3.6.E: Integrales definidas (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Evalúe cada una de las siguientes integrales iteradas.

(a)\(\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} 3 x y^{2} d y d x\)

b)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\pi} 4 x \sin (x+y) d y d x\)

c)\(\int_{-2}^{2} \int_{-1}^{1}\left(4-x^{2} y^{2}\right) d x d y\)

(d)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} e^{x+y} d x d y\)

Contestar

(a)\(\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} 3 x y^{2} d y d x=32\)

c)\(\int_{-2}^{2} \int_{-1}^{1}\left(4-x^{2} y^{2}\right) d x d y=\frac{256}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Evaluar las siguientes integrales definidas sobre los rectángulos dados.

(a)\(\iint_{D}\left(y^{2}-2 x y\right) d x d y, D=[0,2] \times[0,1]\)

b)\(\iint_{D} \frac{1}{(x+y)^{2}} d x d y, D=[1,2] \times[1,3]\)

c)\(\iint_{D} y e^{-x} d x d y, D=[0,1] \times[0,2]\)

(d)\(\iint_{D} \frac{1}{2 x+y} d x d y, D=[1,2] \times[0,1]\)

Contestar

(a)\(\iint_{D}\left(y^{2}-2 x y\right) d x d y=-\frac{4}{3}\)

c)\(\iint_{D} y e^{-x} d x d y=2\left(1-e^{-1}\right.\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Para cada una de las siguientes, evaluar las integrales iteradas y bosquejar la región de integración.

(a)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{y}\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x d y\)

b)\(\int_{0}^{1} \int_{x^{4}}^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x\)

c)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d y d x\)

(d)\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} x y e^{-x-y} d x d y\)

Contestar

(a)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{y}\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x d y=\frac{16}{15}\)

c)\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d y d x=2 \pi\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el volumen de la región debajo de la gráfica\(f(x, y)=2+x^{2}+y^{2}\) y por encima del rectángulo\(D=[-1,1] \times[-2,2] \).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el volumen de la región debajo de la gráfica de\(f(x, y)=4-x^{2}+y^{2}\) y por encima de la región\(D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\}\). Esbozar la región\(D\).

Contestar

\(\frac{32}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Evaluar\(\iint_{D} x y d x d y\), donde\(D\) está la región delimitada por el\(x\) eje -eje, el\(y\) eje -y\(D\) la línea\(y=2-x\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar\(\iint_{D} e^{-x^{2}} d x d y\) dónde\(D=\{(x, y): 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1\}\).

Contestar

\(\iint_{D} e^{-x^{2}} d x d y=\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentra el volumen de la región en\(\mathbb{R}^3\) descrito por\(x \geq 0\),\(y \geq 0\), y\(0 \leq z \leq 4-2 y-4 x\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra el volumen de la región en que se\(\mathbb{R}^3\) encuentra por encima del\(xy\) plano y debajo de la superficie con ecuación\(z=16-x^{2}-y^{2}\).

Contestar

\(56 \pi \)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra el volumen de la región al\(\mathbb{R}^3\) estar por encima del\(xy\) plano y debajo de la superficie con ecuación\(z=4-2 x^{2}-y^{2} .\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Evalúe cada una de las siguientes integrales iteradas.

(a)\(\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}-z^{2}\right) d y d x d z\)

b)\(\int_{-2}^{3} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{2} 3 x y z d x d y d z\)

c)\(\int_{0}^{4} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}\left(x^{2}-y z\right) d z d y d x\)

(d)\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y} \int_{0}^{x+y+z} w d w d z d y d x\)

Contestar

(a)\(\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}-z^{2}\right) d y d x d z=-16\)

c)\(\int_{0}^{4} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}\left(x^{2}-y z\right) d z d y d x=\frac{2432}{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Encuentra el volumen de la región en\(\mathbb{R}^3\) delimitado por los paraboloides con ecuaciones\(z=3-x^{2}-y^{2}\) y\(z=x^{2}+y^{2}-5\).

Contestar

\(16 \pi \)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Evaluar\(\iiint_{D} x y d x d y d z\), donde\(D\) está la región delimitada por el\(xy\) plano -plano, el\(yz\) -plano, el\(xz\) -plano y el plano con ecuación\(z = 4 − x − y\).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Si\(f(x,y,z)\) representa la densidad de masa en el punto\((x,y,z)\) de un objeto que ocupa una región\(D\) en\(\mathbb{R}^3\), entonces

\[ \iiint_{D} f(x, y, z) d x d y d z \nonumber \]

es la masa total del objeto y el punto\((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\), donde

\[ \bar{x}=\frac{1}{m} \iiint_{D} x f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

\[ \bar{y}=\frac{1}{m} \iiint_{D} y f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

y

\[ \bar{z}=\frac{1}{m} \iiint_{D} z f(x, y, z) d x d y d z , \nonumber \]

se llama el centro de masa del objeto. Supongamos que\(D\) es la región delimitada por los planos\(x=0, y=0, z=0\), y\(z=4-x-2y\).

(a) Encontrar la masa total y el centro de masa de un objeto que ocupa la región\(D\) con densidad de masa dada por\(f(x, y, z)=1\).

(b) Encontrar la masa total y el centro de masa de un objeto que ocupa la región\(D\) con densidad de masa dada por\(f(x, y, z)=z\).

Contestar

a) Masa:\(\frac{16}{3}\); centro de masa:\(\left(1, \frac{1}{2}, 1\right)\)

b) Masa:\(\frac{16}{3}\); centro de masa:\(\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}, \frac{8}{5}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Si\(X\) y\(Y\) son puntos elegidos al azar del intervalo [0, 1], entonces la probabilidad que\((X,Y)\) se encuentra en un subconjunto\(D\) de la unidad cuadrada\([0,1] \times[0,1]\) es\(\iint_{D} d x d y\).

(a) Encontrar la probabilidad de que\(X \leq Y\).

(b) Encontrar la probabilidad de que\(X+Y \leq 1\).

(c) Encontrar la probabilidad de que\(XY \geq \frac{1}{2} \).

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Si\(X\),\(Y\), y\(Z\) son puntos elegidos al azar del intervalo [0, 1], entonces la probabilidad que\((X,Y,Z)\) se encuentra en un subconjunto\(D\) del cubo unitario\([0,1] \times[0,1] \times[0,1]\) es\(\iiint_{D} d x d y d z\).

(a) Encontrar la probabilidad de que\(X \leq Y \leq Z \).

(b) Encontrar la probabilidad de que\(X+Y+Z \leq 1\).

Contestar

(a)\(\frac{1}{6}\)

b)\(\frac{1}{6}\)