6.3: Medición en Geometría Elíptica

En lugar de derivar la fórmula de longitud de arco aquí como hicimos para la geometría hiperbólica, declaramos la siguiente definición y observamos la diferencia de signo único con respecto al caso hiperbólico. Esta diferencia de signo es consistente con la diferencia de signo en las descripciones algebraicas de las transformaciones en las respectivas geometrías.

Definición: Longitud de\(r\) and Area of Figure \(R\)

Si\(\boldsymbol{r}: [a,b] \to \mathbb{P}^2\) es una curva suave en\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{,}\) la longitud de\(\boldsymbol{r}\), denotada\({\cal L}(\boldsymbol{r})\text{,}\) viene dada por

\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \frac{2|\boldsymbol{r}^\prime(t)|}{1 + |\boldsymbol{r}(t)|^2}~dt. \]

El área de una figura\(R\) descrita en coordenadas polares en el espacio elíptico\(\mathbb{P}^2\text{,}\) denotado\(A(R)\text{,}\) viene dada por

\[ A(R) = \iint_R \frac{4r}{(1+r^2)^2}dr d\theta\text{.} \]

Teorema\(\PageIndex{1}\)

La longitud del arco es una invariante de la geometría elíptica.

La prueba de este teorema se deja como un ejercicio, y es esencialmente la misma que la prueba de que la longitud del arco hiperbólico es una invariante de la geometría hiperbólica, de la que se desprende que esa área es invariante. También se puede probar que el camino más corto entre dos puntos es a lo largo de la línea elíptica entre ellos. Es decir, la geodésica sigue líneas elípticas.

Sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de medir la trayectoria más corta entre puntos en el plano proyectivo. Si\(p\) y\(q\) son dos puntos en\(\mathbb{P}^2\) entonces hay exactamente una línea elíptica a través de ambos, pero podemos ver esta línea como que consiste en dos segmentos elípticos, ambos de los cuales se conectan\(p\) a Es\(q\text{.}\) decir, si un insecto se encuentra en el punto\(p\) y quiere caminar a lo largo de un línea elíptica a punto\(q\text{,}\) puede hacerlo procediendo en cualquier dirección a lo largo de la línea, como se muestra en la Figura\(6.3.1\). La distancia elíptica entre\(p\) y\(q\), que denotamos por\(d_S(p,q)\text{,}\) es entonces el valor mínimo de las longitudes de dos segmentos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Hay una sola línea elíptica que une puntos\(p\) y\(q\text{,}\) dos segmentos de línea elíptica. La distancia de\(p\) a\(q\) es la más corta de estos dos segmentos. (Copyright; autor vía fuente)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

La distancia entre dos puntos\(p\) e\(q\) in\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\) es

\[ d_S(p,q)=~\text{min}\left\{2\arctan\left(\left|\dfrac{q - p}{1+\overline{p}q}\right|\right), 2\arctan\left(\left|\dfrac{1+\overline{p}q}{q-p}\right|\right)\right\}\text{.} \]

Prueba

Primero determinamos la distancia elíptica entre el origen y un punto\(x\) (con\(0 \lt x \leq 1\)) en el eje real positivo.

La línea elíptica a través de 0 y\(x\) vive en el eje real, y podemos parametrizar el segmento “hacia el este” que conecta 0 a\(x\) por\(\boldsymbol{r}(t) = t\) para\(0 \leq t \leq x\text{.}\) (El segmento “hacia el oeste” de 0 a\(x\) es claramente no más corto que el segmento en dirección este). La longitud de este segmento es

\ begin {align*}\ int_0^x\ frac {2|\ negridsymbol {r} ^\ prime (t) |} {1 + |\ símbolo en negrilla {r} (t) |^2} ~dt& =\ int_0^x\ frac {2|1|} {1 + |t|^2} ~dt\\ & = 2\ int_0^x frac {1 + |t|^2} ~dt\\ & = 2\ int_0^x frac ac {1} {1+t^2} ~dt\\ & = 2\ arctan (x). \ end {alinear*}

Por lo tanto,\(d_S(0,x)=2\arctan(x)\text{,}\) para\(0 \lt x \leq 1\text{.}\)

Para determinar la distancia\(d_S(p,q)\) entre puntos arbitrarios en\(\mathbb{P}^2\text{,}\) podemos aplicar primero una transformación en\(\cal{S}\) que envía\(p\) al origen, y\(q\) a un punto en el eje real positivo. Por una elección apropiada de\(\theta\text{,}\) la transformación

\[ T(z) = e^{i\theta}\frac{z-p}{1+\overline{p}z} \]

va a hacer el truco. Ahora,\(T\) es una transformación Möbius de todo el plano extendido, y puede tomar\(q\) fuera del disco de la unidad, en cuyo caso se\(q_a\) mapeará a un punto en el eje real dentro del disco de la unidad. Entonces,\(|T(q)|\) o bien\(|T(q_a)|\) será un número real entre\(0\) y\(1\). Si llamamos a este número\(x\text{,}\) entonces\(d_S(p,q)=d_S(0,x)\text{,}\) ya que las transformaciones en\(\cal{S}\) preservar la distancia entre puntos.

Ahora,

\[ |T(q)|= \bigg|\frac{q - p}{1+\overline{p}q}\bigg|\text{,} \]

y el lector puede comprobarlo, utilizando el hecho de\(q_a = -1/\overline{q}\text{,}\) que

\[ |T(q_a)| = \left|\frac{1+\overline{p}q}{q - p}\right|\text{.} \]

De ello se deduce que

\[ d_S(p,q)=~\text{min}\left\{2\arctan\left(\left|\frac{q - p}{1+\overline{p}q}\right|\right), 2\arctan\left(\left|\frac{1+\overline{p}q}{q-p}\right|\right)\right\}\text{.} \]

Esto completa la prueba.

Con la esfera como nuestro modelo, podemos verificar nuestras fórmulas con las medidas en la esfera. Por ejemplo,\(d_S(0,1)=2\arctan(1)=\dfrac{\pi}{2}\text{.}\) El segmento elíptico de\(0\) a\(1\) corresponde vía proyección a una cuarta parte de un gran círculo en la esfera unitaria. Cualquier gran círculo en la esfera unitaria tiene circunferencia\(2\pi\text{,}\) por lo que una cuarta parte de un gran círculo tiene longitud\(\dfrac{\pi}{2}\) en la esfera. También observamos que la fórmula de distancia\(d_S(0,x) = 2\arctan(x)\) se aplica a la geometría esférica\((\mathbb{C}^+,{\ S})\) para todos los números reales positivos\(x\text{,}\) y esta distancia coincide con las distancias correspondientes de los puntos en la unidad\(2\) -esfera, ver Ejercicio\(6.3.12\).

Destacamos que\(\dfrac{\pi}{2}\) es un límite superior para la distancia entre dos puntos en\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{.}\) Sin embargo, no hay límite superior sobre la duración de un viaje a lo largo de una línea elíptica. Si Bormit el bicho quiere salir de punto\(p\) y viajar\(r\) unidades por cualquier línea, Bormit puede hacerlo, sin obstrucción, para cualquier Por\(r \gt 0\text{.}\) supuesto, si\(r\) es lo suficientemente grande, Bormit hará “vueltas” en este viaje. Decimos que un camino es un camino geodésico si sigue a lo largo de una línea elíptica.

Definición: Círculo elíptico

En\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{,}\) el círculo elíptico centrado en\(z_0\) con radio\(r\) consta de todos los puntos de\(z \in \mathbb{P}^2\) tal manera que existe una trayectoria geodésica de longitud\(r\) desde\(z_0\) hasta\(z\text{.}\)

Cada transformación\(T\) en\(\cal{S}\) es una transformación elíptica de Möbius por Teorema\(6.2.1\) que fija dos puntos antípodas, decir\(p\) y\(p_a\text{.}\) Así\(T\) empuja puntos a lo largo de clines tipo II de\(p\) y\(p_a\text{,}\) y ya que las transformaciones conservan la distancia entre puntos, estas clinas de tipo II\(p\) y\(p_a\) determinan círculos elípticos; todos los puntos en estas clinas de tipo II son equidistantes de\(p\text{.}\)

Ahora, supongamos\(p\) y\(q\) hay algún punto distinto en\(\mathbb{P}^2\text{.}\) Existe una clina tipo II de\(p\) y\(p_a\) que pasa por\(q\text{.}\) Si esta clina vive completamente dentro del disco unitario cerrado representa el círculo elíptico centrado en a\(p\) través Por\(q\text{.}\) supuesto , esta clina puede no vivir completamente dentro del disco, como es el caso en la Figura\(6.3.2\). Pero cada punto en la clina tipo II de\(p\) y\(p_a\) a través\(q\) tiene punto antípodal en la clina tipo II de\(p\) y\(p_a\) a través\(q_a\text{.}\) Así, en\(\mathbb{P}^2\) podemos representar el círculo elíptico centrado a\(p\) través\(q\) por las porciones de estos dos clines tipo II de\(p\) y\(p_a\) que viven en el disco de la unidad cerrada.

Figura\(\PageIndex{2}\): El círculo elíptico centrado a\(p\) través de\(q\) adentro\(\mathbb{P}^2\) puede consistir en porciones de dos clinas distintas. (Copyright; autor vía fuente)

Observamos también que los círculos elípticos centrados en el origen correpond a los círculos euclidianos centrados en el origen. En particular, un círculo euclidiano centrado en el origen con radio euclidiano\(a\) (con\(0 \lt a \lt 1\)) corresponde a un círculo elíptico centrado en el origen con radio elíptico\(2\arctan(a)\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Un círculo elíptico\(\mathbb{P}^2\) con radio elíptico\(r \lt \dfrac{\pi}{2}\) tiene circunferencia\(C = 2\pi\sin(r)\text{.}\)

La prueba de este teorema se deja como ejercicio. También se\(\pi/2\) investigan en los ejercicios círculos con radio elíptico mayor o igual que. ¡Puede que no parezcan círculos!

El Área de un Triángulo

Ahora volvemos nuestra atención a encontrar una fórmula para el área de un triángulo en geometría elíptica. Empezamos con el lunes. Un lune es la región\(\mathbb{P}^2\) delimitada entre dos líneas elípticas. ¿Cómo delimitan una región dos líneas elípticas? Dos líneas atrapan una región porque estamos identificando puntos antípodas en el círculo unitario. Un insecto que vive en la región sombreada de\(\mathbb{P}^2\) la imagen en Figura\(6.3.3\) podría visitar todos los puntos sombreados sin cruzar los muros límite determinados por las dos líneas elípticas. La región sombreada es una única región conectada delimitada por dos líneas. Entonces, ¿cuál es el área de esta región?

Figura\(\PageIndex{3}\): Una lune adentro\(\mathbb{P}^2\) con ángulo\(\alpha\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente)

Lema\(\PageIndex{1}\): The Area of a Lune

En (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)), el área de una lune con ángulo\(α\) es\(2α\).

Prueba

Para calcular el área de una lune, primero mueve el vértice de la lune al origen de tal manera que una pata de la lune se encuentre sobre el eje real, como en la Figura\(6.3.3\). Entonces la mitad de la región lunar se puede describir en coordenadas polares por\(0≤r≤1\) y\(0≤θ≤α\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Una lune cuyas líneas elípticas se cruzan en el origen. (Copyright; autor vía fuente)

Entonces el área de una lune que tiene ángulo\(\alpha\) viene dada por

\ begin {align*} A & = 2\ int_0^\ alpha\ int_0^1\ dfrac {4r} {(1+r^2) ^2} dr d\ theta\ tag {Vamos $u = 1+r^2$}\\ & = 2\ int_0^\ alpha\ bigg [\ dfrac {-2} {1+r^2}\ bigg|_0^1\ bigg] ~d\ theta\\ & = 2\ int_0^\ alfa 1 ~d\ theta\\ & = 2\ alfa\ texto {.} \ end {alinear*}

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Triangle Area in \((\mathbb{P}^2,{\cal S})\).

El triángulo de\(\Delta pqr\) abajo se forma a partir de líneas\(3\) elípticas. Observe que cada esquina del triángulo determina un lune, y que los tres lunes cubren todo el plano proyectivo, con alguna superposición. En particular, los tres lunes en suma cubren el triángulo tres veces, por lo que la suma de las tres áreas de lune es igual al área de todo el plano proyectivo más dos veces el área del triángulo.

El área de todo el plano proyectivo es\(2\pi\) (ver Ejercicio\(6.3.9\)), por lo que tenemos la siguiente relación:

\ begin {align*} 2\ pi + 2\ cdot A (\ Delta pqr) & = A (\ text {Lune} ~ p) + A (\ text {Lune} ~ q) + A (\ text {Lune} ~ r)\\ 2\ pi + 2\ cdot A (\ Delta pqr) & = (2\ alpha + 2\ beta + 2\ gamma)\\ A (\ Delta pqr) & = (\ alfa +\ beta +\ gamma) -\ pi\ texto {.} \ end {alinear*}

Resumimos el resultado de este ejemplo con el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

En geometría elíptica,\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{,}\) el área de un triángulo con ángulos\(\alpha, \beta, \gamma\) es

\[ A = (\alpha+\beta+\gamma) - \pi\text{.} \]

De este teorema, se deduce que los ángulos de cualquier triángulo en geometría elíptica suman más de\(180^{\circ}\text{.}\)

Cerramos esta sección con una discusión sobre la trigonometría en geometría elíptica. Derivamos fórmulas análogas a las del Teorema\(5.4.5\) para triángulos hiperbólicos. Asumimos aquí que el triángulo determinado por puntos distintos\(p, q\) y\(z\) en\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\) se forma considerando los caminos más cortos que conectan estos tres puntos. Por lo que las longitudes del lado del triángulo no excederán\(\dfrac{\pi}{2}\) en lo que sigue.

Figura\(\PageIndex{5}\): Un triángulo elíptico con longitudes laterales y ángulos marcados. (Copyright; autor vía fuente)

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que tenemos un triángulo elíptico con longitudes\(a,b,\) y\(c\text{,}\) ángulos laterales elípticos\(\alpha, \beta\text{,}\) y\(\gamma\) como en la Figura\(6.3.5\). Entonces sostienen las siguientes leyes:

1. Ley elíptica de los cosenos

\[ \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(\gamma)\text{.} \]

2. Ley elíptica de los senos

\[ \frac{\sin(a)}{\sin(\alpha)}=\frac{\sin(b)}{\sin(\beta)}=\frac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\text{.} \]

Prueba

a. Posicione nuestro triángulo convenientemente, con una esquina en el origen, una en el eje real positivo en el punto\(r\) (\(0 \lt r \leq 1)\text{,}\)y otra en el punto\(q = ke^{i\gamma}\) (con\(0 \lt k \leq 1)\) como en la Figura\(6.3.5\). \(a = d_S(0,r)=2\arctan(r)\text{,}\)Entonces para que

\ begin {alinear*}\ cos (a) & =\ cos (2\ arctan (r))\\ & =\ cos^2 (\ arctan (r)) -\ sin^2 (\ arctan (r))\ end {alinear*}

por la fórmula coseno de doble ángulo. Si establecemos\(\theta = \arctan(r)\) podemos usar el siguiente triángulo rectángulo para reescribir la descripción anterior de la\(\cos(a)\) siguiente manera:

\ begin {alinear*}\ cos (a) & =\ frac {1} {1+r^2} -\ frac {r^2} {1+r^2}\\ & =\ frac {1-r^2} {1+r^2}\ end {align*}

Por otra parte,

\ begin {align*}\ sin (a) & =\ sin (2\ arctan (r))\\ & = 2\ sin (\ arctan (r))\ cos (\ arctan (r))\ text {,}\ end {align*}

de lo que se deduce que

\[ \sin(a) = \frac{2r}{1+r^2}\text{.} \]

Volviendo nuestra atención hacia el lado con longitud\(b\text{,}\)\(b = d_S(0,q) = 2\arctan(|q|)=2\arctan(k),\) ya que\(q = ke^{i\gamma}\) con\(k > 0\text{.}\) Se deduce que

\[ \cos(b) = \frac{1-k^2}{1+k^2}~~~\text{and}~~~\sin(b) = \frac{2k}{1+k^2}\text{.} \]

¿Y el tercer lado? El teorema nos\(6.3.2\) dice

\[ c = d_S(r,ke^{i\gamma}) = 2\arctan\left(\left|\frac{ke^{i\gamma} - r}{1+rke^{i\gamma}}\right|\right)\text{.} \]

Ya que en general\(\cos(2\arctan(x)) = \dfrac{(1-x^2)}{(1+x^2)}\text{,}\) se deduce que

\[ \cos(c) = \frac{|1+rke^{i\gamma}|^2 - |ke^{i\gamma}-r|^2}{|1+rke^{i\gamma}|^2 + |ke^{i\gamma}-r|^2}\text{,} \]

que se puede ampliar usando\(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\text{,}\) y luego reducir para obtener

\[ \cos(c) = \frac{1 + r^2k^2 - k^2 - r^2+2rk(e^{i\gamma}+e^{-i\gamma})}{1+r^2 + k^2 + r^2k^2}\text{.} \]

Ahora,\(e^{i\gamma}+e^{-i\gamma}=2\cos(\gamma)\text{,}\) así que tenemos

\ begin {alinear*}\ cos (c) & =\ frac {(1-r^2) (1-k^2) + 2rk2\ cos (\ gamma)} {(1+r^2) (1+k^2)}\\ & =\ frac {1-r^2} {1+r^2}\ cdot\ frac {1-k^2} {1+k^2} +\ frac ac {2r} {1+r^2}\ cdot\ frac {2k} {1+k^2}\ cos (\ gamma)\\ & =\ cos (a)\ cos (b) +\ sin (a)\ sin (b)\ cos (\ gamma)\ texto {.} \ end {alinear*}

Aunque elaboramos la fórmula para un triángulo convenientemente ubicado, se mantiene para cualquier triángulo en geometría elíptica porque los ángulos y distancias se conservan mediante transformaciones en geometría elíptica, y hay una transformación que lleva cualquier triángulo a esta ubicación conveniente.

b. para probar la ley elíptica de los senos, primero construir el círculo que contiene el lado\(c\text{.}\) Este círculo pasa por\(r\) y\(q\) y sus puntos antípodas\(-\dfrac{1}{r}\) y\(q_a\) como se muestra en la Figura\(6.3.6\). Dejamos\(p\) denotar el centro del círculo, y\(R\) su radio euclidiano.

Figura\(\PageIndex{6}\): Derivando la ley elíptica de los senos. (Copyright; autor vía fuente)

Dejar\(m_r\) ser el punto medio del segmento conectando\(r\) y\(-\dfrac{1}{r}\text{,}\) y dejar\(m_q\) ser el punto medio del segmento conectando\(q\) y\(q_a\text{.}\) así,

\[ |m_r - r| = \frac{1}{2}\bigg(r+\frac{1}{r}\bigg) = \frac{1+r^2}{2r}\text{,} \]

y

\[ |m_q - q| = \bigg|\frac{1}{2}\bigg(k+\frac{1}{k}\bigg)e^{i\gamma}\bigg| = \frac{1+k^2}{2k}\text{.} \]

Nota además que\(\Delta pm_rr\) es correcto, y\(\angle m_r r p = \dfrac{\pi}{2} - \beta\) para que\(\angle rpm_r = \beta\text{.}\) Desde este triángulo rectángulo vemos\(\sin(\beta) = \dfrac{(1+r^2)}{(2rR)}\text{.}\)

Del mismo modo,\(\Delta pm_q q\) es correcto, y tenemos\(\angle m_q p q = \alpha\text{,}\) y\(\sin(\alpha) = \dfrac{(1+k^2)}{(2kR)}\text{.}\)

Comparando proporciones,

\ begin {align*}\ frac {\ sin (a)} {\ sin (\ alpha)} & =\ dfrac {2r} {1+r^2}\ cdot\ dfrac {2kR} {1+k^2}\ & =\ dfrac {2k} {1+k^2}\ cdot\ dfrac {2rr} {1+r^2}\ & =\ dfrac {\ sin (b)} {\ sin (\ beta)}\ texto {.} \ end {alinear*}

Para ver que la relación\(\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\) debe coincidir con la relación común anterior, tenga en cuenta que las transformaciones en geometría elíptica preservan distancias y ángulos, por lo que podemos transformar nuestro triángulo de arriba a uno en el que la longitud\(c\) está ahora en el eje real con un extremo en el origen. El argumento anterior asegura que la relación\(\dfrac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\) luego coincide con una de las otras proporciones, y así los tres están de acuerdo.

Corolario\(\PageIndex{1}\): Elliptic Hypotenuse Theorem.

Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.

Prueba

En un triángulo rectángulo\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\) con longitudes laterales elípticas\(a\) y\(b\text{,}\) e hipotenusa\(c\text{,}\)

\[ \cos(c) = \cos(a)\cos(b)\text{.} \]

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar teorema\(6.3.3\). A saber, demostrar que la circunferencia de un círculo en geometría elíptica es\(C = 2\pi\sin(r)\text{,}\) donde\(r \lt \dfrac{\pi}{2}\) está el radio elíptico.

Pista

Supongamos que su círculo está centrado en el origen.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar

\[ \lim_{r \to 0^+}\frac{2\pi \sin(r)}{2\pi r}=1\text{.} \]

Así, para pequeños\(r\text{,}\) la fórmula euclidiana para la circunferencia de un círculo es una buena aproximación a la circunferencia verdadera de un círculo en geometría elíptica.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Círculos con radio grande.

1. Dar un boceto cuidadoso del círculo centrado en\(0\) con radio elíptico\(\dfrac{\pi}{2}\text{.}\)
2. Dar un boceto cuidadoso del círculo centrado en\(0\) con radio elíptico\(\dfrac{2\pi}{3}\text{.}\)
3. Dar un boceto cuidadoso del círculo centrado en\(0\) con radio elíptico\(\pi\text{.}\)
4. Dar un boceto cuidadoso del círculo centrado en\(0\) con radio elíptico\(2\pi\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(C\) ser un círculo elíptico con centro\(z_0\) y radio elíptico ¿\(r\gt 0\text{.}\)Para qué valor (s) de\(r\) es\(C\) una línea elíptica? ¿Para qué valor (s) de\(r\) es\(C\) un solo punto?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determine la distancia elíptica entre\(\dfrac{1}{2}\) y\(\dfrac{1}{2}i\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que el área de un círculo en geometría elíptica con radio\(r \lt \dfrac{\pi}{2}\) es

\[ A = 4\pi\sin^2(\dfrac{r}{2})\text{.} \]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar

\[ \lim_{r \to 0^+} \dfrac{4\pi\sin^2(\dfrac{r}{2})}{\pi r^2} = 1\text{.} \]

Así, para pequeños\(r\text{,}\) la fórmula euclidiana para el área de un círculo es una buena aproximación al área verdadera de un círculo en geometría elíptica.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que la longitud del arco es una invariante de la geometría elíptica.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que el área de\(\mathbb{P}^2\) es\(2\pi\text{.}\) Así, a diferencia del caso hiperbólico, el espacio en geometría elíptica tiene área finita.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Un intrépido recaudador de impuestos vive en un país en el espacio elíptico\(\mathbb{P}^2\text{.}\) Para fines de recaudación, el país se divide en cuadrículas triangulares. El coleccionista observa que los ángulos del triángulo en el que recoge son\(92^\circ\text{,}\)\(62^\circ\text{,}\) y\(27^\circ\text{.}\) ¿Cuál es el área de su triángulo? (Asegúrese de convertir los ángulos en radianes). ¿Se puede\(\mathbb{P}^2\) subdividir todo el espacio en un número finito de triángulos?

Contestar

\(\dfrac{\pi}{180}\text{.}\)¡Sí!

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Encuentra una fórmula para el área de un\(n\) -gon en geometría elíptica\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{,}\) dado que sus\(n\) ángulos son\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\text{.}\)

Contestar

\(A = \sum \alpha_i - (n-2)\pi\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

En este ejercicio mostramos la distancia entre dos puntos cualesquiera\(p\) y\(q\) en geometría esférica\((\mathbb{C}^+,{\cal S})\) es

\[ d_S(p,q)=2\arctan\left(\bigg|\frac{q - p}{1+\overline{p}q}\bigg|\right)\text{,} \]

y que\(d_S(p,q)\) corresponde a la distancia en la esfera entre\(\phi^{-1}(p)\) y\(\phi^{-1}(q)\text{.}\)

1. La definición de longitud de arco en geometría esférica\((\mathbb{C}^+,{\cal S})\) es la misma que la de\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{.}\) Usando esta definición, siga la prueba del Teorema\(6.3.2\) para mostrar que para cualquier número real positivo\(x\) en\(\mathbb{C}^+\text{,}\)\(d_S(0,x)=2\arctan(x)\text{.}\)
2. Utilice la invarianza de la longitud del arco para explicar por qué, para arbitrarios\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{C}^+\text{,}\)

   \[ d_S(p,q)=2\arctan\left(\left|\frac{q - p}{1+\overline{p}q}\right|\right)\text{.} \]

3. Supongamos que\(x > 0\) es un número real. Determinar\(\phi^{-1}(x)\text{,}\) el punto en la esfera unitaria correspondiente a\(x\) través de proyección estereográfica. ¿Qué es\(\phi^{-1}(0)\text{?}\)
4. Determinar la distancia entre\(\phi^{-1}(0)\) y\(\phi^{-1}(x)\) sobre la esfera. En particular, mostrar que esta distancia es igual a\(\arccos(\dfrac{(1-x^2)}{(1+x^2)})\text{.}\) Pista: la distancia entre estos puntos será igual al ángulo entre los vectores a estos puntos, y este ángulo se puede encontrar usando la fórmula\(\cos(\theta)=\vec{v}\cdot\vec{w}\) para dos vectores unitarios.
5. \(x \gt 0\text{,}\)\(\arccos(\dfrac{(1-x^2)}{(1+x^2)}) = 2\arctan(x)\text{.}\)Demuéstralo para Pista: Puede que le resulte útil la siguiente fórmula de medio ángulo:\(\tan(\dfrac{\theta}{2})= \dfrac{\tan(\theta)}{(\sec(\theta)+1)}.\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Demostrar que\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\) es isotrópico.