12.1: Modelo de Disco Conformal
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A menudo asumiremos que el absoluto es un círculo unitario.
Las intersecciones del plano h con circlinas perpendiculares al absoluto se denominan líneas hiperbólicas o líneas h.
Por Corolario 10.5.3, hay una línea h única que pasa a través de los dos puntos h distintos dados\(P\) y\(Q\). Esta línea h será denotada por\((PQ)_h\).
Los arcos de las líneas hiperbólicas se denominarán segmentos hiperbólicos o segmentos h. Un segmento h con puntos finales\(P\) y\(Q\) será denotado por\([PQ]_h\).
El subconjunto de una línea h en un lado desde un punto se llamará media línea hiperbólica (o media línea h). Más precisamente, una semilínea h es una intersección del plano h con arco perpendicular al absoluto que tiene exactamente uno de sus extremos en el plano h. Una línea de media h que comienza en\(P\) y pasa a través se\(Q\) denotará por\([PQ)_h\).
Si\(\Gamma\) es la circlina que contiene la línea h\((PQ)_h\), entonces los puntos de intersección de\(\Gamma\) con el absoluto se denominan puntos ideales de\((PQ)_h\). (Tenga en cuenta que los puntos ideales de una línea h no pertenecen a la línea h).
Un triple ordenado de puntos h, digamos, se\((P,Q,R)\) llamará triángulo h\(PQR\) y se denotará por\(\triangle_h P Q R\).
Señalemos, que hasta el momento una línea h\((PQ)_h\) es solo un subconjunto del plano h; a continuación introduciremos la distancia h y posteriormente mostraremos que\((PQ)_h\) es una línea para la distancia h en el sentido de la Definición 1.5.1.
Demuestre que una línea h está determinada de manera única por sus puntos ideales.
- Pista
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Dejar\(A\) y\(B\) ser los puntos ideales de la línea h\(\ell\). Tenga en cuenta que el centro del círculo euclidiano que contiene\(\ell\) se encuentra en la intersección de las líneas tangentes a lo absoluto en los puntos ideales de\(\ell\).
Demuestre que una línea h está determinada de manera única por uno de sus puntos ideales y un punto h en ella.
- Pista
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Supongamos que\(A\) es un punto ideal de la línea h\(\ell\) y\(P \in \ell\). Supongamos que\(P'\) denota la inversa de\(P\) en lo absoluto. Por Corolario 10.5.1,\(\ell\) se encuentra en la intersección del plano h y la circlina (necesariamente única) que pasa a través\(P, A\), y\(P'\)
Mostrar que el segmento h\([PQ]_h\) coincide con el segmento euclidiano\([PQ]\) si y solo si la línea\((PQ)\) pasa por el centro del absoluto.
- Pista
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Dejar\(\Omega\) y\(O\) denotar lo absoluto y su centro.
Dejar\(\Gamma\) ser la circlina que contiene\([PQ]_h\). Tenga en cuenta que\([PQ]_h = [PQ]\) si y solo si\(\Gamma\) es una línea.
Supongamos que\(P'\) denota la inversa de\(P\) in\(\Omega\). Tenga en cuenta eso\(O, P\), y\(P'\) acuéstese en una línea.
Por la definición de h-line,\(\Omega \perp \Gamma\). Por Corolario 10.5.1,\(\Gamma\) pasa a través\(P\) y\(P'\). Por lo tanto,\(\Gamma\) es una línea si y solo si pasa a través\(O\).
Dejar\ (P\) y\(Q\) ser distintos h-puntos; dejar\(A\) y\(B\) denotar los puntos ideales de\((PQ)_h\). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que en la circlina euclidiana que contiene la línea h\((PQ)_h\), los puntos\(A,P,Q,B\) aparecen en el mismo orden.
Considera la función
\(\delta(P,Q):= \dfrac{AQ \cdot PB}{AP \cdot QB}.\)
Tenga en cuenta que el lado derecho es una relación cruzada; por el Teorema 10.2.1 es invariante bajo inversión. Set\(\delta(P,P)=1\) para cualquier punto h\(P\). Definamos h-distancia como el logaritmo de\(\delta\); es decir,
\(PQ_h := \ln[\delta(P,Q)].\)
El comprobante que\(PQ_h\) es una métrica en el plano h se dará posteriormente. Por ahora es solo una función que devuelve un valor real\(PQ_h\) para cualquier par de puntos h\(P\) y\(Q\).
Dejar\(O\) ser el centro de lo absoluto y los puntos h\(O\),\(X\), y se\(Y\) encuentran en una línea h en el mismo orden. Asumir\(OX=XY\). \(OX_h<XY_h\)Demuéstralo.
- Pista
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Supongamos que el absoluto es un círculo unitario.
Set\(a = OX = OY\). Tenga en cuenta que\(0 < a < \dfrac{1}{2}\)\(OX_h = \ln \dfrac{1+ a}{1 -a}\),, y\(XY_h = \ln \dfrac{(1 + 2 \cdot a) \cdot (1 - a)}{(1 - 2 \cdot a)\cdot (1 + a)}\). Queda por comprobar que las desigualdades
\(1 < \dfrac{1 + a}{1 - a} < \dfrac{(1 + 2 \cdot a) \cdot (1 - a)}{(1 - 2 \cdot a)\cdot (1 + a)}\)
mantener si\(0 < a < \dfrac{1}{2}\).
Considere tres puntos h\(P\),\(Q\), y\(R\) tal que\(P\ne Q\) y\(R\ne Q\). El ángulo hiperbólico\(PQR\) (brevemente\(\angle_h PQR\)) es un par ordenado de medias líneas h\([QP)_h\) y\([QR)_h\).
Let\([QX)\) and\([QY)\) be (euclidean) medias líneas que son tangentes a\([QP]_h\) y\([QR]_h\) at\(Q\). Entonces la medida del ángulo hiperbólico (o medida del ángulo h) de\(\angle_h PQR\) denotado por\(\measuredangle_h PQR\) y definido como\(\measuredangle XQY\).
Dejar\(\ell\) ser una línea h y\(P\) ser un punto h en el que no se acueste\(\ell\). Demuestre que hay una línea h única que pasa a través\(P\) y perpendicular a\(\ell\).
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Deletrea el significado de los términos “perpendicular” y “h-line” y luego aplica el Ejercicio 10.5.4.