3.3.E: Mejores aproximaciones afín (ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes, encuentre la mejor aproximación afín a la función dada en el punto especificado\(\mathbf{c}\).

(a)\(f(x, y)=3 x^{2}+4 y^{2}-2, \mathbf{c}=(2,1)\)

b)\(g(x, y)=y^{2}-x^{2}, \mathbf{c}=(1,-2)\)

c)\(g(x, y)=y^{2}-x^{2}, \mathbf{c}=(0,0)\)

d)\(f(x, y, z)=-\log \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), \mathbf{c}=(1,0,0)\)

(e)\(h(w, x, y, z)=w^{2}+x^{2}+3 y^{2}=2 z^{2}, \mathbf{c}=(1,2,-2,1)\)

Contestar

(a)\(A(x, y)=12 x+4 y-12\)

c)\(A(x, y)=0\)

(e)\(A(w, x, y, z)=2 w+4 x-12 y-4 z-19\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada una de las siguientes, encuentra la ecuación del plano tangente a la gráfica de\(f\) para el punto dado\(\mathbf{c}\). Trazar la gráfica y el plano tangente juntos.

(a)\(f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}, \mathbf{c}=(1,-1)\)

b)\(f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}, \mathbf{c}=(2,1)\)

c)\(f(x, y)=9-x^{2}-y^{2}, \mathbf{c}=(2,-2)\)

d)\(f(x, y)=3 y^{2}-x^{2}, \mathbf{c}=(1,-1)\)

Contestar

(a)\(8 x-2 y-z=5\)

c)\(4 x-4 y+z=17\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) es la mejor aproximación afín a\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) at\(\mathbf{c}\). \(|\nabla f(\mathbf{c}) \cdot \mathbf{h}|\)Explique por qué es una buena aproximación para\(|f(\mathbf{c}+\mathbf{h})-f(\mathbf{c})|\) cuando\(\|\mathbf{h}\| \) es pequeño. Es decir, explicar por qué\(|\nabla f(\mathbf{c}) \cdot \mathbf{h}|\) es una buena aproximación para el error en aproximar\(f(\mathbf{c}+\mathbf{h})\) por\(f(\mathbf{c})\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) está definido por\(f(x, y, z)=x y z\).

(a) Encontrar la mejor aproximación afín a\(f\) at (3, 2, 4).

(b) Supongamos\(x\)\(y\), y\(z\) representar el largo, ancho y alto de una caja. Supongamos que mide el largo para ser\(3 \pm h\) centímetros, el ancho para ser\(2 \pm h\) centímetros, y la altura para ser\(4 \pm h\) centímetros. Usa la mejor aproximación afín de (a) para aproximar el error máximo que harías al calcular el volumen de la caja a partir de estas medidas.

Contestar

(a)\(A(x, y, z)=8 x+12 y+6 z-48\)

b)\(26 h\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Una placa de metal se calienta de manera que su temperatura en un punto (x, y) es

\[ T(x, y)=50 y^{2} e^{-\frac{1}{5}\left(x^{2}+y^{2}\right)} . \nonumber \]

Un error se mueve a lo largo de la elipse parametrizado por

\[ \alpha(t)=(\cos (t), 2 \sin (t)) . \nonumber \]

Encuentra la tasa de cambio de temperatura para el error a veces\(t=0, t=\frac{\pi}{4},\) y\(t=\frac{\pi}{2}\).

Contestar

\(\left.\frac{d T}{d t}\right|_{t=0}=0 ;\left.\frac{d T}{d t}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=140 e^{-\frac{1}{2}} ;\left.\frac{d T}{d t}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(x\),\(y\), y\(z\) ser el largo, ancho y alto, respectivamente, de una caja. Supongamos que la caja está aumentando de tamaño de manera que cuando\(x = 3\)\(y = 2\) centímetros,\(z = 5\) centímetros y centímetros, la longitud aumenta a razón de 2 centímetros por segundo, el ancho a razón de 4 centímetros por segundo, y la altura a razón de 3 centímetros por segundo.

(a) Encontrar la tasa de cambio del volumen de la caja en este momento.

(b) Encontrar la tasa de cambio de la longitud de la diagonal de la caja en este momento.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(w=-\log \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\) y\((x, y, z)=(4 t, \sin (t), \cos (t)\). Encuentra

\[ \left.\frac{d w}{d t}\right|_{t=\frac{\pi}{3}} . \nonumber \]

Contestar

\(\left.\frac{d w}{d t}\right|_{t=\frac{\pi}{3}}=-\frac{96 \pi}{16 \pi^{2}+9} \approx-1.807\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

La energía cinética\(K\) de un objeto de masa que\(m\) se mueve en línea recta con velocidad\(v\) es

\[ K=\frac{1}{2} m v^{2} . \nonumber \]

Si, a la vez\(t=t_0\),\(m = 2000\) kilogramos,\(v = 50\) metros por segundo,\(m\) disminuye a razón de 2 kilogramos por segundo, y\(v\) va aumentando a una tasa de 1.5 metros por segundo por segundo, encuentre

\[ \left.\frac{d K}{d t}\right|_{t=t_{0}} . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Cada una de las siguientes ecuaciones especifica alguna curva en\(\mathbb{R}^2\). En cada caso, encuentra una ecuación para la línea tangente a la curva en el punto dado\(\mathbf{a}\).

(a)\(x^{2}+y^{2}=5, \mathbf{a}=(2,1)\)

b)\(2 x^{2}+4 y^{2}=18, \mathbf{a}=(1,-2)\)

c)\(y^{2}-x=0, \mathbf{a}=(4,-2)\)

d)\(y^{2}-x^{2}=5, \mathbf{a}=(-2,3)\)

Contestar

(a)\(2 x+y=5\)

c)\(x+4 y=-4\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Cada una de las siguientes ecuaciones especifica alguna superficie en\(\mathbb{R}^3\). En cada caso, encuentra una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto dado\(\mathbf{a}\).

(a)\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=14, \mathbf{a}=(2,1,-3)\)

b)\(x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=9, \mathbf{a}=(2,-1,1)\)

c)\(x^{2}+y^{2}-z^{2}=1, \mathbf{a}=(1,2,2)\)

d)\(x y z=6, \mathbf{a}=(1,2,3)\)

Contestar

(a)\(2 x+y-3 z=14\)

c)\(x+2 y-2 z=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) es diferenciable en\((a,b)\)\(f(a,b) = c\),, y\(\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \neq 0\). Dejar\(C\) ser la curva de nivel de\(f\) con ecuación\(f(x,y) = c\). Demostrar que

\[ y=-\frac{\frac{\partial}{\partial x} f(a, b)}{\frac{\partial}{\partial y} f(a, b)}(x-a)+b \nonumber \]

es una ecuación para la línea tangente a\(C\) at\((a,b)\).