4.3.E: Integrales de Línea (Ejercicios)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes, compute la integral de línea\(\int_{C} F \cdot d s\) para el campo vectorial dado\(F\) y la curva\(C\) parametrizada por\(\varphi\).

(a)\(F(x, y)=(x y, 3 x), \varphi(t)=\left(t^{2}, t\right), 0 \leq t \leq 2\)

b)\(F(x, y)=\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right), \varphi(t)=(\cos (t), \sin (t)), 0 \leq t \leq 2 \pi\)

c)\(F(x, y)=\left(3 x-2 y, 4 x^{2} y\right), \varphi(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right),-2 \leq t \leq 2\)

(d)\(F(x, y, z)=\left(x y z, 3 x y^{2}, 4 z\right), \varphi(t)=\left(3 t, t^{2}, 4 t^{3}\right), 0 \leq t \leq 4\)

Contestar

(a)\(\int_{C} F \cdot d s=\frac{104}{5}\)

c)\(\int_{C} F \cdot d s=-\frac{384}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(C\) ser el círculo de radio 2 centrado en el origen en\(\mathbb{R}^2\), con orientación en sentido antihorario. Evalúe las siguientes integrales de línea.

(a)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y\)

b)\(\int_{C} 8 x y d x+4 x^{2} d y\)

Contestar: (a)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(C\) ser la parte de una hélice en\(\mathbb{R}^3\) parametrizada por\(\varphi(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), t), 0 \leq t \leq 2\pi \). Evalúe las siguientes integrales de línea.

(a)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y+z d z\)

b)\(\int_{C} y z d x+x z d y+x y d z\)

Contestar: (a)\(\int_{C} 3 x d x+4 y d y+z d z=2 \pi^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejado\(C\) ser el rectángulo\(\mathbb{R}^2\) con vértices en (−1, 1), (2, 1), (2, 3), y (−1, 3), con orientación en sentido antihorario. Evaluar las siguientes integrales de línea.

(a)\(\int_{C} x^{2} y d x+(3 y+x) d y\)

b)\(\int_{C} 2 x y d x+x^{2} d y\)

Contestar: (a)\(\int_{C} x^{2} y d x+(3 y+x) d y=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(C\) ser la elipse en\(\mathbb{R}^2\) con ecuación

\[ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 , \nonumber \]

con orientación en sentido antihorario. Evaluar\(\int_{C} F \cdot d s \text { for } F(x, y)=(4 y, 3 x)\).

Contestar: \(\int_{C} F \cdot d s=-6 \pi\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(C\) ser la mitad superior del círculo de radio 3 centrada en el origen en\(\mathbb{R}^2\), con orientación en sentido antihorario. Evaluar las siguientes integrales de línea.

(a)\(\int_{C} 3 y d x\)

b)\(\int_{C} 4 x d y\)

Contestar: (a)\(\int_{C} 3 y d x=-\frac{27 \pi}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar

\[ \int_{C} \frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y , \nonumber \]

donde\(C\) está cualquier curva que comience en (1, 0) y termine en (2, 3).

Contestar: \(\int_{C} \frac{x}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d y=\frac{1}{2} \log (13)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

(a) Supongamos que\(F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) es un campo\(C^1\) vectorial que es el gradiente de una función escalar\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\). Si\(F_k\) es la función de coordenada\(k\) th de\(F, k=1,2, \ldots, n\), mostrar que

\[ \frac{\partial}{\partial x_{j}} F_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\partial}{\partial x_{i}} F_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \nonumber \]

para\(i=1,2, \ldots, n\) y\(j=1,2, \ldots, n\).

b) Demostrar que aunque

\[ \int_{C} x d x+x y d y=0 \nonumber \]

para cada círculo\(C\) \(\mathbb{R}^2\)con centro en el origen, sin embargo no\(F(x, y)=(x, x y)\) es el gradiente de ninguna función escalar\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\).

c) Dejar

\[ F(x, y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) \nonumber \]

para todos\((x,y)\) en el set\(S=\{(x, y):(x, y) \neq(0,0)\}\). Dejar\(F_1\) y\(F_2\) ser las funciones coordinadas de\(F\). Demostrar que

\[ \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(x, y)=\frac{\partial}{\partial x} F_{2}(x, y) \nonumber \]

for all\((x,y)\) in\(S\), aunque no\(F\) es el gradiente de ninguna función escalar. (Pista: Para la última parte, demuestre que

\[ \int_{C} F \cdot d s=2 \pi , \nonumber \]

donde\(C\) está el círculo unitario centrado en el origen.)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) es un campo vectorial continuo con la propiedad que para cualquier curva\(C\),

\[ \int_{C} F \cdot d s \nonumber \]

depende únicamente de los puntos finales de\(C\). Es decir, si\(C_1\) y\(C_2\) son cualesquiera dos curvas con los mismos puntos finales\(P\) y\(Q\), entonces

\[ \int_{C_{1}} F \cdot d s=\int_{C_{2}} F \cdot d s . \nonumber \]

a) Demostrar que

\[ \int_{C} F \cdot d s=0 \nonumber \]

para cualquier curva cerrada\(C\).

(b) Dejar\(F_1\) y\(F_2\) ser las funciones coordinadas de\(F\). Definir\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) por

\[ f(x, y)=\int_{C} F \cdot d s , \nonumber \]

donde\(C\) está cualquier curva que comience en (0, 0) y termine en\((x,y)\). Demostrar que

\[ \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)=F_{2}(x, y) . \nonumber \]

(Pista: Al evaluar\(f(x,y)\), considere la curva\(C\) de (0, 0) a la\((x,y)\) que consiste la línea horizontal de (0, 0) a (\(x\), 0) seguida de la línea vertical de (, 0) a (\(x\), 0) a (\(x\), \(y\)).