t), t), t=\frac{\pi}{3}\)

    Responder

    a)\(a_{T}=0 ; a_{N}=1 ; a\left(\frac{\pi}{3}\right)=N\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

    c)\(a_{T}=\frac{4}{\sqrt{5}} ; a_{N}=\frac{2}{\sqrt{5}} ; a(1)=\frac{4}{\sqrt{5}} T(1)+\frac{2}{\sqrt{5}} N(1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Supongamos que una partícula se mueve a lo largo\(C\) de una curva de\(\mathbb{R}^{3}\) manera que su posición en el tiempo\(t\) viene dada por\(\mathbf{x}=f(t)\). Dejar\(\mathbf{v}\),\(s\), y\(\mathbf{a}\) denotar la velocidad, velocidad, y aceleración de la partícula, respectivamente, y dejar\(\boldsymbol{\kappa}\) ser la curvatura de\(C\).

    a) Utilizando los hechos\(\mathbf{v}=s T(t)\) y

    \[ \mathbf{a}=\frac{d s}{d t} T(t)+s^{2} \kappa N(t) , \nonumber \]

    demostrar que\[ \mathbf{v} \times \mathbf{a}=s^{3} \kappa(T(t) \times N(t)) . \nonumber \]

    b) Utilizar el resultado de la parte (a) para demostrar que

    \[ \kappa=\frac{\|\mathbf{v} \times \mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|^{3}}. \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dejar\(H\) ser la hélice en\(\mathbb{R}^{3}\) parametrizada por\(f(t)=(\cos (t), \sin (t), t)\). Usa el resultado del Ejercicio 5 para calcular la curvatura\(\boldsymbol{\kappa}\) de\(H\) para cualquier momento\(t\).

    Responder

    \( \frac{1}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dejar\(C\) ser la hélice elíptica en\(\mathbb{R}^{3}\) parametrizada por\(f(t)=(4 \cos (t), 2 \sin (t), t)\). Utilice el resultado del Ejercicio 5 para calcular la curvatura\(\boldsymbol{\kappa}\) de\(C\) at\(t=\frac{\pi}{4}\)

    Responder

    \(\frac{\sqrt{74}}{11 \sqrt{11}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(C\) ser la curva en la\(\mathbb{R}^{2}\) que se encuentra la gráfica de la función\(\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Usa el resultado del Ejercicio 5 para mostrar que la curvatura de\(C\) en el punto\((t, \varphi(t))\) es

    \[\kappa=\frac{\left|\varphi^{\prime \prime}(t)\right|}{\left(1+\left(\varphi^{\prime}(t)\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} . \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(P\)Déjese ser la gráfica de\(f(t)=t^{2}\). Usa el resultado del Ejercicio 8 para encontrar la curvatura de\(P\) at (1, 1) y (2, 4).

    Responder

    \(\frac{2}{5 \sqrt{5}}\)y\(\frac{2}{17 \sqrt{17}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(C\)Déjese ser la gráfica de\(f(t)=t^{3}\). Usa el resultado del Ejercicio 8 para encontrar la curvatura de\(C\) at (1, 1) y (2, 8).

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(C\)Déjese ser la gráfica de\(g(t)=\sin (t)\). Usa el resultado del Ejercicio 8 para encontrar la curvatura de\(C\) at\(\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\) y\(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

    Responder

    1 y\(\frac{2}{3 \sqrt{3}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Para cada una de las siguientes, supongamos que una partícula se está moviendo a lo largo de una curva para que su posición en el tiempo\(t\) sea dada por\(\mathbf{x}=f(t)\). Encuentra la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo dado.

    a)\(f(t)=(\sin (t), 3 \cos (t)), I=[0,2 \pi]\)

    b)\(f(t)=(\cos (\pi t), \sin (\pi t), 2 t), I=[0,4]\)

    c)\(f(t)=\left(t, t^{2}\right), I=[0,2]\)

    d)\(f(t)=(t \cos (t), t \sin (t)), I=[0,2 \pi]\)

    e)\(f(t)=\left(\cos (2 \pi t), \sin (2 \pi t), 3 t^{2}, t\right), I=[0,1]\)

    f)\(f(t)=\left(e^{-t} \cos (\pi t), e^{-t} \sin (\pi t)\right), I=[-2,2]\)

    g)\(f(t)=(4 \cos (t)+\sin (4 t), 4 \sin (t)+\sin (4 t)), I=[0,2 \pi]\)

    Responder

    a)\(13.3649\)

    c)\(\sqrt{17}+\frac{1}{4} \sinh ^{-1}(4) \approx 4.64678\)

    e)\(\frac{1}{2} \sqrt{37+4 \pi^{2}}+\frac{1}{12}\left(1+4 \pi^{2}\right) \sinh ^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{1+4 \pi^{2}}}\right) \approx 7.20788\)

    g)\(32.2744\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Verificar que la circunferencia de un círculo de radio\(r\) sea\(2\pi r\).

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    La curva parametrizada por

    \[ f(t)=(\sin (2 t) \cos (t), \sin (2 t) \sin (t)) \nonumber \]

    tiene cuatro “pétalos”. Encuentra la longitud de uno de estos pétalos.

    Responder

    2.4221

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    La curva\(C\) parametrizada por\(h(t)=\left(\cos ^{3}(t), \sin ^{3}(t)\right)\) se denomina hipocicloide (ver Figura 2.2.3 en la Sección 2.2). Encuentra la longitud de\(C\).

    Contestar

    6

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Supongamos que\(\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es continuamente diferenciable y deja\(C\) ser la parte de la gráfica de\(\varphi\) sobre el intervalo\([a,b]\). Demostrar que la longitud de\(C\) es

    \[ \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\varphi^{\prime}(t)\right)^{2}} d t . \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Usa el resultado del Ejercicio 16 para encontrar la longitud de un arco de la gráfica de\(f(t)= \sin (t)\).

    Contestar

    3.8202

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Dejar\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) parametrizar una curva\(C\). Decimos que\(C\) está parametrizado por la longitud del arco si es\(\|D h(t)\|=1\) para todos\(t\).

    (a) Dejar\(\sigma\) ser la función de longitud de arco para\(C\) usar la parametrización\(f\) y dejar\(\sigma^{-1}\) ser su función inversa. Mostrar que la función\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) definida por\(g(u)=f\left(\sigma^{-1}(u)\right)\) parametriza\(C\) por longitud de arco.

    (b) Dejar\(C\) que la hélice circular entre\(\mathbb{R}^{3}\) con parametrización\(f(t)=(\cos (t), \sin (t), t)\). Encuentra una función\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) que parametriza\(C\) por longitud de arco.

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Supongamos que\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es continuo en el intervalo cerrado\([a,b]\) y tiene funciones de coordenadas\(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\). Definimos la integral definida de f sobre el intervalo\([a,b]\) para ser

    \[ \int_{a}^{b} f(t) d t=\left(\int_{a}^{b} f_{1}(t) d t, \int_{a}^{b} f_{2}(t) d t, \ldots, \int_{a}^{b} f_{n}(t) d t\right) . \nonumber \]

    Mostrar que si una partícula se mueve así su velocidad en el tiempo\(t\) es\(\mathbf{v}(t)\), entonces, asumiendo que\(\mathbf{v}\) es una función continua en un intervalo\([a,b]\), la posición de la partícula para cualquier momento\(t\) en\([a,b]\) viene dada por

    \[ \mathbf{x}(t)=\int_{a}^{t} \mathbf{v}(s) d s+\mathbf{x}(a) . \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una curva de\(\mathbb{R}^{3}\) manera que su velocidad en cualquier momento\(t\) es

    \[ \mathbf{v}(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), 3 t) . \nonumber \]

    Si la partícula está en (0, 1, 0) cuando\(t=0\), use el Ejercicio 19 para determinar su posición para cualquier otro momento\(t\).

    Contestar

    \(\mathbf{x}(t)=\left(\frac{1}{2} \sin (2 t), \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cos (2 t), \frac{3}{2} t^{2}\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una curva de\(\mathbb{R}^{3}\) manera que su aceleración en cualquier momento\(t\) es

    \[ \mathbf{a}(t)=(\cos (t), \sin (t), 0) .\nonumber \]

    Si la partícula está en (1, 2, 0) con la velocidad (0, 1, 1) a la vez\(t=0\), utilice el Ejercicio 19 para determinar su posición para cualquier otro momento\(t\).

    Contestar

    \(\mathbf{x}(t)=(2-\cos (t), 2+2 t-\sin (2 t), t)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Supongamos que un proyectil es disparado desde el suelo en un ángulo\(\alpha\) con una velocidad inicial\(v_0\), como se muestra en la Figura 2.3.5. Dejar\(\mathbf{x}(t)\),\(\mathbf{v}(t)\), y\(\mathbf{a}(t)\) ser la posición, velocidad y aceleración, respectivamente, del proyectil en el momento\(t\).

    Screen Shot 2021-07-21 a las 07.45.24.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): La trayectoria de un proyectil

    a) Explique por qué\(\mathbf{x}(0)=(0,0)\)\(\mathbf{v}(0)=\left(v_{0} \cos (\alpha), v_{0} \sin (\alpha)\right)\), y\(\mathbf{a}(t)=(0,-g)\) para todos\(t\), dónde\(g=9.8\) metros por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad.

    b) Utilice el Ejercicio 19 para encontrar\(\mathbf{v}(t)\).

    (c) Utilice el Ejercicio 19 para encontrar\(\mathbf{x}(t)\).

    (d) Demostrar que la curva parametrizada por\(\mathbf{x}(t)\) es una parábola. Es decir, dejar\(\mathbf{x}(t)=(x, y)\) y mostrar eso\(y=a x^{2}+b x+c\) para algunas constantes\(a\),\(b\), y\(c\).

    e) Demostrar que el alcance del proyectil, es decir, la distancia horizontal recorrida, es

    \[ R=\frac{v_{0} \sin (2 \alpha)}{g} \nonumber \]

    y concluyen que el rango se maximiza cuando\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)

    f) ¿Cuándo choca el proyectil contra el suelo?

    g) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? ¿Cuándo alcanza esta altura?

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Supongamos que\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{m}\) son vectores unitarios en\(\mathbb{R}^{n}\),\(m \leq n,\) que son mutuamente ortogonales (es decir,\(a_{i} \perp a_{j}\) cuándo\(i \neq j\)). Si\(\mathbf{x}\) es un vector en\(\mathbb{R}^{n}\) con

    \[ \mathbf{x}=x_{1} \mathbf{a}_{1}+x_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+x_{m} \mathbf{a}_{m} , \nonumber \]

    demostrar eso\(x_{i}=\mathbf{x} \cdot \mathbf{a}_{i}, i=1,2, \ldots, m\).


    This page titled 2.3.E: Movimiento a lo largo de una curva (Ejercicios) is shared under a CC BY-NC-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Dan Sloughter via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.