2.1: La Declaración de Congruencia

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Se dice que dos triángulos son congruentes si uno se puede colocar sobre el otro para que coincidan (encajen entre sí). Esto significa que los triángulos congruentes son copias exactas entre sí y cuando se ajustan entre sí los lados y ángulos que coinciden, llamados lados y ángulos correspondientes, son iguales.

En la Figura$\PageIndex{1}$,$\triangle ABC$ es congruente con$\triangle DEF$. El símbolo de congruencia es$\cong$ y escribimos$\triangle ABC \cong \triangle DEF$. $\angle A$corresponde a$\angle D$,$\angle B$ corresponde a$\angle E$, y$\angle C$ corresponde a$\angle F$. Lado$AB$ corresponde a$DE, BC$ corresponde a$EF$, y$AC$ corresponde a$DF$.

2020-10-29 10.44.03.png — Figura$\PageIndex{1}$:$\triangle ABC$ es congruente con$\triangle DEF$.

En este libro siempre se escribirá la declaración$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ de congruencia para que los vértices correspondientes aparezcan en el mismo orden, Para los triángulos en Figura$\PageIndex{1}$, también podríamos escribir$\triangle BAC \cong \triangle EDF$ o$\triangle ACB \cong \triangle DFE$ pero nunca por ejemplo$\triangle ABC \cong \triangle EDF$ ni$\triangle ACB \cong \triangle DEF$. (Se advierte que no todos los libros de texto siguen esta práctica, Muchos autores escribirán las cartas sin tener en cuenta el orden. Si ese es el caso entonces no podemos decir qué partes corresponden de la declaración de congruencia)

Por lo tanto siempre podemos decir qué partes corresponden solo a partir de la declaración de congruencia. Por ejemplo, dado que$\triangle ABC \cong \triangle DEF$, lado$AB$ corresponde a lado$DE$ porque cada uno consta de las dos primeras letras,$AC$ corresponde a DF porque cada uno consta de la primera y última letra,$BC$ corresponde a$EF$ porque cada una consta de las dos últimas letras.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Si$\triangle PQR \cong \triangle STR$

enumerar los ángulos y lados correspondientes;
encontrar$x$ y$y$.

$2020-10-29 10.52.25.png$

Solución

(1)

$\begin{array} {rcll} {\underline{\triangle PQR}} & \ & {\underline{\triangle STR}} & {} \\ {\angle P} & = & {\angle S} & {\text{(first letter of each triangle in congruence statement)}} \\ {\angle Q} & = & {\angle T} & {\text{(second letter)}} \\ {\angle PRQ} & = & {\angle SRT} & {\text{(third letter. We don't write "}\angle R = \angle R \text{" since}} \\ {} & & {} & {\text{each }\angle R \text{ is different)}} \\ {PQ} & = & {ST} & {\text{(first two letters)}} \\ {PR} & = & {SR} & {\text{(firsst and last letters)}} \\ {QR} & = & {TR} & {\text{(last two letters)}} \end{array}$

(2)

$x = PQ = ST = 6$.

$y = PR = SR = 8$.

Respuesta (2):$x = 6, y = 8$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Suponiendo$\triangle I \cong \triangle II$, escribir una declaración de congruencia para$\triangle I$ y$\triangle II$:

$2020-10-29 11.00.37.png$

Solución

$\begin{array} {rcll} {\triangle I} & \ & {\triangle II} & {} \\ {\angle A} & = & {\angle B} & {(\text{both = } 60^{\circ})} \\ {\angle ACD} & = & {\angle BCD} & {(\text{both = } 30^{\circ})} \\ {\angle ADC} & = & {\angle BDC} & {(\text{both = } 90^{\circ})} \end{array}$

Por lo tanto $2020-10-29 11.04.56.png$

Respuesta:$\triangle ACD \cong \triangle BCD$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Suponiendo$\triangle I \cong \triangle II$, escribir una declaración de congruencia para$\triangle I$ y$\triangle II$:

$2020-10-29 11.06.39.png$

Solución

Se supone que los ángulos que se marcan de la misma manera son iguales.

$\begin{array} {rcll} {\underline{\triangle I}} & \ & {\underline{\triangle II}} & {} \\ {\angle A} & = & {\angle B} & {(\text{both marked with one stroke})} \\ {\angle ACD} & = & {\angle BCD} & {(\text{both marked with two strokes})} \\ {\angle ADC} & = & {\angle BDC} & {(\text{both marked with three strokes})} \end{array}$

Las relaciones son las mismas que en Ejemplo$\PageIndex{2}$.

Respuesta:$\triangle ACD \cong \triangle BCD$.

Problemas

1 - 4. Por cada par de triángulos congruentes

(1) enumerar los lados y ángulos correspondientes;

(2) encontrar$x$ y$y$.

1. $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

$Screen Shot 2020-10-29 a las 11.13.07 PM.png$

2. $\triangle PQR \cong \triangle STU$.

$Screen Shot 2020-10-29 a las 11.13.21 PM.png$

3. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

$Screen Shot 2020-10-29 a las 11.13.38 PM.png$

4. $\triangle ABC \cong \triangle EDC$.

$Screen Shot 2020-10-29 a las 11.13.50 PM.png$

5 - 10. Escriba una declaración de congruencia para cada uno de los siguientes. Supongamos que los triángulos son congruentes y que los ángulos o lados marcados de la misma manera son iguales.

5. $Screen Shot 2020-10-29 a las 11.14.03 PM.png$ 6. $Screen Shot 2020-10-29 a las 11.14.15 PM.png$