3.1.E: Geometría, Límites y Continuidad (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Trazar la gráfica y una gráfica de contorno para cada una de las siguientes funciones. Haga sus parcelas sobre regiones lo suficientemente grandes como para ilustrar el comportamiento de la función.

(a)\(f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}\)

b)\(f(x, y)=x^{2}-y^{2}\)

c)\(f(x, y)=4 y^{2}-2 x^{2}\)

(d)\(h(x, y)=\sin (x) \cos (y)\)

(e)\(f(x, y)=\sin (x+y)\)

f)\(g(x, y)=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\)

(g)\(g(x, y)=\sin \left(x^{2}-y^{2}\right)\)

(h)\(h(x, y)=x e^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

(i)\(f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{1}{2 \pi}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\)

(j)\(f(x, y)=\sin (\pi \sin (x)+y)\)

(k)\(h(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\)

(l)\(g(x, y)=\log \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada una de las siguientes, trazar la superficie de contorno\(f(x,y,z) = c\) para el valor especificado de\(c\)

(a)\(f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, c=4\)

b)\(f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+2 z^{2}, c=7\)

c)\(f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}, c=1\)

(d)\(f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}, c=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Evaluar los siguientes límites.

(a)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)}\left(3 x y+x^{2} y+4 y\right)\)

b)\(\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,2,1)} \frac{3 x y z}{2 x y^{2}+4 z}\)

c)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{\cos (3 x y)}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

(d)\(\lim _{(x, y, z) \rightarrow(2,1,3)} y e^{2 x-3 y+z}\)

Contestar

(a)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)}\left(3 x y+x^{2} y+4\right)=14\)

b)\(\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,2,1)} \frac{3 x y z}{2 x y^{2}+4 z}=\frac{1}{2}\)

c)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{\cos (3 x y)}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

(d)\(\lim _{(x, y, z) \rightarrow(2,1,3)} y e^{2 x-3 y+z}=e^{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada una de las siguientes, ya sea encuentre el límite especificado o explique por qué no existe el límite.

(a)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)

b)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y}\)

c)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y^{2}}\)

(d)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

(e)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}\)

f)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\)

Contestar

(a)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\)

(c) El límite no existe: Por ejemplo, si dejamos

\[f(x, y)=\frac{x}{x+y^{2}} \nonumber \]

\(\alpha(t)=(0, t)\), y\(\beta(t)=(t, 0)\), entonces

\[ \lim _{t \rightarrow 0} f(\alpha(t))=0 \nonumber \]

mientras

\[ \lim _{t \rightarrow 0} f(\beta(t))=1. \nonumber \]

(e)\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Vamos\(f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{4}+4 y^{2}}\).

a) Definir\(\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) por\(\alpha(t)=(t, 0)\). \(\lim _{t \rightarrow 0} f(\alpha(t))=0\)Demuéstralo.

b) Definir\(\beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) por\(\beta(t)=(0, t)\). \(\lim _{t \rightarrow 0} f(\beta(t))=0\)Demuéstralo.

(c) Demostrar eso para cualquier número real\(m\), si definimos\(\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) por\(\gamma(t)=(t, m t)\), entonces\(\lim _{t \rightarrow 0} f(\gamma(t))=0\).

d) Definir\(\delta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) por\(\delta(t)=\left(t, t^{2}\right)\). \(\lim _{t \rightarrow 0} f(\delta(t))=\frac{1}{5}\)Demuéstralo.

(e) ¿Qué puede concluir sobre\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+4 y^{2}} ?\)

(f) Trazar la gráfica\(f\) y explicar sus resultados en términos de la gráfica.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Discutir la continuidad de la función

\[ f(x, y)= \begin{cases}\frac{1-e^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { if }(x, y) \neq(0,0), \\ 1, & \text { if }(x, y)=(0,0) .\end{cases} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Discutir la continuidad de la función

\[ g(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}}, & \text { if }(x, y) \neq(0,0), \\ 1, & \text { if }(x, y)=(0,0) . \end{cases} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para cada uno de los siguientes, decidir si el conjunto dado es abierto, cerrado, ni abierto ni cerrado, o tanto abierto como cerrado.

(a)\((3,10) \text { in } \mathbb{R}\)

b)\([-2,5] \text { in } \mathbb{R}\)

c)\(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<4\right\} \text { in } \mathbb{R}^{2}\)

(d)\(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}>4\right\} \text { in } \mathbb{R}^{2}\)

(e)\(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} \text { in } \mathbb{R}^{2}\)

f)\(\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}=4\right\} \text { in } \mathbb{R}^{2}\)

(g)\(\{(x, y, z):-1<x<1,-2<y<3,2<z<5\} \text { in } \mathbb{R}^{3}\)

(h)\(\{(x, y):-3<x \leq 4,-2 \leq y<1\} \text { in } \mathbb{R}^{2}\)

Contestar

a) Abierto

b) Cerrado

(c) Abierto

d) Abierto

e) Cerrado

f) Cerrado

g) Abierto

h) Ni abierto ni cerrado

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dé un ejemplo de un subconjunto del\(\mathbb{R}\) cual no es ni abierto ni cerrado.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

¿Es posible que un subconjunto de\(\mathbb{R}^2\) sea tanto abierto como cerrado? Explique.