8.2: Cristalografía cósmica
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De hecho, si suponemos por un minuto que podemos ver hasta donde queramos, entonces podríamos ver\(G\) mirando en cualquier dirección que produzca una línea de visión con pendiente racional. En realidad, no podemos ver para siempre, y esta limitación produce un límite visual. Vamos a dejar\(r_{obs}\) denotar la distancia a la que podemos ver, que es el radio de nuestro universo observable. Para tener alguna esperanza de ver múltiples imágenes de un mismo objeto, el diámetro de nuestro universo observable,\(2r_{obs}\text{,}\) debe superar alguna dimensión de longitud del universo.
Volviendo al toro, la forma más fácil de encontrar las direcciones en las que se puede ver\(G\) es tejear el plano con copias idénticas del toro. Colocar la Tierra en el mismo punto de cada copia del rectángulo, y lo mismo ocurre con otros objetos como la\(G\text{.}\) Figura\(8.2.2\) muestra una porción del mosaico, y nuestro límite visual. Según la Figura\(8.2.2\), además de la instancia de\(G\) en el dominio fundamental,\(5\) de sus imágenes serían visibles.
En términos prácticos, detectar múltiples imágenes de un mismo objeto se complica por la velocidad finita de la luz. Dado que las líneas de visión en Figura\(8.2.2\) tienen diferentes longitudes, vemos al objeto\(G\) en diferentes momentos de su evolución. En realidad, las galaxias evolucionan dramáticamente con el tiempo. Entonces, aunque encontráramos una imagen de\(G\) mirar en alguna dirección “más larga”, podría verse tan diferente que no la reconoceríamos.
Aún así, la humanidad ha reflexionado sobre la tentadora posibilidad de que una de las muchas galaxias distantes que hemos detectado con nuestros telescopios sea en realidad la galaxia de la Vía Láctea. Sin embargo, con base en estimaciones recientes de límite inferior del tamaño de nuestro universo, ahora está claro que no seremos tratados con tal vista.
En lugar de detectar diferentes imágenes de un objeto en particular, tal vez podamos detectar múltiples imágenes del mismo objeto indirectamente. Considera un catálogo de objetos similares que no evolucionan demasiado rápido (como los supercúmulos de galaxias). Supongamos que hemos observado\(N\) tales objetos y parecen ser rociados aleatoriamente alrededor del universo (el universo es homogéneo e isotrópico después de todo). En la Figura\(8.2.3\) hemos generado una distribución aleatoria bidimensional de fuentes puntuales.
En lugar de buscar dos copias de la misma fuente, calculamos la distancia entre cada par de fuentes en el catálogo (debemos hacer una suposición sobre la geometría del espacio para calcular estas distancias), dándonos\(\dfrac{N(N-1)}{2}\) distancias. Si el catálogo no contiene imágenes repetidas, entonces las distancias deben seguir una distribución de probabilidad de Poisson. El histograma de las\(\dfrac{N(N-1)}{2}\) distancias se denomina histograma de separación de pares (PSH) y se da en la Figura\(8.2.4\).
Ahora considere el catálogo en Figura\(8.2.5(a)\). Al igual que en la Figura\(8.2.3\), el radio observable se ha escalado a 10 unidades. Los objetos que podemos observar pueden verse distribuidos uniformemente, pero de hecho, existen múltiples imágenes del mismo objeto. En esta simulación, el universo es un toro y el radio observable supera las dimensiones de nuestro universo. Colocándonos en el origen de este catálogo, nuestro dominio Dirichlet en este universo toroide se ha superpuesto al catálogo en Figura\(8.2.5(b)\).
El histograma de separación de pares para este catálogo simulado aparece en la Figura\(8.2.6\). Observe los picos en el histograma. Algunas distancias están ocurriendo con mayor frecuencia de lo que uno esperaría solo por casualidad. A primera vista, parece que los picos ocurren a distancias de aproximadamente\(10\),\(14\), y\(17\) unidades.
¿Qué causa estos picos? Mire nuevamente la gráfica del catálogo en Figura\(8.2.5(b)\), y encuentre un objeto cerca del borde superior del dominio fundamental. Hemos resaltado un grupo de objetos que se parecen un poco a un trineo. Hay una copia de este objeto justo debajo del borde inferior del dominio fundamental. La distancia entre un punto en este trineo y su imagen inferior es igual a la longitud de la dimensión de ancho de nuestro toro, que está\(14\) en esta simulación. En efecto, hay muchos puntos para los que vemos una imagen desplazada verticalmente de esta manera, por lo que esta distancia ocurrirá mucho tiempo en el histograma de separación de pares.
Otra copia de nuestro gran trineo aparece justo a la derecha del borde derecho del dominio fundamental. Entonces, la distancia entre un punto y su imagen desplazada horizontalmente será igual a la dimensión de longitud del toro, que está\(10\) en esta simulación. También hay muchos de estos pares en el catálogo -de hecho, más que antes ya que esta dimensión del rectángulo fundamental es menor. Esto explica el pico más grande en el histograma por encima de la distancia\(10\).
Finalmente, hay algunos objetos en el dominio fundamental para los que es visible una copia desplazada diagonalmente. La longitud de esta diagonal es\(\sqrt{10^2 + 14^2} \approx 17.2,\) y esto representa el tercer pico más pequeño en el histograma.
Los picos aparecen en el PSH precisamente porque el universo del toro\(\mathbb{C}/\Gamma\) se construye a partir de isometrías que mueven cada punto del espacio por la misma distancia. Una transformación\(T\) de un espacio métrico con la propiedad que
\[ d(p,T(p)) = d(q,T(q)) \]
para todos los puntos\(p\) y\(q\) en el espacio se llama una traducción de Clifford. Cualquier traducción en\(\mathbb{C}\) es una traducción de Clifford; cada punto se mueve a la misma distancia. Sin embargo, una rotación sobre el origen no lo es: cuanto más lejos está un punto del origen, más se mueve. En los ejercicios, demuestras que las isometrías no triviales en el plano hiperbólico no son traducciones de Clifford.
Recordemos que para crear el PSH de un catálogo en el método de cristalografía cósmica primero debemos hacer una suposición sobre la geometría del universo. El PSH en Figura\(8.2.6\) se generó calculando las distancias euclidianas entre puntos en el catálogo. Si asumimos un universo hiperbólico y usamos la métrica hiperbólica para producir la PSH, los picos desaparecerían.
En esencia, el método de cristalografía cósmica vierte sobre catálogos de objetos astronómicos, calculando distancias entre todos los pares de objetos del catálogo, y luego buscando picos en el histograma de separación de pares. La detección de un pico en el histograma que no puede explicarse razonablemente por casualidad en la distribución de objetos indica un universo finito.
El método de cristalografía cósmica tiene limitaciones más allá del desafío obvio de medir con precisión las distancias astronómicas. Como verás en los ejercicios, diferentes formas podrían producir picos idénticos, por lo que encontrar un pico en un PSH no determina con precisión la forma de nuestro universo (aunque ciertamente reduciría la lista de candidatos). Los diez\(3\) colectores euclidianos revelarán un pico (o picos) en el PSH si podemos ver lo suficientemente lejos como para detectar las dimensiones finitas. Algunos de los\(3\) colectores elípticos producirán picos en la PSH, pero ningún\(3\) colector hiperbólico se revelaría por este método, ya que las isometrías hiperbólicas no son traducciones de Clifford.
Hasta la fecha, no se han encontrado picos estadísticamente significativos en los histogramas de separación de pares calculados a partir de catálogos reales. Dos buenas encuestas de este método, incluyendo información sobre la generación de catálogos simulados, se pueden encontrar en [26] y [24].
Se han propuesto métodos más sensibles que podrían detectar cualquier\(3\) colector, independientemente de la geometría, y observamos uno de esos métodos a continuación.
En un catálogo de imágenes, hay dos tipos de pares que podrían generar distancias recurrentes. El método de cristalografía cósmica esbozado previamente detecta lo que se han denominado pares Tipo II en la literatura: Un par Tipo II es un par de puntos de la forma\(\{p,T(p)\}\text{,}\) donde\(T\) se encuentra una transformación del grupo de isometrías utilizadas para generar el colector. Si\(T\) transforma cada punto a la misma distancia (es decir, si\(T\) es una traslación Clifford), entonces esta distancia común aparecerá en el PSH como un pico.
El otro tipo de distancia recurrente puede surgir de lo que se ha denominado un par de puntos Tipo I en el catálogo. Un par Tipo I consiste en cualquier par\(\{p,q\}\) de puntos. Si podemos ver imágenes de estos puntos en una copia del dominio fundamental, digamos\({T(p),T(q)}\text{,}\) entonces ya que las transformaciones preservan la distancia,\(d(p,q) = d(T(p),T(q))\text{,}\) y esta distancia común habrá ocurrido al menos dos veces en la PSH. La siguiente figura muestra una porción del alicatado de toro del plano representado en la Figura\(8.2.2\). Los dos tipos de pares de puntos son visibles: los pares de Tipo I se unen por segmentos discontinuos y los pares de Tipo II se unen por segmentos sólidos.
Los pares de tipo I no producirán picos discernibles en el PSH. Incluso en simulaciones para las que están presentes varias imágenes de un par de puntos, el pico generado por este conjunto de pares que tienen la misma distancia no es estadísticamente significativo.
El método de recolección de pares correlacionados (CCP), descrito a continuación, intenta detectar los pares Tipo I en un catálogo.
Supongamos que un catálogo tiene\(N\) objetos, y vamos a\(P = \dfrac{N(N-1)}{2}\) denotar el número de pares generados a partir de este conjunto. Calcular todas\(P\) las distancias entre pares de objetos y ordenarlos de menor a mayor. Dejar\(\Delta_i\) denotar la diferencia entre la\((i+1)^{\text{st}}\) distancia y la\(i^{\text{th}}\) distancia. Aviso\(\Delta_i \geq 0\) para todos\(i\text{,}\) y\(i\) va desde\(1\) hasta\(P-1\text{.}\)
Ahora bien,\(\Delta_i = 0\) para algunos\(i\) si dos pares diferentes de objetos en el catálogo tienen la misma separación. Podría ser que los pares no relacionados pasen a tener la misma distancia, o que los dos pares responsables\(\Delta_i = 0\) sean de la forma\(\{p,q\}\) y\(\{T(p),T(q)\}\) (pares Tipo I). (Estamos asumiendo que no hay pares tipo II en el catálogo).
Vamos\(Z\) a igualar el número de los\(\Delta_i\)'s que igual a cero. Entonces
\[ R = \frac{Z}{P-1} \]
denota la proporción de los diferenciales que equivalen a cero. Este número único es una medida, en cierto sentido, de la probabilidad de vivir en un universo multiconectado.
En un catálogo real que involucra estimaciones de distancias, no se esperaría que los pares Tipo I produzcan distancias idénticas, por lo que en lugar de usar\(Z\) como se definió anteriormente, uno podría dejar\(Z_\epsilon\) igualar el número de los\(\Delta_i\)'s que son menores que\(\epsilon\text{,}\) donde\(\epsilon\) hay algún pequeño número positivo. Para más detalles sobre este método, véase [28].
Ejercicios
La Botella Klein. Podemos ver la botella Klein como un cociente de\(\mathbb{C}\) por el grupo de isometrías generadas por\(T_1(z) = z + i\) y\(T_2(z) = \overline{z}+1+i\text{.}\) Un dominio fundamental para el cociente es el cuadrado unitario en\(\mathbb{C}\text{.}\) Los bordes del cuadrado se identifican como se muestra en la imagen. Los\(a\) bordes se identifican como serían para un toro, pero los\(b\) bordes se identifican con un giro.
- Verifique que\(T_1\) mapee el borde inferior del cuadrado unitario al borde superior del cuadrado unitario, y que\(T_2\) mapee el borde izquierdo del cuadrado unitario al borde derecho con un giro.
- Determinar las transformaciones inversas\(T_1^{-1}\) y\(T_2^{-1}\text{.}\)
- Podemos componer cualquier número de estas cuatro transformaciones\(T_1, T_2, T_1^{-1},\) y\(T_2^{-1}\) teselar todas\(\mathbb{C}\) con copias de la unidad cuadrada. En la siguiente figura hemos indicado en ciertos cuadrados la transformación (construida a partir de los cuatro anteriores) que mueve el cuadrado unitario al cuadrado indicado. Complete la siguiente figura indicando una composición de las cuatro transformaciones que mapean el cuadrado unitario al cuadrado indicado en\(\mathbb{C}\text{.}\)
- Verifica que\(T_2\circ T_1 = T_1^{-1}\circ T_2\text{.}\)
- Demostrar que\(T_1\) es una traducción de Clifford\(\mathbb{C}\) pero\(T_2\) no lo es. De ello se deduce que en un universo de botella Klein, la cristalografía cósmica sólo podría detectar una dimensión de la botella Klein.
La figura\(8.2.8\) muestra un catálogo simulado de un universo euclidiano bidimensional con el histograma de separación de pares correspondiente. Hay dos superficies euclidianas: la botella Klein y el toro. A partir del análisis de cristalografía cósmica, ¿cuál crees que es la forma del universo? Explica tu respuesta. También, hacer una estimación del área total del universo.
Demostrar que la transformación\(T_{a}\) en Ejemplo\(7.7.6\) utilizada para generar el toro de dos huecos como cociente de no\(\mathbb{D}\) es una traducción de Clifford. ¿Se puede generalizar el argumento para demostrar que cualquier isometría en\(\mathbb{D}\) que lleve un borde de un\(n\) -gon regular a otro borde no es una traducción de Clifford?
Una estimación aproximada del número de imágenes de un objeto que uno podría ver en un catálogo se puede hacer dividiendo el volumen de espacio ocupado por el catálogo por el volumen del dominio Dirichlet en nuestra posición en el universo. Supongamos que vivimos en un universo bidimensional orientable. De hecho, supongamos que vivimos en\(H_g\) para algunos\(g \geq 2\text{,}\) y nuestro dominio Dirichlet es el estándar\(4g\) -gon como en Figura\(7.5.11\). Establecer la curvatura del universo en\(k = -1\text{.}\)
- Según Gauss-Bonnet, ¿cuál es el área del dominio Dirichlet?
- Cuál es el área del universo observable, en función de Es\(r_{obs}\text{?}\) decir, cuál es el área de un círculo en\((\mathbb{D},{\cal H})\) con radio\(r_{obs}\text{?}\)
- Determinar la relación entre el área del universo\(\text{(A(O.U.))}\) observable y el área del dominio fundamental\(\text{(A(F.D.))}\). Tu ratio\(\text{(A(O.U.)}/\text{A(F.D.)}\) dependerá de\(r_{obs}\) y\(g\text{.}\)
- Completa la siguiente tabla en el caso\(g = 2\text{.}\) Supongamos que\(r_{obs}\) tiene unidades en años luz.
Tabla 8.2.1: Estimación del número de imágenes de un objeto que uno podría ver en un catálogo \(r_{obs}\) A (O.U.) A (F.D.) Ratio 2 4 6 8 - Repetir la parte d) en otros dos casos:\(g = 4\) y\(g = 6\text{.}\)
Repetir el ejercicio anterior en el caso del universo bidimensional no orientable,\(C_g\text{.}\)