11.6: Capítulo 11 Ejercicios de revisión
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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.
1) Las coordenadas rectangulares del punto\(\left(4,\frac{5π}{6}\right)\) son\(\left(2\sqrt{3},−2\right).\)
2) Las ecuaciones\(x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)\) representan una hipérbola.
- Contestar
- Cierto
3) La longitud del arco de la espiral dada por\(r=\dfrac{θ}{2}\) for\(0≤θ≤3π\) es\(\frac{9}{4}π^3\) unidades.
4) Dado\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\), si\(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}\), entonces\(f(t)=g(t)+C,\) donde\(C\) es una constante.
- Contestar
- Falso. Imagina\(y=t+1, \; x=−t+1.\)
En los ejercicios 5 -8, esboza la curva paramétrica y elimina el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva.
5)\(x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1\)
6)\(x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1\)
- Contestar
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\(y=1−x^3\)
7)\(x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π\)
8)\(x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π\)
- Contestar
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\(\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1\)
En los ejercicios 9 - 10, esboza la curva polar y determina qué tipo de simetría existe, si la hay.
9)\(r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)\)
10)\(r=5\cos(5θ)\)
- Contestar
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Simétrico alrededor del eje polar
En los ejercicios 11 - 12, encuentra la ecuación polar para la curva dada como una ecuación cartesiana.
11)\(x+y=5\)
12)\(y^2=4+x^2\)
- Contestar
- \(r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}\)
En los ejercicios 13 - 14, encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafica tanto la función como su línea tangente.
13)\(x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1\)
14)\(r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}\)
- Contestar
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\(y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\)
15) Encontrar\(\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},\) y\(\dfrac{d^2x}{dy^2}\) de\(y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t\)
En los ejercicios 16 -17, encuentra la zona de la región.
16)\(x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e\)
- Contestar
- \(\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2\)
17)\(r=1−\sin θ\) en el primer cuadrante
En los ejercicios 18 - 19, encuentra la longitud del arco de la curva sobre el intervalo dado.
18)\(x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3\)
- Contestar
- \(9\sqrt{10}\)unidades
19)\(r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.\) Comprueba tu respuesta por geometría.
En los ejercicios 20 - 22, encuentra la ecuación cartesiana que describe las formas dadas.
20) Una parábola con enfoque\((2,−5)\) y directrix\(x=6\)
- Contestar
- \((y+5)^2=−8x+32\)
21) Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en\((−7,2)\) y\((1,2)\)
22) Una hipérbola con vértices en\((3,−2)\)\((−5,−2)\) y y focos en\((−2,−6)\) y\((−2,4)\)
- Contestar
- \(\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1\)
En los ejercicios 23 - 25, determinar la excentricidad e identificar la cónica. Esboza la cónica.
23)\(r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}\)
24)\(r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}\)
- Contestar
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\(e=\frac{2}{3}\), elipse
25)\(r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}\)
26) Determinar la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la órbita más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es 39.26 UA y el eje menor es 38.07 AU. ¿Qué es la excentricidad?
- Contestar
- \(\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447\)
27) El cometa C/1980 E1 se observó en 1980. Dada una excentricidad\(1.057\) y un perihelio (punto de acercamiento más cercano al Sol) de\(3.364\) AU, encontramos las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Tenemos la garantía de volver a ver a este cometa? (Pista: Considera el Sol en el punto\((0,0)\).)