8.2: Altitudes y ortocentro
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Las tres altitudes de cualquier triángulo no degenerado se cruzan en un solo punto.
El punto de intersección de altitudes se llama ortocentro; generalmente se denota por\(H\).
- Prueba
-
Arreglar un triángulo no degenerado\(ABC\). Considere tres líneas\(\ell, m\), y\(n\) tal que
\(\begin{array} {ccccc} {\ell \parallel (BC),} & \ \ & {m \parallel (CA),} & \ \ & {n \parallel (AB),} \\ {\ell \ni A,} & \ \ & {m \ni B,} & \ \ & {n \ni C.} \end{array}\)
Ya que no\(\triangle ABC\) es degenerado, no hay par de las líneas\(\ell\),\(m\), y\(n\) es paralelo. Set
\(A' = m \cap n,\)\(B' = n \cap \ell\),\(C' = \ell \cap m\).
Tenga en cuenta que\(\square ABA'C\)\(\square BCB'A\),, y\(\square CBC'A\) son paralelogramos. Aplicando Lema 7.5.1 obtenemos que\(\triangle ABC\) es el triángulo mediano de\(\triangle A'B'C'\); es decir\(A\),,\(B\) y\(C\) son los puntos medios de\([B'C']\)\([C'A']\), y\([A'B']\) respectivamente.
Por el Ejercicio 7.1.1\((B'C') \parallel (BC)\),, la altitud desde\(A\) es perpendicular a\([B'C']\) y desde arriba bisecta\([B'C']\). De ahí que las altitudes de también\(\triangle ABC\) sean bisectores perpendiculares de\(\triangle A'B'C'\). Aplicando el Teorema 8.1.1, obtenemos que altitudes de\(\triangle ABC\) intersección en un punto.
Supongamos que\(H\) es el ortocentro de un triángulo agudo\(ABC\). Demostrar que\(A\) es el ortocentro de\(\triangle HBC\).
- Pista
-
Tenga en cuenta que\((AC) \perp (BH)\) y\((BC) \perp (AH)\) y aplicar Teorema\(\PageIndex{1}\)
(Obsérvese que cada uno de\(A, B, C, H\) es el ortócentrico de los tres restantes; tal cuádruple de puntos\(A, B, C, H\) se denomina sistema ortóctrico.