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LibreTexts Español

11.6: Capítulo 11 Ejercicios de revisión

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    116182
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    ¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

    1) Las coordenadas rectangulares del punto\(\left(4,\frac{5π}{6}\right)\) son\(\left(2\sqrt{3},−2\right).\)

    2) Las ecuaciones\(x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)\) representan una hipérbola.

    Contestar
    Cierto

    3) La longitud del arco de la espiral dada por\(r=\dfrac{θ}{2}\) for\(0≤θ≤3π\) es\(\frac{9}{4}π^3\) unidades.

    4) Dado\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\), si\(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}\), entonces\(f(t)=g(t)+C,\) donde\(C\) es una constante.

    Contestar
    Falso. Imagina\(y=t+1, \; x=−t+1.\)

    En los ejercicios 5 -8, esboza la curva paramétrica y elimina el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva.

    5)\(x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1\)

    6)\(x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1\)

    Contestar

    \(y=1−x^3\)

    Gráfica de una curva que comienza en (1, 0) y decreciente en el cuarto cuadrante.

    7)\(x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π\)

    8)\(x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π\)

    Contestar

    \(\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1\)

    Gráfica de una elipse con centro (0, 1), eje mayor horizontal y de longitud 8, y eje menor de longitud 2.

    En los ejercicios 9 - 10, esboza la curva polar y determina qué tipo de simetría existe, si la hay.

    9)\(r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)\)

    10)\(r=5\cos(5θ)\)

    Contestar

    Simétrico alrededor del eje polar

    Gráfica de una rosa de cinco pétalos con pétalo inicial en θ = 0.

    En los ejercicios 11 - 12, encuentra la ecuación polar para la curva dada como una ecuación cartesiana.

    11)\(x+y=5\)

    12)\(y^2=4+x^2\)

    Contestar
    \(r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}\)

    En los ejercicios 13 - 14, encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafica tanto la función como su línea tangente.

    13)\(x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1\)

    14)\(r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}\)

    Contestar

    \(y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\)

    Gráfico de una figura en forma de cacahuete, con intercepciones y a ±2 y x intercepciones a ±4. La línea tangente ocurre en el segundo cuadrante.

    15) Encontrar\(\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},\) y\(\dfrac{d^2x}{dy^2}\) de\(y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t\)

    En los ejercicios 16 -17, encuentra la zona de la región.

    16)\(x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e\)

    Contestar
    \(\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2\)

    17)\(r=1−\sin θ\) en el primer cuadrante

    En los ejercicios 18 - 19, encuentra la longitud del arco de la curva sobre el intervalo dado.

    18)\(x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3\)

    Contestar
    \(9\sqrt{10}\)unidades

    19)\(r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.\) Comprueba tu respuesta por geometría.

    En los ejercicios 20 - 22, encuentra la ecuación cartesiana que describe las formas dadas.

    20) Una parábola con enfoque\((2,−5)\) y directrix\(x=6\)

    Contestar
    \((y+5)^2=−8x+32\)

    21) Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en\((−7,2)\) y\((1,2)\)

    22) Una hipérbola con vértices en\((3,−2)\)\((−5,−2)\) y y focos en\((−2,−6)\) y\((−2,4)\)

    Contestar
    \(\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1\)

    En los ejercicios 23 - 25, determinar la excentricidad e identificar la cónica. Esboza la cónica.

    23)\(r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}\)

    24)\(r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}\)

    Contestar

    \(e=\frac{2}{3}\), elipse

    Gráfica de una elipse con centro cerca (1.5, 0), eje mayor casi 5 y horizontal, y eje menor casi 4.

    25)\(r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}\)

    26) Determinar la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la órbita más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es 39.26 UA y el eje menor es 38.07 AU. ¿Qué es la excentricidad?

    Contestar
    \(\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447\)

    27) El cometa C/1980 E1 se observó en 1980. Dada una excentricidad\(1.057\) y un perihelio (punto de acercamiento más cercano al Sol) de\(3.364\) AU, encontramos las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Tenemos la garantía de volver a ver a este cometa? (Pista: Considera el Sol en el punto\((0,0)\).)


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