11.3E: Ejercicios para la Sección 11.3

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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En los ejercicios 1 - 7, trazar el punto cuyas coordenadas polares se dan construyendo primero el ángulo$θ$ y luego marcando la distancia$r$ a lo largo del rayo.

1)$\left(3,\frac{π}{6}\right)$

Responder: $En el plano de coordenadas polares, se dibuja un rayo desde el origen marcando π/6 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo con radio 3.$

2)$\left(−2,\frac{5π}{3}\right)$

3)$\left(0,\frac{7π}{6}\right)$

Responder: $En el plano de coordenadas polares, se dibuja un rayo desde el origen marcando 7π/6 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo con radio 0, es decir, marca el origen.$

4)$\left(−4,\frac{3π}{4}\right)$

5)$\left(1,\frac{π}{4}\right)$

Responder: $En el plano de coordenadas polares, se dibuja un rayo desde el origen marcando π/4 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo con radio 1.$

6)$\left(2,\frac{5π}{6}\right)$

7)$\left(1,\frac{π}{2}\right)$

Responder: $En el plano de coordenadas polares, se dibuja un rayo desde el origen marcando π/2 y se dibuja un punto cuando esta línea cruza el círculo con radio 1.$

En los ejercicios 8 - 11, considere la gráfica polar a continuación. Da dos conjuntos de coordenadas polares para cada punto.

$El plano de coordenadas polares se divide en 12 tartas. El punto A se dibuja en el primer círculo en el primer radio por encima de la línea θ = 0 en el primer cuadrante. El punto B se dibuja en el cuarto cuadrante en el tercer círculo y el segundo radio por debajo de la línea θ = 0. El punto C se dibuja en la línea θ = π en el tercer círculo. El punto D se dibuja en el cuarto círculo en el primer radio debajo de la línea θ = π.$

8) Coordenadas del punto A.

9) Coordenadas del punto B.

Responder: $B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)$

10) Coordenadas del punto C.

11) Coordenadas del punto D.

Responder: $D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)$

En los ejercicios 12 - 17, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Encuentra dos conjuntos de coordenadas polares para el punto en$(0,2π]$. Redondear a tres decimales.

12)$(2,2)$

13)$(3,−4)$

Responder: $(5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)$

14)$(8,15)$

15)$(−6,8)$

Responder: $(10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)$

16)$(4,3)$

17)$(3,−\sqrt{3})$

Responder: $(2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)$

En los ejercicios 18 - 24, encuentra coordenadas rectangulares para el punto dado en coordenadas polares.

18)$\left(2,\frac{5π}{4}\right)$

19)$\left(−2,\frac{π}{6}\right)$

Responder: $(−\sqrt{3},−1)$

20)$\left(5,\frac{π}{3}\right)$

21)$\left(1,\frac{7π}{6}\right)$

Responder: $\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)$

22)$\left(−3,\frac{3π}{4}\right)$

23)$\left(0,\frac{π}{2}\right)$

Responder: $(0,0)$

24)$(−4.5,6.5)$

En los ejercicios 25 - 29, determinar si las gráficas de la ecuación polar son simétricas con respecto al$x$ eje -eje, al$y$ eje -o al origen.

25)$r=3\sin(2θ)$

Responder: Simetría con respecto al eje x, eje y y origen.

26)$r^2=9\cos θ$

27)$r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)$

Responder: Simétrico con respecto al eje x solamente.

28)$r=2\sec θ$

29)$r=1+\cos θ$

Responder: Simetría con respecto al eje x solamente.

En los ejercicios 30 - 33, describa la gráfica de cada ecuación polar. Confirme cada descripción convirtiéndola en una ecuación rectangular.

30)$r=3$

31)$θ=\frac{π}{4}$

Responder: Línea$y=x$

32)$r=\sec θ$

33)$r=\csc θ$

Responder: $y=1$

En los ejercicios 34 - 36, convertir la ecuación rectangular a forma polar y esbozar su gráfica.

34)$x^2+y^2=16$

35)$x^2−y^2=16$

Responder

Hipérbola; forma polar$r^2\cos(2θ)=16$ o$r^2=16\sec θ.$

$Una hipérbola con vértices en (−4, 0) y (4, 0), la primera señalando hacia los cuadrantes II y III y la segunda apuntando hacia los cuadrantes I y IV.$

36)$x=8$

En los ejercicios 37 - 38, convertir la ecuación rectangular a forma polar y esbozar su gráfica.

37)$3x−y=2$

Responder

$r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}$

$Una línea recta con pendiente 3 e intercepción y −2.$

38)$y^2=4x$

En los ejercicios 39 - 43, convertir la ecuación polar a forma rectangular y esbozar su gráfica.

39)$r=4\sin θ$

40)$x^2+y^2=4y$

Responder: $Un círculo de radio 2 con centro en (2, π/2).$

41)$r=6\cos θ$

42)$r=θ$

Responder

$x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y$

$Una espiral que comienza en el origen y cruza θ = π/2 entre 1 y 2, θ = π entre 3 y 4, θ = 3π/2 entre 4 y 5, θ = 0 entre 6 y 7, θ = π/2 entre 7 y 8, y θ = π entre 9 y 10.$

43)$r=\cot θ\csc θ$

En los ejercicios 44 - 54, esboza una gráfica de la ecuación polar e identifica cualquier simetría.

44)$r=1+\sin θ$

Responder

$y$-simetría del eje

$Un cardioide con la parte superior del corazón en el origen y el resto del cardioide orientado hacia arriba.$

45)$r=3−2\cos θ$

46)$r=2−2\sin θ$

Responder

$y$-simetría del eje

$Un cardioide con la parte superior del corazón en el origen y el resto del cardioide orientado hacia abajo.$

47)$r=5−4\sin θ$

48)$r=3\cos(2θ)$

Responder

$x$-y$y$ -eje simetría y simetría alrededor del polo

$Una rosa con cuatro pétalos que alcanzan su extensión más alejada del origen en θ = 0, π/2, π y 3π/2.$

49)$r=3\sin(2θ)$

50)$r=2\cos(3θ)$

Responder: $x$-simetría del eje
$Una rosa con tres pétalos que alcanzan su extensión más alejada del origen en θ = 0, 2π/3 y 4π/3.$

51)$r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)$

52)$r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)$

Responder

$x$-y$y$ -eje simetría y simetría alrededor del polo

$El símbolo del infinito con el punto de cruce en el origen y con la extensión más alejada de los dos pétalos estando en θ = 0 y π.$

53)$r^2=4\sin θ$

54)$r=2θ$

Responder: sin simetría
$Una espiral que comienza en el origen cruzando la línea θ = π/2 entre 3 y 4, θ = π entre 6 y 7, θ = 3π/2 entre 9 y 10, θ = 0 entre 12 y 13, θ = π/2 entre 15 y 16, y θ = π entre 18 y 19.$

55) [T] La gráfica de$r=2\cos(2θ)\sec(θ).$ se llama estrofoidea. Utilice una utilidad gráfica para esbozar la gráfica y, a partir de la gráfica, determinar la asíntota.

56) [T] Utilizar una utilidad gráfica y bosquejar la gráfica de$r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}$.

Responder: una línea
$Una línea que cruza el eje y aproximadamente en 3 y tiene pendiente aproximadamente 3/2.$

57) [T] Utilice una utilidad gráfica para graficar$r=\frac{1}{1−\cos θ}$.

58) [T] Utilice la tecnología para graficar$r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)$.

Responder: $Una forma geométrica que se asemeja a una mariposa con alas más grandes en el primer y segundo cuadrantes, alas más pequeñas en el tercer y cuarto cuadrantes, un cuerpo a lo largo de la línea θ = π/2 y patas a lo largo de las líneas θ = 0 y π.$

59) [T] Utilizar la tecnología para trazar$r=\sin(\frac{3θ}{7})$ (usar el intervalo$0≤θ≤14π$).

60) Sin usar tecnología, dibuje la curva polar$θ=\frac{2π}{3}$.

Responder: $Una línea con θ = 120°.$

61) [T] Utilice una utilidad gráfica$r=θ\sin θ$ para trazar$−π≤θ≤π$.

62) [T] Utilice la tecnología$r=e^{−0.1θ}$ para trazar$−10≤θ≤10.$

Responder: $Una espiral que inicia en el tercer cuadrante.$

63) [T] Existe una curva conocida como el “Agujero Negro”. Utilice la tecnología$r=e^{−0.01θ}$ para trazar$−100≤θ≤100$.

64) [T] Utilizar los resultados de los dos problemas anteriores para explorar las gráficas de$r=e^{−0.001θ}$ y$r=e^{−0.0001θ}$ para$|θ|>100$.

Responder: Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente.