4.1.E: Geometría, Límites y Continuidad (Ejercicios)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes, trazar la superficie parametrizada por la función dada.

(a)\(f(s, t)=\left(t^{2} \cos (s), t^{2} \sin (s), t^{2}\right), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 3\)

b)\(f(u, v)=(3 \cos (u) \sin (v), \sin (u) \sin (v), 2 \cos (v)), 0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq \pi\)

c)\(g(s, t)=((4+2 \cos (t)) \cos (s),(4+2 \cos (t)) \sin (s), 2 \sin (t)), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 2 \pi\)

d)\(f(s, t)=((5+2 \cos (t)) \cos (s), 2(5+2 \cos (t)) \sin (s), \sin (t)), 0 \leq s \leq 2 \pi, 0 \leq t \leq 2 \pi\)

(e)\(h(u, v)=(\sin (v),(3+\cos (v)) \cos (u),(3+\cos (v)) \sin (u)), 0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq 2 \pi\)

f)\(g(s, t)=\left(s, s^{2}+t^{2}, t\right),-2 \leq s \leq 2,-2 \leq t \leq 2\)

g)\(f(x, y)=(y \cos (x), y, y \sin (x)), 0 \leq x \leq 2 \pi,-5 \leq y \leq 5\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) y definimos\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) por\(F(s, t)=(s, t, f(s, t))\). Describir la superficie parametrizada por\(F\).

Contestar: La superficie es la gráfica de\(f\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra una parametrización para la superficie que es la gráfica de la función\(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\).

Contestar: \(F(s, t)=\left(s, t, s^{2}+t^{2}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Hacer gráficas como las de la Figura 4.1.4 para cada uno de los siguientes campos vectoriales. Experimenta con el rectángulo utilizado para la cuadrícula, así como con el número de vectores dibujados.

(a)\(f(x, y)=(y,-x)\)

b)\(g(x, y)=(y,-\sin (x))\)

c)\(f(u, v)=\left(v, u-u^{3}-v\right)\)

d)\(f(x, y)=\left(x\left(1-y^{2}\right)-y, x\right)\)

(e)\(f(x, y, z)=\left(10(y-x), 28 x-y-x z,-\frac{8}{3} z+x y\right)\)

f)\(f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x, y, z)\)

g)\(g(u, v, w)=-\frac{1}{(u-1)^{2}+(v-2)^{2}+(w-1)^{2}}(u-1, v-2, w-1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el conjunto de puntos en\(\mathbb{R}^2\) los que el campo vectorial

\[ f(x, y)=\left(4 x \sin (x-y), \frac{4 x+3 y}{2 x-y}\right) \nonumber \]

es continuo.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Para qué puntos en\(\mathbb{R}^n\) es el campo vectorial

\[ f(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{x}}{\log (\|\mathbf{x}\|)} \nonumber \]

una función continua?

Contestar: \(\left\{\mathbf{x}: \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{x} \neq \mathbf{0}\right\}\)