3.7.E: Cambio de Variables en Integrales Definidas (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el área de la región encerrada por la elipse con ecuación\(x^{2}+4 y^{2}=4\).

Contestar

\(2\pi\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dado\(a>0\) y\(b>0\), mostrar que el área encerrada por la elipse con ecuación

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \nonumber \]

es\(\pi a b\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el volumen de la región encerrada por el elipsoide con ecuación

\[ \frac{x^{2}}{25}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1 . \nonumber \]

Contestar

\(\frac{40 \pi}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dado\(a>0\),\(b>0\), y\(c>0\), muestran que el volumen de la región encerrada por el elipsoide

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \nonumber \]

es\(\frac{4}{3} \pi abc\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra las coordenadas polares para cada uno de los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas.

(a) (1,1)

b) (-2,3)

c) (-1,3)

d) (4, -4)

Contestar

(a)\(\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)

c)\((\sqrt{10}, 4.3906)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra las coordenadas cartesianas para cada uno de los siguientes puntos dados en coordenadas polares.

(a)\((3,0)\)

b)\(\left(2, \frac{5 \pi}{6}\right)\)

c)\((5, \pi)\)

d)\(\left(4, \frac{4 \pi}{3}\right)\)

Contestar

(a) (3,0)

c) (-5,0)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar

\[ \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

donde\(D\) está el disco\(\mathbb{R}^2\) de radio 2 centrado en el origen.

Contestar

\(\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=8 \pi\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Evaluar

\[ \iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

donde\(D\) está el disco\(\mathbb{R}^2\) de radio 1 centrado en el origen.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Evaluar

\[ \iint_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} d x d y , \nonumber \]

donde\(D\) está la región en el primer cuadrante del\(\mathbb{R}^2\) cual se encuentra entre el círculo con ecuación\(x^{2}+y^{2}=1\) y el círculo con ecuación\(x^{2}+y^{2}=16 \).

Contestar

\(\iint_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} d x d y=\pi \log (2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Evaluar

\[ \iint_{D} \log \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y , \nonumber \]

donde\(D\) está la región en la\(\mathbb{R}^2\) que se encuentra entre el círculo con ecuación\(x^{2}+y^{2}=1\) y el círculo con ecuación\(x^{2}+y^{2}=4\).

Contestar

\(\iint_{D} \log \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=\pi(8 \log (2)-3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Usando coordenadas polares, verificar que el área de un círculo de radio\(r\) es\(\pi r^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Let

\[ I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x . \nonumber \]

a) Demostrar que

\[ I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y . \nonumber \]

b) Demostrar que

\[ I^{2}=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r e^{-\frac{r^{2}}{2}} d \theta d r . \nonumber \]

c) Demostrar que

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x=\sqrt{2 \pi} . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Encuentra las coordenadas esféricas del punto con coordenadas cartesianas\((-1,1,2)\).

Contestar

\(\left(\sqrt{6}, \frac{3 \pi}{4}, 0.6155\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Encuentra las coordenadas esféricas del punto con coordenadas cartesianas\((3,2,-1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Encuentra las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas esféricas\(\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right)\).

Contestar

\(\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}},-1\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Encuentra las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas esféricas\(\left(5, \frac{5 \pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)\).

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Evaluar

\[ \iiint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z , \nonumber \]

donde\(D\) está la bola cerrada\(\mathbb{R}^3\) de radio 2 centrada en el origen.

Contestar

\(\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z=\frac{128 \pi}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Evaluar

\[ \iiint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d x d y d z , \nonumber \]

donde\(D\) está la región\(\mathbb{R}^3\) entre las dos esferas con ecuaciones\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\) y\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \).

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Evaluar

\[ \iiint_{D} \sin \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z ,\nonumber \]

donde\(D\) se\(\mathbb{R}^3\) describe la región por\(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\), y\(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\).

Contestar

\(\iiint_{D} \sin \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z=\frac{\pi}{2}(2 \sin (1)+\cos (1)-2) \approx 0.3506\right.\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Evaluar

\[ \iiint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} d x d y d z , \nonumber \]

donde\(D\) está la bola cerrada\(\mathbb{R}^3\) de radio 3 centrada en el origen.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(D\)Sea la región en\(\mathbb{R}^3\) descrita por\(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\) y\(z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

a) Explicar por qué el cambio de coordenadas esféricas de las variables mapea la región

\[ E=\left\{(\rho, \theta, \varphi): 0 \leq \rho \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\} \nonumber \]

sobre\(D\).

(b) Averiguar el volumen de\(D\).

Contestar

b)\(\frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Si un punto\(P\) tiene coordenadas cartesianas\((x,y,z)\), entonces las coordenadas cilíndricas de\(P\) son\((r,\theta,z)\), dónde\(r\) y\(\theta\) son las coordenadas polares de\((x,y)\). Demostrar que

\[ \left|\operatorname{det} \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}\right|=r . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Usar coordenadas cilíndricas para evaluar

\[ \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z , \nonumber \]

donde\(D\) es la región en\(\mathbb{R}^3\) descrita por\(1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\) y\(0 \leq z \leq 5\).

Contestar

\(\iiint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z=\frac{70 \pi}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Se utiliza un taladro con una broca con un radio de 1 centímetro para perforar un agujero a través del centro de una bola sólida de radio 3 centímetros. ¿Cuál es el volumen del sólido restante?

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Dejar\(D\) ser el conjunto de todos los puntos en la intersección de los dos cilindros sólidos en\(\mathbb{R}^3\) descrito por\(x^{2}+y^{2} \leq 1\) y\(x^{2}+z^{2} \leq 1\). Encuentra el volumen de\(D\).

Contestar

\(\frac{16}{3}\)