14.5: Sobre las transformaciones inversivas
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Una transformación inversiva es una biyección del plano inversivo hacia sí mismo que envía circlinas a circlinas. La geometría inversiva estudia la estructura de incidencia circlina del plano inversivo (ve qué puntos se encuentran en qué circlinas y nada más).
Un mapa desde el plano inversivo hacia sí mismo es una transformación inversiva si y sólo si se puede presentar como una composición de inversiones y reflexiones.
El ejercicio 18.8.3 da otra descripción de las transformaciones inversivas por medio de coordenadas complejas.
- Prueba
-
Evidentemente, la reflexión es una transformación inversiva: mapea líneas a líneas y círculos a círculos. Según el Teorema 10.3.1, cualquier inversión es también una transformación inversiva. Por lo tanto, lo mismo cabe para cualquier composición de inversiones y reflexiones.
Para probar lo contrario, fijar una transformación inversiva\(\alpha\).
Asumir\(\alpha(\infty)=\infty\). Recordemos que cualquier circlina que pasa a través\(\infty\) es una línea. Si sigue eso\(\alpha\) mapea líneas a líneas; es decir,\(\alpha\) es una transformación afín que también mapea círculos a círculos.
Tenga en cuenta que cualquier movimiento o escala (definido en el Ejercicio 14.1.2b) son transformaciones afín que mapean círculos a círculos. Al componer\(\alpha\) con movimientos y escalamientos, podemos obtener otra transformación afín\(\alpha'\) que mapea un círculo unitario dado\(\Gamma\) a sí mismo. Por el Ejercicio 14.2.3,\(\alpha'\) fija el centro\(O\), digamos, del círculo\(\Gamma\).
Set\(P'=\alpha'(P)\). De ello se deduce que si\(OP=1\), entonces\(OP'=1\). Por la Proposición 14.3.1,\(OP=OP'\) para cualquier punto\(P\). Por último, por el Ejercicio 14.3.1, tenemos eso si\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OP}\), entonces\(\overrightarrow{X'Y'}=\overrightarrow{O'P'}\). De ello se deduce que\(XY=X'Y'\) para cualquier punto\(X\) y\(Y\); es decir,\(\alpha'\) es una moción.
Resumiendo la discusión anterior,\(\alpha\) se encuentra una composición de movimientos y escalados. Observe que cualquier escalado es una composición de dos inversiones en círculos concéntricos. Recordemos que cualquier movimiento es una composición de reflexiones (ver Ejercicio 5.4.1). De donde\(\alpha\) es una composición de inversiones y reflexiones.
En el caso restante\(\alpha(\infty) \ne \infty\), establecer\(P=\alpha(\infty)\). Considera una inversión\(\beta\) en un círculo con el centro en\(P\) y establecido\(\gamma=\beta \circ \alpha\). Tenga en cuenta que\(\beta(P)=\infty\); por lo tanto,\(\gamma(\infty)=\infty\). Desde\(\alpha\) y\(\beta\) son inversivos, así es\(\gamma\). De arriba obtenemos que\(\gamma\) es una composición de reflexiones e inversiones. Ya que\(\beta\) es autoinverso, obtenemos\(\alpha= \beta \circ \gamma\); por lo tanto,\(\alpha\) es una composición de reflexiones e inversiones también.
Mostrar que las transformaciones inversivas preservan el ángulo entre arcos hasta firmar.
Más precisamente, supongamos\(A'B_1'C_1'\),\(A'B_2'C_2'\) son las imágenes de dos arcos\(AB_1C_1\),\(AB_2C_2\) bajo una transformación inversiva. Dejar\(\alpha\) y\(\alpha'\) denotar el ángulo entre las medias líneas tangentes a\(AB_1C_1\) y\(AB_2C_2\) en\(A\) y el ángulo entre las medias líneas tangentes a\(A'B_1'C_1'\) y\(A'B_2'C_2'\) en \(A'\)respectivamente. Entonces
\(\alpha'=\pm \alpha.\)
- Pista
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Aplicar Teorema 10.6.1 y Teorema\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que cualquier reflexión puede presentarse como una composición de tres inversiones.
- Pista
-
Arreglar una línea\(\ell\). Elige un círculo\(\Gamma\) con su centro no encendido\(\ell\). \(\Omega\)Sea lo inverso de\(\ell\) in\(\Gamma\); no eso\(\Omega\) es un círculo.
Deja\(\iota_{\Gamma}\) y\(\iota_{\Omega}\) dentorea las inversiones en\(\Gamma\) y\(\Omega\). Aplicar el Corolario 10.6.1 para mostrar que la composición\(\iota_{\Gamma} \circ \iota_{\Omega} \circ \iota_{\Gamma}\) es el reflejo a través\(\ell\).
El ejercicio anterior implica una versión más fuerte del Teorema\(\PageIndex{1}\); es decir, cualquier transformación inversiva es una composición de inversiones, sin necesidad de reflexiones.