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# 3: Composición de Funciones. Regla de la Cadena

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Si la imagen de una función $$\textbf{f}$$ está contenida en el dominio de una función $$\textbf{g}$$, puede aplicarse $$\textbf{g}$$ a los
valores $$\textbf{f}(\textbf x)$$ y obtener la composición $$\textbf{g}\circ \textbf{f}$$.

Por ejemplo, $$\textbf{f}: \mathbb R \to \mathbb R^2$$ dada por $$\textbf{f}(t)= (\cos (t),\sin (t))$$ puede componerse con la función $$g(x,y)=x^2+y^2$$ o con $$g(x,y)=\sin (xy^3)+x^2y$$, obteniendo, respectivamente, las funciones $$g\circ \textbf{f}: \mathbb R \to \mathbb R$$ dadas por $$(g\circ \textbf{f})(t)=g(\cos (t),\sin (t))=\cos ^2(t)+\sin ^2(t)\equiv 1$$ y $$(g\circ \textbf{f})(t)=g(\cos (t),\sin (t))=\sin (\cos (t)\sin ^3(t))+\cos ^2(t)\sin (t)$$. Para las funciones $$f(x_1, x_2, x_3)=a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3$$ y $$\textbf{h}(t)= (\cos (t),\sin (t))$$ podemos considerar la composición $$\textbf{h} \circ f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2$$ que se expresa por

$(\textbf{h} \circ f)(x_1, x_2, x_3)=\textbf{h}(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3)= (\cos(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3),\sin(a_1 x_1+ a_2 x_2 + a_3 x_3))$

pero no $$f \circ \textbf{h}$$, ya que la imagen de $$\textbf{h}$$ está contenida en $$\mathbb R^2$$ y el dominio de $$f$$ es $$\mathbb R^3$$. En general, consideramos composiciones de funciones $$\textbf{g} \circ \textbf{f}$$, donde $$\textbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$$ y $$\textbf{g}: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^m$$; analizamos las $$m$$ coordenadas de la composición y, para cada una de ellas, estudiamos las respectivas derivadas parciales con respecto a las $$n$$ variables. Por ello, en los ejemplos nos centraremos en el caso $$m=1$$.

Dadas dos funciones derivables $$f$$ y $$g$$ con dominio e imagen en $$\mathbb R$$ y su composición $$g\circ f$$, se calcula la derivada de la función $$g\circ f$$ a través de la denominada regla de la cadena. En concreto, $$(g\circ f)'(x)=g'(f(x)) f'(x)$$.

## Ejemplo $$\PageIndex{9}$$

La función $$f(x)=x^2$$ se compone con la función $$g(x)=e^x$$ y da lugar a $$(g\circ f)(x)=e^{x^2}$$, cuya derivada es $$(g\circ f)'(x)=e^{x^2} 2x$$. Análogamente, $$(f\circ g)(x)= (e^x)^2$$ (de hecho, $$(f\circ g)(x)= e^{2x}$$) y por la regla de la cadena $$(f\circ g)'(x)=2e^{x} e^x=2 e^{2x}$$.

Veamos cómo operar en el caso en que las funciones tengan dominio o imagen en $$\mathbb R^d$$, con d>1.

• $$f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$$ y $$g:\mathbb R \to \mathbb R$$. Utilizamos las variables $$s,t$$ para $$f$$ y la variable $$x$$ para $$g$$. Entonces $$y=g(x)=(g\circ f)(s,t):=F(s,t)$$ y $\dfrac{\partial}{\partial s}F= \dfrac{d}{d x}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f$ Análogamente, $\dfrac{\partial}{\partial t}F=\dfrac{d}{d x}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f$

## Ejemplo $$\PageIndex{10}$$

Si $$f(s,t)=s(1-t^3)$$ y $$g(x)= e^x$$, la función $$F(s,t)=(g \circ f)(s,t)= g(s(1-t^3))=e^{s(1-t^3)}$$ tiene como gradiente $$\nabla F(s,t)=(e^{s(1-t^3)}(1-t^3) , e^{s(1-t^3)}s(-3t^2))^T$$.

• $$\textbf{f}=(f_1,f_2)^T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$$ y $$g:\mathbb R^2 \to \mathbb R$$. Utilizamos las variables $$s,t$$ para $$f$$ y las variables $$x,y$$ para $$g$$. Entonces $$z=g(x,y)=(g \circ \textbf{f})(s,t):=F(s,t)$$ y $\dfrac{\partial}{\partial s}F= \dfrac{\partial}{\partial x}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f_1+\dfrac{\partial}{\partial y}g \, \dfrac{\partial}{\partial s}f_2$ Análogamente, $\dfrac{\partial}{\partial t}F=\dfrac{\partial}{\partial x}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f_1+ \dfrac{\partial}{\partial y}g \, \dfrac{\partial}{\partial t}f_2$

## Ejemplo $$\PageIndex{11}$$

Si $$(x,y)=\textbf{f}(s,t)=(s^2 t, s(4-3t))$$, $$g(x,y)=\cos(x-2y)$$ y $$F$$ es la función $$F(s,t):=(g \circ \textbf{f})(s,t)=g(s^2 t, s(4-3t))=\cos(s^2 t -2s(4-3t))$$ admite derivadas parciales. Calcula directamente la derivada parcial con respecto a cada una de las variables y hazlo usando la regla de la cadena multivariante para ver que coinciden.

• Si $$\textbf{f}=(f_1,...,f_k)^T: \mathbb R^n \to \mathbb R^k$$ y $$\textbf{g}:\mathbb R^k \to \mathbb R$$ admiten derivadas parciales, las de la función $$F=\textbf{g}\circ \textbf{f}$$ vienen dadas, para cada $$1\leq j \leq n$$, por $\dfrac{\partial}{\partial x_j}F= \sum_{i=1}^k \dfrac{\partial}{\partial x_i}g \, \dfrac{\partial}{\partial x_j}f_i$

## Ejemplo $$\PageIndex{12}$$

La composición de $$\textbf{f}(s,t)=(e^{s-t}, \cos(s^2t)$$ y $$g(x,y)=(x^2,x-y^3)$$ da lugar a la función $$F(s,t)=((e^{s-t})^2, e^{s-t}-(\cos(s^2t))$$. Utiliza de nuevo la doble vı́a para comprobar la fórmula de las derivadas parciales en este caso.

This page titled 3: Composición de Funciones. Regla de la Cadena is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by Joaquín López Herraiz.