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4.4: Teorema de Green

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    111687
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El teorema de Green es un ejemplo de una familia de teoremas que conectan integrales de línea (y sus análogos de dimensiones superiores) con las integrales definidas que estudiamos en la Sección 3.6. Primero veremos el teorema de Green para rectángulos, y luego generalizaremos a curvas y regiones más complejas en\(\mathbb{R}^2\).

    Teorema de Green para rectángulos

    Supongamos que\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) está\(C^1\) en un conjunto abierto que contiene el rectángulo cerrado

    \[ D=[a, b] \times[c, d] , \nonumber \]

    y dejar\(F_1\) y\(F_2\) ser las funciones coordinadas de\(F\). Si\(C\) denota el límite de\(D\), orientado en el sentido de las agujas del reloj, entonces podemos\(C\) descomponernos en las cuatro curvas\(C_1\),\(C_2\),\(C_3\), y\(C_4\) se muestran en la Figura 4.4.1.

    Capturación de pantalla 2021-08-23 a las 10.18.32.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): El límite de un rectángulo descompuesto en cuatro curvas suaves

    Entonces

    \[ \alpha(t)=(t, c) , \nonumber \]

    \(a \leq t \leq b\), es una parametrización suave de\(C_1\),

    \[ \beta(t)=(b, t) , \nonumber \]

    \(c \leq t \leq d\), es una parametrización suave de\(C_2\),

    \[ \gamma(t)=(t, d) , \nonumber \]

    \(a \leq t \leq b\), es una parametrización suave de\(-C_3\), y

    \[ \delta(t)=(a, t) , \nonumber \]

    \(c \leq t \leq d\), es una parametrización suave de\(-C_4\). Ahora

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {C_ {1}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {2}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {3}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {4}} F\ cdot d s\ nonumber\
    &=\ int_ {C_ {1}} F\ cdot d s+\ int_ {C_ {2}} F\ cdot d s-\ int_ {-C_ {3}} F\ cdot d s-\ int_ {-C_ {4}} F\ cdot d s\ etiqueta {4.4.1}
    \ end {align}\]

    y

    \[ \int_{C_{1}} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left(\left(F_{1}(t, c), F_{2}(t, c)\right) \cdot(1,0) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, c) d t,\right. , \label{4.4.2} \]

    \[ \int_{C_{2}} F \cdot d s=\int_{c}^{d}\left(\left(F_{1}(b, t), F_{2}(b, t)\right) \cdot(0,1) d t=\int_{c}^{c} F_{2}(b, t) d t\right. , \label{4.4.3} \]

    \[ \int_{-C_{3}} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left(\left(F_{1}(t, d), F_{2}(t, d)\right) \cdot(1,0) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, d) d t\right. , \label{4.4.4} \]

    y

    \[ \int_{-C_{4}} F \cdot d s=\int_{c}^{d}\left(\left(F_{1}(a, t), F_{2}(a, t)\right) \cdot(0,1) d t=\int_{c}^{c} F_{2}(a, t) d t\right. , \label{4.4.5} \]

    Por lo tanto, insertar (\(\ref{4.4.2}\)) a (\(\ref{4.4.5}\)) en (\(\ref{4.4.1}\)),

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t, c) d t+\ int_ {c} ^ {d} F_ {2} (b, t) d t-\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t, d) d-\ int_ {c} ^ {d} F_ {2} (a, t) d t\ nonumber\\
    &=\ int_ {c} ^ {d}\ izquierda (F_ {2} (b, t) -F_ {2} (a, t)\ derecha) d t-\ int_ {a} ^ {b}\ izquierda (F_ {1} (t, d) -F_ {1} (t, c)\ derecha) d t . \ label {4.4.6}
    \ end {align}\]

    Ahora bien, por el Teorema Fundamental del Cálculo, para un valor fijo de\(t\),

    \[ \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} F_{2}(x, t) d x=F_{2}(b, t)-F_{2}(a, t) \label{4.4.7} \]

    y

    \[ \int_{c}^{d} \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(t, y) d y=F_{1}(t, d)-F_{1}(t, c) . \label{4.4.8} \]

    Así, combinando (\(\ref{4.4.7}\)) y (\(\ref{4.4.8}\)) con (\(\ref{4.4.6}\)), tenemos

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {C} F\ cdot d s &=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ frac {\ parcial} {\ parcial x} F_ {2} (x, t) d x d t-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {c} ^ {d}\ frac {parcial\} {\ y parcial} F_ {1} (t, y) d y d t\ nonumber\\
    &=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ x} F_ {2} (x, y) d x d y -\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {c} ^ {d}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial y} F_ {1} (x, y) d y d x\ nonumber\\
    &=\ int_ {c} ^ {d}\ int_ {a} ^ {b}\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial} F_ {2} (x, y) -\ frac {\ parcial} {\ parcial y} F_ {1} (x, y)\ derecha) d x d y\ etiqueta {4.4.9}
    \ end {align}\]

    Si dejamos\(p=F_{1}(x, y), q=F_{2}(x, y)\), y\(\partial D=C\) (una notación común para el límite de\(D\)), entonces podemos reescribir (\(\ref{4.4.9}\)) como

    \[ \int_{\partial D} p d x+q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y . \]

    Este es el teorema de Green para un rectángulo.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si\(D=[1,3] \times[2,5]\), entonces

    \ [\ begin {alineado}
    \ int_ {\ parcial D} x y d x+x d y &=\ iint_ {D}\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial x} x-\ frac {\ parcial} {\ parcial y} x y\ derecha) d x d y\
    &=\ int_ {1} ^ {3}\ int_ {2} ^ {5} (1-x) d y d x\\
    &=\ int_ {1} ^ {3} 3 (1-x) d x\\
    &=\ izquierda.3 x\ derecha|_ {1} ^ {3} -\ izquierda. \ frac {3} {2} x^ {2}\ derecha|_ {1} ^ {3}\\
    &=-6.
    \ end {alineado}\]

    Claramente, esto es más sencillo que evaluar directamente la integral de línea.

    Teorema de Green para regiones de Tipo III

    El teorema de Green es válido para regiones más generales que rectángulos. Nos limitaremos aquí a discutir regiones conocidas como regiones de Tipo III, pero no es difícil generalizar a regiones que pueden subdividirse en regiones de este tipo (para un ejemplo, ver Problema 12). Recordemos de la Sección 3.6 que decimos que una región\(D\) en\(\mathbb{R}^2\) es de Tipo I si existen números reales\(a<b\) y funciones continuas\(\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y\(\beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que

    \[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . \]

    Decimos una región\(D\) en\(\mathbb{R}^2\) es de Tipo II si existen números reales\(c\) \(d\)y funciones continuas\(\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y\(\delta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que

    \[ D=\{(x, y): c \leq y \leq d, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y)\} . \]

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    Llamamos a una región\(D\) en la\(\mathbb{R}^2\) que es tanto de Tipo I como de Tipo II una región de Tipo III.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    En la Sección 3.6, vimos que el triángulo\(T\) con vértices en (0, 0), (1, 0) y (1, 1) y el disco cerrado

    \[ D=\bar{B}^{2}((0,0), 1)=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \nonumber \]

    son tanto de Tipo I como de Tipo II. Así\(T\) y\(D\) son regiones de Tipo III. También vimos que la región\(E\) debajo de la gráfica de\(y=x^2\) y por encima del intervalo [−1, 1] es de Tipo I, pero no de Tipo II. De ahí\(E\) que no sea de Tipo III.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Cualquier rectángulo cerrado en\(\mathbb{R}^2\) es una región de Tipo III, al igual que cualquier región cerrada delimitada por una elipse.

    Ahora supongamos que\(D\) es una región de Tipo III y\(\partial D\) es el límite de\(D\), es decir, la curva que encierra\(D\), orientada en sentido antihorario. Dejar\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) ser un campo\(C^1\) vectorial, con funciones de coordenadas\(p=F_{1}(x, y)\) y\(q=F_{2}(x, y)\). Primero probaremos que

    \[ \int_{\partial D} p d x=-\iint_{D} \frac{\partial p}{\partial y} d x d y . \]

    Dado que\(D\) es, en particular, una región de Tipo I, existen funciones continuas\(\alpha\) y\(\beta\) tales que

    \[ D=\{(x, y): a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)\} . \]

    Además, asumiremos que\(\alpha\) y ambos\(\beta\) son diferenciables (sin esta suposición no se\(\partial D\) definiría la integral de línea de\(F\) along). Al igual que con el rectángulo en la prueba anterior, podemos descomponernos\(\partial D\) en cuatro curvas,\(C_1\),,\(C_2\)\(C_3\), y\(C_4\), como se muestra en la Figura 4.4.2.

    Capturación de pantalla 2021-08-23 a las 10.37.30.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Descomponer el límite de una región de Tipo I

    Entonces

    \[ \varphi_{1}(t)=(t, \alpha(t)) , \nonumber \]

    \(a \leq t \leq b\), es una parametrización suave de\(C_1\),

    \[ \varphi_{2}(t)=(b, t) , \nonumber \]

    \(\alpha(b) \leq t \leq \beta(b)\), es una parametrización suave de\(C_2\),

    \[ \varphi_{3}(t)=(t, \beta(t)) , \nonumber \]

    \(a \leq t \leq b\), es una parametrización suave de\(-C_3\), y

    \[ \varphi_{4}(t)=(a, t) , \nonumber \]

    \(\alpha(a) \leq t \leq \beta(a)\), es una parametrización suave de\(-C_4\). Ahora

    \[ \int_{\partial D} p d x=\int_{C_{1}} p d x+\int_{C_{2}} p d x-\int_{-C_{3}} p d x-\int_{-C_{4}} p d x ,\]

    donde

    \[ \int_{C_{1}} p d x=\int_{a}^{b}\left(F_{1}(t, \alpha(t)), 0\right) \cdot\left(1, \alpha^{\prime}(t)\right) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, \alpha(t)) d t, \]

    \[ \int_{C_{2}} p d x=\int_{\alpha(b)}^{\beta(b)}\left(F_{1}(b, t), 0\right) \cdot(0,1) d t=\int_{\alpha(b)}^{\beta(b)} 0 d t=0 ,\]

    \[ \int_{-C_{3}} p d x=\int_{a}^{b}\left(F_{1}(t, \beta(t)), 0\right) \cdot\left(1, \beta^{\prime}(t)\right) d t=\int_{a}^{b} F_{1}(t, \beta(t)) d t , \]

    y

    \[ \int_{-C_{4}} p d x=\int_{\alpha(a)}^{\beta(a)}\left(F_{1}(a, t), 0\right) \cdot(0,1) d t=\int_{\alpha(a)}^{\beta(a)} 0 d t=0 .\]

    De ahí

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {\ parcial D} p d x &=\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t,\ alpha (t)) d t-\ int_ {a} ^ {b} F_ {1} (t,\ beta (t)) d t\ nonumber\\
    &=-\ int_ {a} ^ {b} izquierda\ (F_ {1} (t,\ beta (t)) -F_ {1} (t,\ alfa (t))\ derecha) d t\ etiqueta {4.4.20}
    \ end {align}\]

    Ahora, por el Teorema Fundamental del Cálculo,

    \[ \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial}{\partial y} F_{1}(t, y) d y=F_{1}(t, \beta(t))-F_{1}(t, \alpha(t)) , \]

    y así

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {\ parcial D} p d x &=-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {\ alpha (t)} ^ {\ beta (t)}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ y} F_ {1} (t, y) d y d t\ nonumber\\
    &=-\ int_ {a} ^ {b}\ int_ {\ alpha (x)} ^ {\ beta (x)}\ frac {\ parcial} {\ parcial y} F_ {1} (x, y) d y d x\ nonumber\\
    &=-\ iint_ {D}\ frac {\ p parcial} {\ parcial y} d x d y. \ label {4.4.22}
    \ end {align}\]

    Un cálculo similar,\(D\) que se trata como una región de Tipo II, muestra que

    \[ \int_{\partial D} q d y=\iint_{D} \frac{\partial q}{\partial x} d x d y . \label{4.4.23} \]

    (Se le pide verificar esto en el Ejercicio 7.) Poniendo (\(\ref{4.4.22}\)) y (\(\ref{4.4.23}\)) juntos, tenemos

    \ [\ begin {align}
    \ int_ {\ parcial D} F\ cdot d s=\ int_ {\ parcial D} p d x+q d y &=-\ iint_ {D}\ frac {\ parcial p} {\ parcial y} d x d y+\ iint_ {D}\ frac {\ parcial q} {\ parcial x} d x d\ nonúmero\\
    &=\ iint_ {D}\ izquierda (\ frac {\ parcial q} {\ parcial x} -\ frac {\ p parcial} {\ parcial y}\ derecha) d x d y\ etiqueta {4.4.24}
    \ end {align}\]

    Teorema de Green\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que\(D\) es una región de Tipo III,\(\partial D\) es el límite de\(D\) con orientación en sentido antihorario, y las curvas que describen\(\partial D\) son diferenciables. Dejar\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) ser un campo\(C^1\) vectorial, con funciones de coordenadas\(p=F_{1}(x, y)\) y\(q=F_{2}(x, y)\). Entonces

    \[ \int_{\partial D} p d x+q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right) d x d y . \]

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(D\)Sea la región delimitada por el triángulo con vértices en (0, 0), (2, 0) y (0, 3), como se muestra en la Figura 4.4.3.

    Capturación de pantalla 2021-08-24 a las 08.11.35.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Un triángulo con orientación en sentido antihorario

    Si nos orientamos\(\partial D\) en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces

    \ [\ begin {alineado}
    \ int_ {\ parcial D}\ izquierda (3 x^ {2} +y\ derecha) d x+5 x d y &=\ iint_ {D}\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ x parcial} (5 x) -\ frac {\ parcial} {\ parcial y}\ izquierda (3 x^ {2} +y\ derecha)\ derecha) x d y\\
    &=\ iint_ {D} (5-1) d x d y\\
    &=4\ iint_ {D} d x d y\\
    &= (4) (3)\\
    &=12,
    \ end {alineado}\]

    donde hemos utilizado el hecho de que el área de\(D\) es 3 para evaluar la doble integral.

    La línea integral en el ejemplo anterior se redujo a encontrar el área de la región\(D\). Esto puede ser explotado en la dirección inversa para calcular el área de una región. Por ejemplo, dada una región\(D\) con área\(A\) y límite\(\partial D\), se deduce del teorema de Green que

    \[ A=\iint_{D} d x d y=\int_{\partial D} p d x+q d y \]

    para cualquier elección de\(p\) y\(q\) que tienen la propiedad que

    \[ \frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}=1 . \]

    Por ejemplo, dejar\(p = 0\) y\(q = x\), tenemos

    \[ A=\int_{\partial D} x d y \label{4.4.28} \]

    y, dejando\(p = −y\) y\(q = 0\), tenemos

    \[ A=-\int_{\partial D} y d x . \label{4.4.29} \]

    El siguiente ejemplo ilustra el uso del promedio de (\(\ref{4.4.28}\)) y (\(\ref{4.4.29}\)) para encontrar\(A\):

    \[ A=\frac{1}{2}\left(\int_{\partial D} x d y-\int_{\partial D} y d x\right)=\frac{1}{2} \int_{\partial D} x d y-y d x . \]

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(A\) ser el área de la región\(D\) delimitada por la elipse con ecuación

    \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 , \nonumber \]

    donde\(a > 0\) y\(b>0\), como se muestra en la Figura 4.4.4.

    Capturación de pantalla 2021-08-24 a las 08.12.37.png
    Figura 4.4.4 La elipse\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) con orientación en sentido antihorario

    Ya que podemos parametrizar\(\partial D\), con orientación en sentido antihorario, por

    \[ \varphi(t)=(a \cos (t), b \sin (t)) , \nonumber \]

    \(0 \leq t \leq 2 \pi\), tenemos

    \ [\ begin {alineado}
    A &=\ frac {1} {2}\ int_ {\ parcial D} x d y-y d x\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi} (-b\ sin (t), a\ cos (t))\ cdot (-a\ sin (t), b\ cos (t) d t\\
    &=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ izquierda (a b\ sin ^ {2} (t) +a b\ cos ^ {2} (t)\ derecha) d t\\
    &=\ frac {a b} {2}\ int_ {0} ^ {2\ pi} d t\\
    &=\ izquierda (\ frac {a b} {2}\ derecha) (2\ pi)\\
    &=\ pi a b.
    \ end {alineado}\]


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