4.5: Triángulos Rectos Especiales

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Hay dos tipos de triángulo rectángulo que merecen especial atención: el$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo rectángulo y el$45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo rectángulo.

Triángulos rectos de 30°−60°−90°

Un triángulo cuyos ángulos son$30^{\circ}, 60^{\circ},$ y$90^{\circ}$ se llama$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo. $\triangle ABC$en la Figura$\PageIndex{1}$ es un$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo con lado$AC=1$.

Figura$\PageIndex{1}$: Un$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ TriAngie.

Figura$\PageIndex{2}$: Dibujar$BD$ y$CD$.

Para conocer más sobre este triángulo vamos a dibujar líneas$BD$ y$CD$ como en Figura$\PageIndex{2}$. $\triangle ABC \cong \triangle DBC$por$ASA = ASA$ lo que$AC = DC = 1.$$\triangle ABD$ es un triángulo equiangular por lo que todos los lados deben ser iguales a$2.$. Por lo tanto$AB=2$ (Figura$\PageIndex{3}$).

Figura$\PageIndex{3}$:$\triangle ABD$ es equiangular con todos los lados iguales a 2.

Vamos$x = BC$. Vamos a encontrar$x$. Aplicando el Teorema de Pitágoras a$\triangle ABC$,

$\begin{array} {rcl} {\text{leg}^2 + \text{leg}^2} & = & {\text{hyp}^2} \\ {1^2 + x^2} & = & {x^2} \\ {1 + x^2} & = & {4} \\ {x^2} & = & {3} \\ {x} & = & {\sqrt{3}} \end{array}$

Ahora supongamos que se nos da otro$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo$\triangle DEF$, con lado$DF = 8$ (Figura$\PageIndex{4}$). $\triangle DEF$es similar a$\triangle ABC$ de la Figura$\PageIndex{3}$ Por lo tanto

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{DF}{AC}} & = & {\dfrac{DE}{AB}} \\ {\dfrac{8}{1}} & = & {\dfrac{DE}{2}} \\ {16} & = & {DE} \end{array}$y$\begin{array} {rcl} {\dfrac{DF}{AC}} & = & {\dfrac{EF}{BC}} \\ {\dfrac{8}{1}} & = & {\dfrac{EF}{\sqrt{3}}} \\ {8\sqrt{3}} & = & {EF} \end{array}$

Nuestras conclusiones sobre los triángulos$ABC$ y$DEF$ sugieren el siguiente teorema:

Teorema$\PageIndex{1}$

En el$30^{\circ} -60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo la hipotenusa es siempre el doble de grande que la pierna opuesta al$30^{\circ}$ ángulo (la pierna más corta). La pierna opuesta al$60^{\circ}$ ángulo (la pierna más larga) siempre es igual a los tiempos de pierna más cortos$\sqrt{3}$.

Figura$\PageIndex{5}$: La hipotenusa es el doble de la pierna más corta y la pierna más larga es igual a la pierna más corta veces la$\sqrt{3}$.

En la Figura$\PageIndex{5}$, pierna$s =$ más corta, pierna$L =$ más larga y hip = hipotenusa. Teorema$\PageIndex{1}$ dice que

\[\boxed{ \begin{align*} \text{hyp} &= 2s \\[4pt] L &= s\sqrt{3} \end{align*}}\]

Tenga en cuenta que la pierna más larga es siempre la pierna opuesta (más alejada de) el$60^{\circ}$ ángulo y la pierna más corta siempre es la pierna opuesta (más alejada de) el$30^{\circ}$ ángulo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra$x$ y$y$:

$clipboard_ebf457adce79b4af3bd3bbf861aa3ffb1.png$

Solución

$\angle B = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$, así$\triangle ABC$ es un$30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ triángulo. Por teorema$\PageIndex{1}$,

$\begin{array} {rcl} {\text{hyp}} & = & {2s} \\ {y} & = & {2(7) = 14.} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {L} & = & {s\sqrt{3}} \\ {x} & = & {7\sqrt{3}} \end{array}$

Contestar

$x = 7\sqrt{3}$,$y = 14$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra$x$ y$y$:

$2020-11-17 9.26.53.png$

Solución

$\angle B = 60^{\circ}$así$\triangle ABC$ es un$30^{\circ} - 60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo. Por teorema$\PageIndex{1}$,

$\begin{array} {rcl} {L} & = & {s\sqrt{3}} \\ {10} & = & {x\sqrt{3}} \\ {\dfrac{10}{\sqrt{3}}} & = & {\dfrac{x\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{3}}}} \\ {x} & = & {\dfrac{10}{\sqrt{3}} = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}.} \\ {\text{hyp}} & = & {2s} \\ {y} & = & {2x = 2(\dfrac{10\sqrt{3}}{3}) = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}} \end{array}$

Contestar

$x = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}, y = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}$.

Triángulos rectos de 45°−45°−90°

El segundo triángulo especial que consideraremos es el$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo. Un triángulo cuyos ángulos son$45^{\circ}$$45^{\circ}$,, y$90^{\circ}$ se llama$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo o triángulo rectángulo isósceles. $\triangle ABC$en la Figura$\PageIndex{6}$ es un$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo con lado$AC = 1$.

2020-11-17 9.40.51.png — Figura$\PageIndex{6}$: Un$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo.

Ya que$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$, los lados opuestos a estos ángulos deben ser iguales (Teorema 2.5.2, Sección 2.5). Por lo tanto$AC = BC = 1$.

2020-11-17 9.43.07.png — Figura$\PageIndex{7}$: Las patas del$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo son iguales.

Dejar$x = AB$ (Figura$\PageIndex{7}$). Por el Teorema de Pitágoras,

$\begin{array} {rcl} {\text{leg}^2 + \text{leg}^2} & = & {\text{hyp}^2} \\ {1^2 + 1^2} & = & {x^2} \\ {1 + 1} & = & {x^2} \\ {2} & = & {x^2} \\ {\sqrt{2}} & = & {x} \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra$x$:

$2020-11-17 9.51.26.png$

Solución

$\angle B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. Así$\triangle ABC$ es un$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo. $AC = BC = 8$porque estos lados son ángulos iguales opuestos. Por el Teorema de Pitágoras,

$\begin{array} {rcl} {\text{leg}^2 + \text{leg}^2} & = & {\text{hyp}^2} \\ {8^2 + 8^2} & = & {x^2} \\ {64 + 64} & = & {x^2} \\ {128} & = & {x^2} \\ {x} & = & {\sqrt{128} = \sqrt{64} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}} \end{array}$

Contestar

$x = 8\sqrt{2}$.

Los triángulos de Figura$\PageIndex{6}$ y Ejemplo$\PageIndex{3}$ sugieren el siguiente teorema:

Teorema$\PageIndex{2}$

En el$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo las piernas son iguales y la hipotenusa es igual a los tiempos de cualquiera de las piernas$\sqrt{2}$.

En la Figura$\PageIndex{8}$,$\text{hyp}$ se encuentra la hipotenusa y$L$ es la longitud de cada pierna. Teorema$\PageIndex{2}$ dice que

\[ \boxed{ \text{hyp} = \sqrt{2} L } \]

2020-11-17 10.00.30.png — Figura$\PageIndex{8}$: Las piernas son iguales y la hipotenusa es igual a los tiempos de cualquiera de las piernas$\sqrt{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra$x$ y$y$:

$2020-11-17 10.02.32.png$

Solución

$\angle B = 45^{\circ}$. Así$\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles y$x = y$.

$\begin{array} {rcl} {x^2 + y^2} & = & {4^2} \\ {x^2 + x^2} & = & {16} \\ {2x^2} & = & {16} \\ {x^2} & = & {8} \\ {x} & = & {\sqrt{8} = \sqrt{4} \sqrt{2} = 2\sqrt{2}} \end{array}$

Respuesta:$x = y = 2 \sqrt{2}$.

Otro método:

$\triangle ABC$es un$45^{\circ}-45^{\circ} -90^{\circ}$ triángulo. De ahí que por teorema$\PageIndex{2}$,

$\begin{array} {rcl} {\text{hyp}} & = & {L\sqrt{2}} \\ {4} & = & {x\sqrt{2}} \\ {\dfrac{4}{\sqrt{2}}} & = & {\dfrac{x\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}} \\ {x} & = & {\dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}} \end{array}$

Contestar

$x = y = 2\sqrt{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Encuentra$AB$:

$2020-11-18 2.08.01.png$

Solución

$\triangle ADE$es un$45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo. De ahí

$\begin{array} {rcl} {\text{hyp}} & = & {L \sqrt{2}} \\ {10} & = & {x\sqrt{2}} \\ {\dfrac{10}{\sqrt{2}}} & = & {\dfrac{x\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}} \\ {x} & = & {\dfrac{10}{\sqrt{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}} \\ {AE = x} & = & {5\sqrt{2}} \end{array}$

Ahora dibuja$CF$ perpendicular a$AB$ (Figura$\PageIndex{9}$). $\angle B = 45^{\circ}$ya que$ABCD$ es un trapecio isósceles (Teorema 3.2.4, Sección 3.2).

2020-11-18 2.11.23.png — Figura$\PageIndex{9}$: Dibujar$CF$ perpendicular a$AB$.

Entonces$\triangle BCF$ es un$45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo congruente con$\triangle ADE$ y por lo tanto$BF = 5 \sqrt{2}$. $CDEF$es un rectángulo y por lo tanto$EF = 10$. Tenemos$AB = AE + EF + FB = 5\sqrt{2} + 10 + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} + 10$.

Contestar

$AB = 10\sqrt{2} + 10$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Encuentra$AC$ y$BD$:

$2020-11-18 2.15.08.png$

Solución

$ABCD$es un rombo. Las diagonales$AC$ y$BD$ son perpendiculares y se bisecan entre sí. $\angle AEB = 90^{\circ}$y$\angle ABE = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Así$\triangle AEB$ es un$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ triángulo.

$\begin{array} {rcl} {\text{hyp}} & = & {2s} \\ {4} & = & {2(BE)} \\ {2} & = & {BE} \\ {bd} & = & {2 + 2 = 4} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {L} & = & {s\sqrt{3}} \\ {AE} & = & {2\sqrt{3}} \\ {AC} & = & {2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} \\ {AC} & = & {4\sqrt{3}} \end{array}$

Contestar

$AC = 4\sqrt{3}, BD = 4$.

Nota Histórica: Números irracionales

Los pitagóricos creían que todas las naves de relación física podían expresarse con números enteros. Sin embargo los lados de los triángulos especiales descritos en esta sección están relacionados por números irracionales,$\sqrt{2}$ y$\sqrt{3}$. Un número irracional es un número que puede aproximarse, pero no expresarse exactamente, por una relación de números enteros. Por ejemplo, se$\sqrt{2}$ puede aproximar con precisión creciente por relaciones tales como$1.4 = \frac{14}{10}$$1.41 = \frac{141}{100}$,$1.414 = \frac{1414}{1000}$,, etc., pero no hay fracción de números enteros que sea exactamente igual a$\sqrt{2}$. (Para más detalles y una prueba, consulte el libro de Richardson que figura en las Referencias). Los pitagóricos descubrieron que eso$\sqrt{2}$ era irracional aproximadamente en el siglo V a.C. Fue un tremendo shock para ellos que no todos los triángulos pudieran medirse “exactamente”. Es posible que incluso hayan tratado de mantener en secreto este descubrimiento por temor al daño que le haría a su credibilidad filosófica.

La incapacidad de los pitagóricos para aceptar números irracionales tuvo consecuencias desafortunadas para el desarrollo de las matemáticas. Los matemáticos griegos posteriores evitaron dar valores numéricos a longitudes de segmentos de línea. Los problemas cuyas soluciones algebraicas podrían ser números irracionales, como los que involucran ecuaciones cuadráticas, se declararon y resolvieron geométricamente. El resultado fue que la geometría floreció a expensas del álgebra. Se dejó para que los hindúes y los árabes resucitaran el estudio del álgebra en la Edad Media. Y no fue sino hasta el siglo XIX que los números irracionales se colocaron en el tipo de marco lógico que los griegos habían dado a la geometría 2000 años antes.