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3.6: Integrales definidas

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    111729
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Primero definiremos la integral definida para una función\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) y posteriormente indicaremos cómo se puede extender la definición a funciones de tres o más variables.

    Productos cartesianos

    Encontraremos útil la siguiente notación. Dados dos conjuntos de números reales\(A\) y\(B\), definimos el producto cartesiano de\(A\) y\(B\) para ser el conjunto

    \[ A \times B=\{(x, y): x \in A, y \in B\} . \]

    Por ejemplo, si\(A=\{1,2,3\}\) y\(B=\{5,6\}\), entonces

    \[ A \times B=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6)\} . \nonumber \]

    En particular, si\(a<b, c<d, A=[a, b]\), y\(B=[c, d]\), entonces\(A \times B=[a, b] \times[c, d]\) es el rectángulo cerrado

    \[ \{(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} , \nonumber \]

    como se muestra en la Figura 3.6.1.

    Capturación de pantalla 2021-08-06 a las 08.58.51.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): El rectángulo cerrado\([a, b] \times[c, d]\)

    De manera más general, dados los números reales\(a_{i}<b_{i}, i=1,2,3, \ldots, n\), podemos escribir

    \[ \left[a_{1}, b_{1}\right] \times\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots\left[a_{n}, b_{n}\right] \nonumber \]

    para el rectángulo cerrado

    \[ \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right): a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i}, i=1,2, \ldots, n\right\} \nonumber \]

    y

    \[ \left(a_{1}, b_{1}\right) \times\left(a_{2}, b_{2}\right) \times \cdots\left(a_{n}, b_{n}\right) \nonumber \]

    para el rectángulo abierto

    \[ \left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right): a_{i}<x_{i}<b_{i}, i=1,2, \ldots, n\right\} . \nonumber \]

    Integrales definidas en rectángulos

    Dado\(a<b\) y\(c<d\), vamos

    \[ D=[a, b] \times[c, d] \nonumber \]

    y supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) se define en todos\(D\). Además, suponemos que\(f\) está acotado\(D\), es decir, existen constantes\(m\) y\(M\) tales que\(m \leq f(x, y) \leq M\) para todos\((x,y)\) adentro\(D\). En particular, el Teorema del Valor Extremo implica que\(f\) se limita a\(D\) si\(f\) es continuo en\(D\). Nuestra definición de la integral definida de\(f\) sobre el rectángulo\(D\) seguirá la definición del cálculo de una variable. Dados enteros positivos\(m\) y\(n\), dejamos\(P\) ser una partición de\([a,b]\) en\(m\) intervalos, es decir, un conjunto\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}\) donde

    \[ a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{m}=b , \]

    y dejamos\(Q\) ser una partición de\([c,d]\) en\(n\) intervalos, es decir, un conjunto\(Q=\left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}\) donde

    \[ c=y_{0}<y_{1}<\cdots<y_{n}=d . \]

    Vamos a dejar\(P \times Q \) denotar la partición de\(D\) en\(mn\) rectángulos

    \[ D_{i j}=\left[x_{i-1}, x_{i}\right] \times\left[y_{j-1}, y_{j}\right] , \]

    dónde\(i=1,2, \ldots, m\) y\(j=1,2, \ldots, n\). Tenga en cuenta que\(D_{i j}\) tiene área\(\Delta x_{i} \Delta y_{j}\), donde

    \[ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \]

    y

    \[ \Delta y_{j}=y_{j}-y_{j-1} . \]

    Un ejemplo se muestra en la Figura 3.6.2.

    Capturación de pantalla 2021-08-09 a 08.09.14.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Una partición de un rectángulo\([a, b] \times[c, d]\)

    Ahora deja\(m_{i j}\) ser el mayor número real con la propiedad que\(m_{i j} \leq f(x, y)\) para todos\((x,y)\) en\(D_{ij}\) y\(M_{ij}\) ser el número real más pequeño con la propiedad que\(f(x, y) \leq M_{i j}\) para todos \((x,y)\)pulg\(D_{ij}\). Tenga en cuenta que si\(f\) es continuo\(D\), entonces\(m_{ij}\) es simplemente el valor mínimo de\(f\) on\(D_{ij}\) y\(M_{ij}\) es el valor máximo de\(f\) on\(D_{ij}\), ambos de los cuales están garantizados por el Teorema del Valor Extremo. Si no\(f\) es continuo, nuestra suposición que\(f\) está acotada garantiza sin embargo la existencia del\(m_{ij}\) y\(M_{ij}\), aunque la justificación de esta afirmación se encuentra más allá del alcance de este libro.

    Ahora podemos definir la suma inferior,\(L(f, P \times Q)\), pues\(f\) con respecto a la partición\(P \times Q \) por

    \[ L(f, P \times Q)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} m_{i j} \Delta x_{i} \Delta y_{j} \]

    y la suma superior,\(U(f, P \times Q)\), para\(f\) con respecto a la partición\(P \times Q \) por

    \[ U(f, P \times Q)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{i j} \Delta x_{i} \Delta y_{j} . \]

    Geométricamente, si\(f(x, y) \geq 0\) para todos\((x,y)\) en\(D\) y\(V\) es el volumen de la región que se encuentra debajo de la gráfica de\(f\) y por encima del rectángulo\(D\), entonces\(L(f, P \times Q)\) y\(U(f, P \times Q)\) representan los límites inferior y superior, respectivamente, para\(V\). (Ver Figura 3.6.3 para un ejemplo de un término de una suma menor). Además, debemos esperar que estos límites se puedan hacer arbitrariamente cercanos al\(V\) uso de particiones suficientemente finas\(P\) y\(Q\). En parte esto implica que podemos caracterizarnos\(V\) como el único número real que se encuentra entre\(L(f, P \times Q)\) y\(U(f, P \times Q)\) para todas las elecciones de particiones\(P\) y\(Q\). Esta es la base para la siguiente definición.

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) está delimitado en el rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\). Con la notación como arriba, decimos que\(f\) es integrable en\(D\) si existe un número real único\(I\) tal que

    \[ L(f, P \times Q) \leq I \leq U(f, P \times Q) \]

    para todas las particiones\(P\) de\([a,b]\) y\(Q\) de\([c,d]\). Si\(f\) es integrable encendido\(D\), llamamos a\(I\) la integral definitiva de\(f\) on\(D\), que denotamos

    \[ I=\iint_{D} f(x, y) d x d y . \]

    Geométricamente, si\(f(x, y) \geq 0\) para todos\((x,y)\) en\(D\), podemos pensar en la integral definida de\(f\) on\(D\) como el volumen de la región en la\(R^3\) que se encuentra debajo de la gráfica de\(f\) y por encima del rectángulo \(D\). Otras interpretaciones incluyen la masa total del rectángulo\(D\) (si\(f(x,y)\) representa la densidad de masa en el punto\((x,y)\)) y la carga eléctrica total del rectángulo\(D\) (si\(f(x,y)\) representa la densidad de carga en el punto\((x,y)\)).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) y\(D=[0,1] \times[0,3]\). Si dejamos

    \[ P=\left\{0, \frac{1}{2}, 1\right\} \nonumber \]

    y

    \[ Q=\{0,1,2,3\} , \nonumber \]

    entonces el valor mínimo de\(f\) en cada rectángulo de la partición\(P \times Q \) ocurre en la esquina inferior izquierda del rectángulo y el valor máximo de\(f\) ocurre en la esquina superior derecha del rectángulo. Ver Figura 3.6.3 para una imagen de un término de la suma inferior.

    Capturación de pantalla 2021-08-09 en 08.28.13.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfico de\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) mostrar un término de una suma menor

    De ahí

    \ [\ comenzar {alineado}
    L (f, P\ veces Q) =& f (0,0)\ veces\ frac {1} {2}\ veces 1+f\ izquierda (\ frac {1} {2}, 0\ derecha)\ veces\ frac {1} {2}\ veces 1+f (0,1)\ veces\ frac {1} {2}\ veces 1\\
    &\ +quadf\ left (\ frac {1} {2}, 1\ right)\ times\ frac {1} {2}\ times 1+f (0,2)\ times\ frac {1} {2}\ times 1+f\ left (\ frac {1} {2}, 2\ derecha)\ times\ frac {1} {2}\ times 1\\
    =& 0+\ frac {1} {8} +\ frac {1} {2} +\ frac {5} {8} +2+\ frac {17} {8} {8}\
    =&\ frac {43} {8} =5.375
    \ end {alineado}\]

    y

    \ [\ begin {aligned}
    U (f, P\ times Q) =f &\ left (\ frac {1} {2}, 1\ right)\ times\ frac {1} {2}\ times 1+f (1,1)\ times\ frac {1} {2}\ times 1+f\ left (\ frac {1} {2}, 2\ right)\ times\ frac {1} {2}\ veces 1\\
    &+f (1,2)\ veces\ frac {1} {2}\ veces 1+f\ izquierda (\ frac {1} {2}, 3\ derecha)\ veces\ frac {1} {2}\ tiempos 1+f (1,3)\ veces\ frac {1} {2}\ veces 1\\
    &=\ frac {5} {8} +1+\ frac {17} {8} +\ frac {5} {2} +\ frac {37} {8} +5\\
    &=\ frac {127} {8} =15.875.
    \ end {alineado}\]

    Veremos a continuación que la continuidad de\(f\) implica que\(f\) es integrable en\(D\), por lo que podemos concluir que

    \[ 5.375 \leq \iint\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y \leq 15.875 . \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que\(k\) es una constante y\(f(x, y)=k\) para todos\((x,y)\) en el rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\). El para cualquier partición\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}\) de\([a,b]\) y\(Q=\left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}\) de\([c,d]\),\(m_{i j}=k=M_{i j}\) para\(i=1,2, \ldots, m\) y\(j=1,2, \ldots, n\). De ahí

    \ [\ comenzar {alineado}
    L (f, P\ veces Q) &=U (f, P\ veces Q)\\
    &=\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1} ^ {n} k\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\\
    &=k\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1}}\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\\
    &=k\ veces (\ texto {área de} D)\\
    & ; =k (b-a) (d-c).
    \ end {alineado}\]

    Por lo tanto,\(f\) es integrable y

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D} k d x d y=k(b-a)(d-c) . \nonumber \]

    Por supuesto, geométricamente este resultado es decir que el volumen de una caja con altura\(k\) y base\(D\) es\(k\) veces el área de\(D\). En particular, si\(k=1\) vemos que

    \[ \iint_{D} d x d y=\operatorname{area} \text { of } D . \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Si\(D=[1,2] \times[-1,3]\), entonces

    \[ \int_{D} 5 d x d y=5(2-1)(3+1)=20 . \nonumber \]

    Las propiedades de la integral definida enunciada en la siguiente proposición se desprenden fácilmente de la definición, aunque omitiremos los detalles un tanto técnicos.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) y ambos\(g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) son integrables en el rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\) y\(k\) es una constante escalar. Entonces

    \[ \iint_{D}(f(x, y)+g(x, y)) d x d y=\iint_{D} f(x, y) d x d y+\iint_{D} g(x, y) d x d y ,\]

    \[ \iint_{D} k f(x, y) d x d y=k \iint_{D} f(x, y) d x d y , \]

    y, si\(f(x, y) \leq g(x, y)\) por todos\((x,y)\) en\(D\),

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y \leq \iint_{D} g(x, y) d x d y . \]

    Nuestra definición no proporciona un método práctico para determinar si una función dada es integrable o no. Una caracterización completa de la integrabilidad está más allá del alcance de este texto, pero encontraremos una condición simple muy útil: si\(f\) es continua en un conjunto abierto que contiene el rectángulo\(D\), entonces\(f\) es integrable en\(D\). Si bien no intentaremos una prueba completa de este resultado, el esquema es el siguiente. Si\(f\) es continuo\(D=[a, b] \times[c, d]\) y se nos da alguna\(\epsilon > 0\), entonces es posible encontrar particiones\(P\) de\([a,b]\) y\(Q\) de\([c,d]\) suficientemente finas como para garantizar que si\((x,y)\) y\((u,v)\) son puntos en el mismo rectángulo\(D_{ij}\) de la partición\(P \times Q\) de\(D\), entonces

    \[ |f(x, y)-f(u, v)|<\frac{\epsilon}{(b-a)(d-c)} . \]

    (Tenga en cuenta que esto no es una consecuencia directa de la continuidad de\(f\), sino que se deriva de una propiedad ligeramente más profunda de las funciones continuas en conjuntos delimitados cerrados conocidos como continuidad uniforme). De ello se deduce que si\(m_{ij}\) es el valor mínimo y\(M_{ij}\) es el valor máximo de\(f\) on\(D_{ij}\), entonces

    \ [\ comenzar {alinear}
    U (f, P\ veces Q) -L (f, P\ veces Q) &=\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1} ^ {n} M_ {i j}\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j} -\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1} ^ {n} _ {i j}\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\ nonumber\\
    &=\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1} ^ {n}\ izquierda (M_ {i j} -m_ {i j}\ derecha)\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\ nonúmero\\
    &<\ suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j=1} ^ {n}\ frac {\ épsilon} {(b-a) (d-c)}\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\ label {}\\
    &=\ frac {\ épsilon} {(b-a) (d-c)} suma_ {i=1} ^ {m}\ suma_ {j = 1} ^ {n}\ Delta x_ {i}\ Delta y_ {j}\ nonumber\\
    &=\ frac {\ épsilon} {(b-a) (d-c)} (b-a) (d-c) \ nonumber\\
    &=\ épsilon. \ nonumber
    \ end {align}\]

    Ahora se deduce que podemos encontrar sumas superiores e inferiores que son arbitrariamente cercanas, de lo que sigue la integrabilidad de\(f\).

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\(f\) es continuo en un conjunto abierto que contiene el rectángulo\(D\), entonces\(f\) es integrable en\(D\).

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Si\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\), entonces\(f\) es continuo en todos\(R^2\). De ahí\(f\) que sea integrable en\(D=[0,1] \times[0,3]\).

    Integrales iteradas

    Ahora supongamos que tenemos un rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\) y una función continua\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(f(x, y) \geq 0\) para todos\((x,y)\) adentro\(D\). Let

    \[ B=\{(x, y, z):(x, y) \in D, 0 \leq z \leq f(x, y)\} . \]

    Entonces\(B\) está la región en\(\mathbb{R}^3\) delimitada abajo por\(D\) y arriba por la gráfica de\(f\). Si dejamos\(V\) ser el volumen de\(B\), entonces

    \[ V=\iint_{D} f(x, y) d x d y . \]

    Sin embargo, hay otro enfoque para encontrar\(V\). Si, por cada\( c \leq y \leq d \), dejamos

    \[ \alpha(y)=\int_{a}^{b} f(x, y) d x , \]

    entonces\(\alpha(y)\) es el área de una rebanada de\(B\) corte por un plano ortogonal tanto al\(xy\) plano -plano como al\(yz\) plano y pasando por el punto\( (0,y,0) \) en el\(y\) eje -( ver Figura 3.6.4 para un ejemplo).

    Capturación de pantalla 2021-08-11 en 08.21.50.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): Una porción de la región debajo\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) con área\(\alpha (2)\)

    Si dejamos que la partición\([c,d]\) se\(Q=\left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}\) divida en\(n\) intervalos de igual longitud\(\Delta y\), entonces podemos aproximarnos\(V\) por

    \[ \sum_{j=1}^{n} \alpha\left(y_{i}\right) \Delta y . \]

    Es decir, podemos aproximarnos\(V\) cortando\(B\) en losas de espesor\(\Delta y \) perpendiculares al\(yz\) plano, y luego sumando aproximaciones al volumen de cada losa. A medida que\(n\) aumenta, esta aproximación debe converger a\(V\); al mismo tiempo, dado que (3.6.19) es una aproximación de regla de la derecha a la integral definida de\(\alpha\) over\([c,d]\), la suma debe converger a

    \[ \int_{c}^{d} \alpha(y) d y \nonumber \]

    a medida\(n\) que aumenta. Es decir, deberíamos tener

    \[ V=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} \alpha\left(y_{i}\right) \Delta y=\int_{c}^{d} \alpha(y) d y=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right) d y . \label{3.6.20}\]

    Tenga en cuenta que la expresión en el lado derecho de (\(\ref{3.6.20}\)) no es la integral definida de\(f\) over\(D\), sino más bien dos integrales sucesivas de una variable. También, podríamos haber invertido nuestro orden y primero integrado con respecto\(y\) y luego integrado el resultado con respecto a\(x\).

    Definición\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) se define sobre un rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\). Las integrales iteradas de\(f\) over\(D\) son

    \[ \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right) d y \label{3.6.21} \]

    y

    \[ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d y d x=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x, y) d y\right) d x . \label{3.6.22} \]

    En la situación del párrafo anterior, debemos esperar que las integrales iteradas en (\(\ref{3.6.21}\)) y (\(\ref{3.6.22}\)) sean iguales ya que ambas deben igualar\(V\), el volumen de la región\(B\). Además, ya que también sabemos que

    \[ V=\iint_{D} f(x, y) d x d y , \nonumber \]

    las integrales iteradas deben ser iguales a la integral definida de\(f\) over\(D\). De hecho, estas declaraciones pueden verificarse siempre y cuando\(f\) sea integrable\(D\) y existan las integrales iteradas. En este caso, las integrales iteradas proporcionan un método de evaluación de integrales dobles en términos de integrales de una sola variable (para lo cual podemos usar el Teorema Fundamental del Cálculo).

    Teorema de Fubini (para rectángulos)\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que\(f\) es integrable sobre el rectángulo\(D=[a, b] \times[c, d]\). Si

    \[ \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) d x d y \nonumber \]

    existe, entonces

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) d x d y . \]

    Si

    \[ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d y d x \nonumber \]

    existe, entonces

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y . \]

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Para encontrar el volumen\(V\) de la región debajo de la gráfica de\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) y sobre el rectángulo\(D=[0,1] \times[0,3]\) (como se muestra en la Figura 3.6.5), calculamos

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ iint_ {D}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) d x d y\\
    &=\ int_ {0} ^ {3}\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) d x d y
    \ fin {alineado}\]

    \ [\ begin {alineado}
    &=\ left. \ int_ {0} ^ {3}\ izquierda (\ frac {x^ {3}} {3} +x y^ {2}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {1} d y\\
    &=\ int_ {0} ^ {3}\ izquierda (\ frac {1} {3} +y^ {2}\ derecha) d y\\
    &= izquierda. \ izquierda (\ frac {y} {3} +\ frac {y^ {3}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {3}\\
    &=1+9\\
    &=10.
    \ end {alineado}\]

    Capturación de pantalla 2021-08-10 al 08.05.17.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Región debajo\(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) sobre el rectángulo\([0,1] \times[0,3]\)

    También podríamos calcular la integral iterada en el otro orden:

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ iint_ {D}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) d x d y\\
    &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {3}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (x^ {2} y+\ frac {y^ {3}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {3} d x\\
    &=\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (3 x^ {2} +9\ derecha) d x\\
    &=\ izquierda. \ izquierda (x^ {3} +9 y\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {1}\\
    &=1+9\\
    &=10.
    \ end {alineado}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Si\(D=[1,2] \times[0,1]\), entonces

    \[ \iint_{D} x^{2} y d x d y=\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^{2} y d y d x=\left.\int_{1}^{2} \frac{x^{2} y^{2}}{2}\right|_{0} ^{1} d x=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{6}\right|_{1} ^{2}=\frac{8}{6}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} . \nonumber \]

    Integrales definidas en otras regiones

    Integrales a intervalos son suficientes para la mayoría de las aplicaciones de funciones de una sola variable. Sin embargo, para funciones de dos variables es importante considerar integrales en regiones distintas a los rectángulos. Para ampliar nuestra definición, considere una función\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) definida en una región delimitada\(D\). Dejar\(D^{*}\) ser un rectángulo que contiene\(D\) y, para cualquiera\((x,y)\) en\(D^{*}\), definir

    \[ f^{*}(x, y)= \begin{cases}f(x, y), & \text { if }(x, y) \in D, \\ 0, & \text { if }(x, y) \notin D. \end{cases} \label{3.6.25} \]

    En otras palabras,\(f^*\) es idéntico a\(f\) on\(D\) y 0 en todos los puntos de\(D^*\) fuera de\(D\). Ahora si\(f^*\) es integrable en\(D^*\), y dado que la región donde\(f^*\) está 0 no debe aportar nada al valor de la integral, es razonable definir la integral de\(f\) sobre\(D\) para ser igual a la integral de \(f^*\)terminado\(D^*\).

    Definición\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que\(f\) se define en una región delimitada\(D\) de\(\mathbb{R}^2\) y dejar que\(D^*\) sea cualquier rectángulo que contenga\(D\). Definir\(f^*\) como en (\(\ref{3.6.25}\)). Decimos que\(f\) es integrable en\(D\) si\(f^*\) es integrable on\(D^*\), en cuyo caso definimos

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D^{*}} f^{*}(x, y) d x d y . \]

    Tenga\(f\) en cuenta que la integrabilidad de una región\(D\) depende no sólo de la naturaleza de\(f\), sino\(D\) también de la región. En particular, incluso si\(f\) es continuo en un conjunto abierto que contiene\(D\), todavía puede resultar que no\(f\) es integrable en\(D\) debido a la naturaleza complicada del límite de\(D\). Afortunadamente, existen dos tipos básicos de regiones que ocurren con frecuencia y a las que se generalizan nuestros teoremas anteriores.

    Definición\(\PageIndex{4}\)

    Decimos una región\(D\) en\(\mathbb{R}^2\) es de Tipo I si existen números reales\(a<b\) y funciones continuas\(\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y\(\beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(\alpha(x) \leq \beta(x)\) para todos\(x\) en\([a,b]\) y

    \[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . \]

    Decimos una región\(D\) en\(R^2\) es de Tipo II si existen números reales\(c<d\) y funciones continuas\(\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y\(\delta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(\gamma(y) \leq \delta(y)\) para todos\(y\) en\([c,d]\) y

    \[ D=\{(x, y): c \leq y \leq d, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)\} . \]

    La Figura 3.6.6 muestra ejemplos típicos de regiones de Tipo I y Tipo II.

    Capturación de pantalla 2021-08-10 en 08.19.47.png
    Figura\(\PageIndex{6}\): Regiones de Tipo I y Tipo II

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Si\(D\) es el triángulo con vértices en (0, 0), (1, 0) y (1, 1), entonces

    \[ D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x\} . \nonumber \]

    De ahí\(D\) es una región Tipo I con\(\alpha(x)=0\) y\(\beta(x)=x .\) Tenga en cuenta que también tenemos

    \[ D=\{(x, y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1\} , \nonumber \]

    por lo que también\(D\) es una región Tipo II con\(\gamma(y)=y\) y\(\delta(y)=1\). Ver Figura 3.6.7.

    Screen Shot 2021-08-10 en 08.24.06.png
    Figura\(\PageIndex{7}\): Dos regiones que son tanto de Tipo I como de Tipo II

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    El disco cerrado

    \[ D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \nonumber \]

    es a la vez una región de Tipo I, con

    \[ D=\left\{(x, y):-1 \leq x \leq 1,-\sqrt{1-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}\right\} , \nonumber \]

    y una región de Tipo II, con

    \[ D=\left\{(x, y):-1 \leq y \leq 1,-\sqrt{1-y^{2}} \leq x \leq \sqrt{1-x^{2}}\right\} . \nonumber \]

    Ver Figura 3.6.7.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    \(D\)Sea la región que se encuentra debajo de la gráfica de\(y=x^2\) y por encima del intervalo\( [−1,1] \) en el\(x\) eje. Entonces

    \[ D=\left\{(x, y):-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\} , \nonumber \]

    así\(D\) es una región de Tipo I. Sin embargo, no\(D\) es una región de Tipo II. Ver Figura 3.6.8.

    Capturación de pantalla 2021-08-10 en 08.28.15.png
    Figura\(\PageIndex{8}\): Una región que es de Tipo I pero no de Tipo II

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Si\(D\) es una región de Tipo I o una región de Tipo II y\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) es continua en un conjunto abierto que contiene\(D\), entonces\(f\) es integrable en\(D\).

    Teorema de Fubini (para regiones de Tipo I y Tipo II)\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) es integrable en la región\(D\). Si\(D\) es una región de Tipo I con

    \[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} \nonumber \]

    y la integral iterada

    \[ \int_{a}^{b} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) d y d x \nonumber \]

    existe, entonces

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) d y d x . \]

    Si\(D\) es una región de Tipo II con

    \[ D=\{(x, y): c \leq y \leq d, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)\} \nonumber \]

    y la integral iterada

    \[ \int_{c}^{d} \int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x, y) d x d y \nonumber \]

    existe, entonces

    \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} \int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x, y) d y d x . \]

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Dejar\(D\) ser el triángulo con vértices en (0, 0), (1, 0), y (1, 1), como en el ejemplo anterior. Expresando\(D\) como región de Tipo I, tenemos

    \[ \iint_{D} x y d x d y=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x y d y d x=\left.\int_{0}^{1} \frac{x y^{2}}{2}\right|_{0} ^{x} d x=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{2} d x=\left.\frac{x^{4}}{8}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{8} . \nonumber \]

    Dado que también\(D\) es una región de Tipo II, podemos evaluar la integral en el otro orden, obteniendo

    \[ \iint_{D} x y d x d y=\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} x y d x d y=\left.\int_{0}^{1} \frac{x^{2} y}{2}\right|_{y} ^{1} d y=\int_{0}^{1}\left(\frac{y}{2}-\frac{y^{3}}{2}\right) d y=\left.\left(\frac{y^{2}}{4}-\frac{y^{4}}{8}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{8} . \nonumber \]

    En el último ejemplo la elección de la integración no fue demasiado importante, siendo quizás el primer orden un poco más fácil que el segundo. Sin embargo, hay momentos en que la elección del orden de integración tiene un efecto significativo en la facilidad de integración.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Vamos\(D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1\}\) (ver Figura 3.6.9).

    Capturación de pantalla 2021-08-10 a 08.36.33.png
    Figura\(\PageIndex{9}\): La región\(D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 1\}\)

    Dado que\(D\) es tanto de Tipo I como de Tipo II, podemos evaluar

    \[ \iint_{D} e^{-y^{3}} d x d y \nonumber \]

    ya sea como

    \[ \int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x}}^{1} e^{-y^{3}} d y d x \nonumber \]

    o como

    \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} e^{-y^{3}} d x d y . \nonumber \]

    La primera de estas dos integrales iteradas requiere integración\(g(y)=e^{-y^{3}}\); sin embargo, podemos evaluar la segunda fácilmente:

    \ [\ begin {alineado}
    \ iint_ {D} e^ {-y^ {3}} d x d y &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {y^ {2}} e^ {-y^ {3}} d x d y\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1} x e^ {-y^ {3}}\ derecha|_ {0} ^ {y^ {2}} d y\\
    &=\ int_ {0} ^ {1} y^ {2} e^ {-y^ {3}} d y\\
    &=-\ izquierda. \ frac {1} {3} e^ {-y^ {3}}\ derecha|_ {0} ^ {1}\\
    &=\ frac {1} {3}\ izquierda (1-e^ {-1}\ derecha).
    \ end {alineado}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Dejar\(V\) ser el volumen de la región que se encuentra por debajo del paraboloide\(P\) con ecuación\(z=4-x^{2}-y^{2}\) y por encima del\(xy\) plano (ver Figura 3.6.10).

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Región delimitada por\(z=4-x^{2}-y^{2}\) y el\(xy\) plano

    Dado que la superficie\(P\) se cruza con el\(xy\) plano -cuando

    \[ 4-x^{2}-y^{2}=0 , \nonumber \]

    es decir, cuando

    \[ x^{2}+y^{2}=4 , \nonumber \]

    \(V\)es el volumen de la región delimitada arriba por la gráfica de\(f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}\) y abajo por la región

    \[ D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} . \nonumber \]

    Si describimos\(D\) como una región de Tipo I, es decir,

    \[ D=\left\{(x, y):-2 \leq x \leq 2,-\sqrt{4-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{4-x^{2}}\right\} , \nonumber \]

    entonces podemos computar

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ iint_ {D}\ izquierda (4-x^ {2} -y^ {2}\ derecha) d x d y\\
    &=\ int_ {-2} ^ {2}\ int_ {-\ sqrt {4-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {4-x^ {2}}\ izquierda (4-x^ {2} -izquierda (4-x^ {2} -y^ {2}\ derecha) d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (4 y-x^ {2} y-\ frac {y^ {3}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {-\ sqrt {4-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {4-x^ {2}}} d x\\
    &=\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (8\ sqrt {4-x^ {2}} -2 x^ {2}\ sqrt {4-x^ {2}} -\ frac {2} {3}\ izquierda (4-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}}\ derecha) d x\
    &=2\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (\ izquierda (4-x^ {2}\ derecha)\ sqrt {4 -x^ {2}} -\ frac {1} {3}\ izquierda (4-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}}\ derecha) d x\
    &=\ frac {4} {3}\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (4-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2} d x.
    \ fin {alineado}\]

    Usando la sustitución\(x=2 \sin (\theta)\), tenemos\(d x=2 \cos (\theta) d \theta\), y así

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ frac {4} {3}\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (4-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} d x\\
    &=\ frac {4} {3}\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} 2}}\ izquierda (4-4\ sin ^ {2} (\ theta)\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} 2\ cos (\ theta) d\ theta\
    &=\ frac {64} {3}\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos ^ {4} (\ theta) d\ theta\
    &=\ frac {64} {3}\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ izquierda (\ frac {1+\ cos (2\ theta)} {2}\ derecha) ^ {2} d\ theta\\
    &=\ frac {16} {3}\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ izquierda (1+2\ cos (2\ theta) +\ cos ^ {2} (2\ theta)\ derecha) d\ theta\\
    &=\ frac {16} {3}\ left (\ left. \ theta\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ izquierda. \ sin (2\ theta)\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ frac {1+\ cos (4\ theta)} {2} d\ theta\ derecha)\
    &=\ frac {16} {3}\ left (\ pi+\ left. \ frac {\ theta} {2}\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ izquierda. \ frac {1} {8}\ sin (4\ theta)\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ derecha)\\
    &=\ frac {16} {3}\ izquierda (\ pi+\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\\
    &=8\ pi.
    \ end {alineado}\]

    Integrales de funciones de tres o más variables

    Ahora vamos a esbozar cómo extender la definición de la integral definida a dimensiones superiores. Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) está delimitado en un rectángulo cerrado\(n\) -dimensional

    \[ D=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots\left[a_{n}, b_{n}\right] . \nonumber \]

    Dejar\(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\) particionar los intervalos\(\left[a_{1}, b_{1}\right],\left[a_{2}, b_{2}\right], \ldots,\left[a_{n}, b_{n}\right]\) en\(m_{1}, m_{2}, \ldots , m_n \), respectivamente, intervalos, y dejar\(P_{1} \times P_{2} \times \cdots \times P_{n}\) representar la partición correspondiente de\(D\) rectángulos cerrados\(m_{1} m_{2} \cdots m_{n}\) \(n\)-dimensionales \(D_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\). Si\(m_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\) es el mayor número real tal que\(m_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}} \leq f(\mathbf{x})\) para todos\(\mathbf{x}\) en\(D_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\) y\(M_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\) es el número real más pequeño tal que\(f(\mathbf{x}) \leq M_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\) para todos\(\mathbf{x}\) en \(D_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}\), entonces podemos definir la suma inferior

    \[ L\left(f, P_{1} \times P_{2} \times \cdots \times P_{n}\right)=\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}} \sum_{i_{2}}^{m_{2}} \cdots \sum_{i_{n}=1}^{m_{n}} m_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}} \Delta x_{1 i_{1}} \Delta x_{2 i_{2}} \cdots \Delta x_{n i_{n}} \]

    y la suma superior

    \[ U\left(f, P_{1} \times P_{2} \times \cdots \times P_{n}\right)=\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}} \sum_{i_{2}}^{m_{2}} \cdots \sum_{i_{n}=1}^{m_{n}} M_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}} \Delta x_{1 i_{1}} \Delta x_{2 i_{2}} \cdots \Delta x_{n i_{n}} , \]

    donde\(\Delta x_{j k}\) es la longitud del intervalo\(k\) th de la partición\(P_j\). Entonces decimos que\(f\) es integrable en\(D\) si existe un número real único\(I\) con la propiedad que

    \[ L\left(f, P_{1} \times P_{2} \times \cdots \times P_{n}\right) \leq I \leq U\left(f, P_{1} \times P_{2} \times \cdots \times P_{n}\right) \]

    para todas las opciones de particiones\(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\) y escribimos

    \[ I=\int \cdots \iint_{D} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} d x_{2} \cdots d x_{n} , \]

    o

    \[ I=\int \cdots \iint_{D} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} , \]

    para la integral definitiva de\(f\) on\(D\).

    Ahora podemos generalizar la definición de la integral a las regiones más generales de la misma manera que antes. Además, nuestro teorema de integrabilidad y el teorema de Fubini, con los cambios apropiados, también se mantienen. Cuando\(n=3\), podemos interpretar

    \[ \iiint_{D} f(x, y, z) d x d y d z \]

    ser la masa total de\(D\) si\(f(x,y,z)\) representa la densidad de masa en\((x,y,z)\), o la carga eléctrica total de\(D\) if\(f(x,y,z)\) representa la densidad de carga eléctrica at\((x,y,z)\). Para cualquier valor de\(n\) podemos interpretar

    \[ \int \cdots \iint_{D} d x_{1} d x_{2} \cdots d x_{n} \]

    para ser el volumen\(n\) -dimensional de\(D\). No entraremos en más detalles, prefiriendo ilustrar con ejemplos.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    Supongamos que\(D\) es el rectángulo cerrado

    \ [\ begin {alineado}
    D &=\ {(x, y, z, t): 0\ leq x\ leq 1, -1\ leq y\ leq 1, -2\ leq z\ leq 2,0\ leq t\ leq 2\}\\
    &= [0,1]\ veces [-1,1]\ veces [-2,2]\ veces [-2,2]\ veces [0,2].
    \ end {alineado}\]

    Entonces

    \ [\ begin {alineado}
    \ iiint\ int_ {D}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2} +z^ {2} -t^ {2}\ derecha) d x d y d z d t &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {-1} ^ {1}\ int_ {-2} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2}\ int_ {0} ^ {2}}\ izquierda (x^ {2} +y^ {2} +z^ {2} -t^ {2}\ derecha) d t d z d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1}\ int_ {-1} ^ {1}\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (x^ {2} t+y^ {2} t+z^ {2} t-\ frac {t^ {3}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {2} d z d y d x\
    &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {-1} ^ {1}\ int_ {-2} ^ {2}\ izquierda (2 x^ {2} +2 y^ {2} +2 z^ {2} -\ frac {8} {3}\ derecha) d z d x d y\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1}\ int_ {-1} ^ {1}\ izquierda (2 x^ {2} z+2 y^ {2} z+\ frac {2 z^ {3}} {3} -\ frac {8 z} {3}\ derecha)\ derecha|_ {-2} ^ {2} d y d x\
    &=\ int_ {0} ^ {1}}\ int_ {-1} ^ {1}\ izquierda (8 x^ {2} +8 y^ {2} +\ frac {32} {3} -\ frac {32} {3}\ derecha) d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (8 x^ {2} y+\ frac {8 y^ {2}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {-1} ^ {1} d x\
    &=\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (16 x^ {2} +\ frac {16} {3}\ derecha) d x\\
    &= izquierda. \ izquierda (\ frac {16 x^ {3}} {3} +\ frac {16 x} {3}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {1}\\
    &=\ frac {32} {3}.
    \ end {alineado}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    Dejar\(D\) ser la región en\(\mathbb{R}^3\) delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano\(P\) con ecuación\(z=1-x-y\) (ver Figura 3.6.11).

    Captura de pantalla 2021-08-10 en 08.56.04.png
    Figura\(\PageIndex{11}\): Región delimitada por los planos de coordenadas y el plano\(z=1-x-y\)

    Supongamos que deseamos evaluar

    \[ \iiint_{D} x y z d x d y d z . \nonumber \]

    Tenga en cuenta que el lado del\(D\) cual se encuentra en el\(xy\) plano -, es decir\(z=0\), el plano, es un triángulo con vértices en (0 , 0, 0), (1, 0, 0) y (0, 1, 0). O, estrictamente en términos\(x\) y\(y\) coordenadas, podemos describir esta cara como el triángulo en el primer cuadrante delimitado por la línea\(y=1-x\) (ver Figura 3.6.11). De ahí que\(x\) varíe de 0 a 1, y, para cada valor de\(x\),\(y\) varía de 0 a\(1-x\). Por último, una vez que hemos fijado unos valores para\(x\) y\(y\),\(z\) varía de 0 hasta\(P\), es decir, a\(1-x-y\). De ahí que tengamos

    \ [\ comenzar {alineado}
    \ iiint_ {D} x y z d x d y d z &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1-x}\ int_ {0} ^ {1-x-y} x y z d z d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1-x}\ frac {x y z^ {2}} {2}\ derecha|_ {0} ^ {1-x-y} d y d x\
    &=\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1-x}\ frac {x y (1-x-y) ^ {2} {2} d y d x\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1-x}\ izquierda (x y-2 x^ {2} y+x^ {3} y+2 x^ {2} y^ {2} +x y^ {3}\ derecha) d y d x\\
    &= izquierda. \ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (\ frac {x y^ {2}} {2} -2 x^ {2} y^ {2} +\ frac {x^ {3} y^ {2}} {2} +\ frac {2 x^ {2} y^ {3}} {3} +\ frac {x y^ {4}} {4}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {1-x} d x\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (\ frac {3 x} {4} -\ frac {10 x^ {2}} {3} +\ frac {9 x^ {3}} {2} -2 x^ {4} +\ frac {x^ {5}} {12}\ derecha) d x\\
    &=\ izquierda. \ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (\ frac {3 x^ {2}} {8} -\ frac {10 x^ {3}} {9} +\ frac {9 x^ {4}} {8} -\ frac {2 x^ {5}} {5} +\ frac {x^ {6}} {72}\ derecha)\ derecha|_ {0} ^ {1}\
    &=\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {3} {8} -\ frac {10} {9} +\ frac {9} {8} -\ frac {2} {5} +\ frac {1} {72}\ derecha)\\
    &=\ frac {1} 720}.
    \ end {alineado}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    Dejar\(V\) ser el volumen de la región\(D\) en\(\mathbb{R}^3\) delimitada por los paraboloides con ecuaciones\(z=10-x^{2}-y^{2}\) y\(z=x^{2}+y^{2}-8\) (ver Figura 3.6.12).

    Captura de pantalla 2021-08-11 a las 08.37.36.png
    Figura\(\PageIndex{12}\): Región delimitada por\(z=10-x^{2}-y^{2}\) y\(z=x^{2}+y^{2}-8\)

    Encontraremos\(V\) evaluando

    \[ V=\iiint_{D} d x d y d z . \nonumber \]

    Para configurar una integral iterada, primero observamos que el paraboloide\(z=10-x^{2}-y^{2}\) se abre hacia abajo alrededor del\(z\) eje -y el paraboloide\(z=x^{2}+y^{2}-8\) se abre hacia arriba alrededor del\(z\) eje. Los dos paraboloides se cruzan cuando

    \[ 10-x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2}-8 , \nonumber \]

    es decir, cuando

    \[ x^{2}+y^{2}=9 . \nonumber \]

    Ahora podemos describir la región en el\(xy\) -plano descrito por\(x^2 + y^2 \leq 9 \) como el conjunto de puntos\((x,y)\) para los cuales\(-3 \leq x \leq 3 \) y, para cada uno de esos fijos\(x\),

    \[ -\sqrt{3-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{3-x^{2}} . \nonumber \]

    Además, una vez que hemos fijado\(x\) y\(y\) así que\((x,y)\) está dentro del círculo\(x^2 + y^2 = 9 \), entonces\((x,y,z)\) está en\(D\) previsto\(x^{2}+y^{2}-8 \leq z \leq 10-x^{2}-y^{2}\). De ahí que tengamos

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ iiint_ {D} d x d y d z\\
    &=\ int_ {-3} ^ {3}\ int_ {-\ sqrt {9-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {9-x^ {2}}\ int_ {x^ {2} +y^ {2} -8} ^ {10-x^ {2} -y^ {2}} d z d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {-3} ^ {3}\ int_ {-\ sqrt {9-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {9-x^ {2}}} z\ derecha|_ {x^ {2} +y^ {2} -8} ^ {10-x^ {2} -y^ {2}} d y d x\\
    &=\ int_ {-3} ^ {3} int_ {-\ sqrt {9-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {9-x^ {2}}\ izquierda (18-2 x^ {2} -2 y^ {2}\ derecha) d y d x\\
    &=\ izquierda. \ int_ {-3} ^ {3}\ izquierda (18 y-2 x^ {2} y-\ frac {2 y^ {3}} {3}\ derecha)\ derecha|_ {-\ sqrt {9-x^ {2}}} ^ {\ sqrt {9-x^ {2}}} d x\\
    &=\ int_ {-3} ^ {3}\ izquierda (36\ sqrt rt {9-x^ {2}} -4 x^ {2}\ sqrt {9-x^ {2}} -\ frac {4} {3}\ izquierda (9-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}}\ derecha) d x\
    &=\ int_ {-3} ^ {3}\ sqrt {9-x^ {2}}\ izquierda (-4 x^ {2 } -\ frac {4} {3}\ izquierda (9-x^ {2}\ derecha)\ derecha) d x\\
    &=\ frac {8} {3}\ int_ {-3} ^ {3}\ izquierda (9-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} d x.
    \ final {alineado}\]

    Usando la sustitución\(x=3 \sin (\theta)\), tenemos\(d x=3 \cos (\theta) d \theta\), y así

    \ [\ begin {alineado}
    V &=\ frac {8} {3}\ int_ {-3} ^ {3}\ izquierda (9-x^ {2}\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} d x\\
    &=\ frac {8} {3}\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} 2}}\ izquierda (9-9\ sin ^ {2} (x)\ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} (3\ cos (\ theta)) d\ theta\
    &=216\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {4} (\ theta) d\ theta\
    &=216\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ izquierda (\ frac {1+\ cos (2\ theta)} {2}\ derecha) ^ {2} d\ theta\
    &=54\ int_ {-\ frac {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ izquierda (1+2\ cos (2\ theta) +\ cos ^ {2} (2\ theta)\ derecha) d\ theta\\
    &=54\ izquierda (\ izquierda. \ theta\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ izquierda. \ sin (2\ theta)\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ int_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ frac {1+\ cos (4\ theta)} {2} d\ theta\ derecha)\
    &=54\ pi+\ izquierda.27\ theta\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} +\ izquierda. \ frac {27} {4}\ sin (4\ theta)\ derecha|_ {-\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\\
    &=81\ pi.
    \ end {alineado}\]


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