11.5E: Ejercicios para la Sección 11.5

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 8, determinar la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

1) Enfoque$(4,0)$ y directrix$x=−4$

Contestar: $y^2=16x$

2) Enfoque$(0,−3)$ y directrix$y=3$

3) Enfoque$(0,0.5)$ y directrix$y=−0.5$

Contestar: $x^2=2y$

4) Enfoque$(2,3)$ y directrix$x=−2$

5) Enfoque$(0,2)$ y directrix$y=4$

Contestar: $x^2=−4(y−3)$

6) Enfoque$(−1,4)$ y directrix$x=5$

7) Enfoque$(−3,5)$ y directrix$y=1$

Contestar: $(x+3)^2=8(y−3)$

8) Enfoque$\left(\frac{5}{2},−4\right)$ y directrix$x=\frac{7}{2}$

En los ejercicios 9 - 16, determinar la ecuación de la elipse utilizando la información dada.

9) Puntos finales del eje principal en$(4,0),\;(−4,0)$ y focos ubicados en$(2,0),\;(−2,0)$

Contestar: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

10) Puntos finales del eje principal en$(0,5),\;(0,−5)$ y focos ubicados en$(0,3),\;(0,−3)$

11) Puntos finales del eje mayor en$(0,2),\;(0,−2)$ y focos ubicados en$(3,0),\;(−3,0)$

Contestar: $\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1$

12) Puntos finales del eje principal en$(−3,3),\;(7,3)$ y focos ubicados en$(−2,3),\;(6,3)$

13) Puntos finales del eje principal en$(−3,5),\;(−3,−3)$ y focos ubicados en$(−3,3),\;(−3,−1)$

Contestar: $\dfrac{(y−1)^2}{16}+\dfrac{(x+3)^2}{12}=1$

14) Puntos finales del eje mayor en$(0,0),\;(0,4)$ y focos ubicados en$(5,2),\;(−5,2)$

15) Focos ubicados en$(2,0),\;(−2,0)$ y excentricidad de$\frac{1}{2}$

Contestar: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

16) Focos ubicados en$(0,−3),\;(0,3)$ y excentricidad de$\frac{3}{4}$

En los ejercicios 17 - 24, determinar la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada.

17) Vértices ubicados en$(5,0),\;(−5,0)$ y focos ubicados en$(6,0),\;(−6,0)$

Contestar: $\frac{x^2}{25}−\frac{y^2}{11}=1$

18) Vértices ubicados en$(0,2),\;(0,−2)$ y focos ubicados en$(0,3),\;(0,−3)$

19) Puntos finales del eje conjugado ubicados en$(0,3),\;(0,−3)$ y focos localizados$(4,0),\;(−4,0)$

Contestar: $\dfrac{x^2}{7}−\dfrac{y^2}{9}=1$

20) Vértices ubicados en$(0,1),\;(6,1)$ y foco ubicado en$(8,1)$

21) Vértices ubicados en$(−2,0),\;(−2,−4)$ y foco ubicado en$(−2,−8)$

Contestar: $\dfrac{(y+2)^2}{4}−\dfrac{(x+2)^2}{32}=1$

22) Puntos finales del eje conjugado ubicados en$(3,2),\;(3,4)$ y foco localizado en$(3,7)$

23) Focos ubicados en$(6,−0),\;(6,0)$ y excentricidad de$3$

Contestar: $\dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{32}=1$

24)$(0,10),\;(0,−10)$ y excentricidad de 2.5

En los ejercicios 25 - 30, considere las siguientes ecuaciones polares de cónicas. Determinar la excentricidad e identificar la cónica.

25)$r=\dfrac{−1}{1+\cos θ}$

Contestar: $e=1,$parábola

26)$r=\dfrac{8}{2−\sin θ}$

27)$r=\dfrac{5}{2+\sin θ}$

Contestar: $e=\frac{1}{2},$elipse

28)$r=\dfrac{5}{−1+2\sin θ}$

29)$r=\dfrac{3}{2−6\sin θ}$

Contestar: $e=3$, hipérbola

30)$r=\dfrac{3}{−4+3\sin θ}$

En los ejercicios 31 - 34, encontrar una ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y directriz como se da.

31) Directrix:$x=4;\; e=\frac{1}{5}$

Contestar: $r=\dfrac{4}{5+\cos θ}$

32) Directrix:$x=−4;\; e=5$

33) Directrix:$y=2; \; e=2$

Contestar: $r=\dfrac{4}{1+2\sin θ}$

34) Directrix:$y=−2;\; e=\frac{1}{2}$

En los ejercicios 35 - 51, esboza la gráfica de cada cónica.

35)$r=\dfrac{1}{1+\sin θ}$

Contestar: $Gráfica de una parábola abierta hacia abajo con el centro en el origen.$

36)$r=\dfrac{1}{1−\cos θ}$

37)$r=\dfrac{4}{1+\cos θ}$

Contestar: $Gráfica de una parábola abierta a la izquierda con centro cerca del origen.$

38)$r=\dfrac{10}{5+4\sin θ}$

39)$r=\dfrac{15}{3−2\cos θ}$

Contestar: $Gráfica de una elipse con centro cerca (8, 0), eje mayor horizontal y aproximadamente 18, y eje menor ligeramente superior a 12.$

40)$r=\dfrac{32}{3+5\sin θ}$

41)$r(2+\sin θ)=4$

Contestar: $Gráfica de un círculo con centro cerca (0, −1.5) y radio cerca de 2.5.$

42)$r=\dfrac{3}{2+6\sin θ}$

43)$r=\dfrac{3}{−4+2\sin θ}$

Contestar: $Gráfica de un círculo con centro (0, −0.5) y radio 1.$

44)$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$

45)$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1$

Contestar: $Gráfica de una elipse con centro el origen y con eje mayor vertical y de longitud 8 y eje menor de longitud 4.$

46)$4x^2+9y^2=36$

47)$25x^2−4y^2=100$

Contestar: $Gráfica de una hipérbola con centro el origen y con las dos mitades abiertas a izquierda y derecha. Los vértices están en el eje x a ±2.$

48)$\dfrac{x^2}{16}−\dfrac{y^2}{9}=1$

49)$x^2=12y$

Contestar: $Gráfica de una parábola con vértice el origen y apertura.$

50)$y^2=20x$

51)$12x=5y^2$

Contestar: $Gráfica de una parábola con vértice el origen y abierta a la derecha.$

Para las ecuaciones en los ejercicios 52 - 57, determinar cuál de las secciones cónicas se describe.

52)$xy=4$

53)$x^2+4xy−2y^2−6=0$

Contestar: Hipérbola

54)$x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2−6=0$

55)$x^2−xy+y^2−2=0$

Contestar: Elipse

56)$34x^2−24xy+41y^2−25=0$

57)$52x^2−72xy+73y^2+40x+30y−75=0$

Contestar: Elipse

58) El espejo en un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola se da como$x^2=4y$. ¿En qué coordenadas debes colocar la bombilla?

59) Una antena parabólica tiene la forma de un paraboloide de revolución. El receptor se ubicará en el foco. Si el plato tiene 12 pies de ancho en su abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?

Contestar: En el punto 2.25 pies por encima del vértice.

60) Considerar la antena parabólica del problema anterior. Si el plato tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?

61) Un foco de reflexión tiene la forma de un paraboloide de revolución. Una fuente de luz se encuentra a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la apertura del foco es de 3 pies de ancho, encuentra la profundidad.

Contestar: $0.5625$pies

62) Las galerías Susurrantes son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona parada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona parada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan a la otra persona. Si una galería susurrante tiene una longitud de 120 pies y los focos están ubicados a 30 pies del centro, encuentre la altura del techo en el centro.

63) Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería susurrante. Si esa persona está en un foco y el otro enfoque está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

Contestar: La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26.53 pies.

En los ejercicios 64 - 67, determinar la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se da en unidades astronómicas (AU).

64) Cometa Halley: longitud del eje mayor =$35.88,$ excentricidad =$0.967$

65) Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor =$525.91,$ excentricidad =$0.995$

Contestar: $r=\dfrac{2.616}{1+0.995\cos θ}$

66) Marte: longitud del eje mayor =$3.049,$ excentricidad =$0.0934$

67) Júpiter: longitud del eje mayor =$10.408,$ excentricidad =$0.0484$

Contestar: $r=\dfrac{5.192}{1+0.0484\cos θ}$