Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.2: Funciones trigonométricas y sus inversos

  • Page ID
    110275
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Funciones trigonométricas y sus inversos

    Las gráficas de las seis funciones trigonométricas se muestran en la Figura [fig:trigfcns]:

    Recordemos que\(\sin\,x\)\(\cos\,x\),\(\csc\,x\), y\(\sec\,x\) tener un periodo de\(2\pi\) (es decir repetir los mismos valores cada\(2\pi\) radianes), mientras\(\tan\,x\) y\(\cot\,x\) tener un periodo de\(\pi\).

    Las derivadas de las seis funciones trigonométricas, dadas en la Sección 1.4, son:

    Las seis funciones trigonométricas no son una a una en todos sus dominios, sino que recuerdan de la trigonometría que son uno-a-uno cuando están restringidas a dominios más pequeños, y por lo tanto tienen funciones inversas, llamadas funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo,\(y = \sin\,x\) es uno a uno en el intervalo\(\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\), como se muestra en la Figura [fig:sinerestricted] a continuación:

    Del mismo modo, recuerde que\(\cos\,x\) es uno a uno sobre\(\ival{0}{\pi}\),\(\tan\,x\) es uno a uno sobre\((-\pi/2,\pi/2)\),\(\csc\,x\) es uno a uno sobre\((-\pi/2,0) \cup (0,\pi/2)\),\(\sec\,x\) es uno a uno sobre\((0,\pi/2) \cup (\pi/2,\pi)\), y\(\cot\,x\) es uno a uno sobre\((0,\pi)\). Por lo tanto, las funciones trigonométricas inversas\(\sin^{-1} x\)\(\cos^{-1} x\)\(\tan^{-1} x\),\(\csc^{-1} x\),,\(\sec^{-1} x\) y se\(\cot^{-1} x\) definen, 1 con los siguientes dominios e intervalos:

    función \(\sin^{-1} x\) \(\cos^{-1} x\) \(\tan^{-1} x\) \(\csc^{-1} x\) \(\sec^{-1} x\) \(\cot^{-1} x\)
    dominio \(\ival{-1}{1}\) \(\ival{-1}{1}\) \((-\infty,\infty)\) \(\abs{x} \ge 1\) \(\abs{x} \ge 1\) \((-\infty,\infty)\)
    gama \(\ival{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}}\) \(\ival{0}{\pi}\) \(\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)\) \(\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\) \(\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right)\) \((0,\pi)\)

    Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas se muestran en las Figuras [fig:invtrigfcns1] y [fig:invtrigfcns2] a continuación:

    Las derivadas de las seis funciones trigonométricas inversas son:

    Para la derivada de\(\cos^{-1} x\), recordar que\(y = \cos^{-1} x\) es un ángulo entre\(0\) y\(\pi\) radianes, definido para\(-1 \le x \le 1\). Dado que\(\cos y = x\) por la definición de\(y\), entonces\(\dxdy = -\sin y\) y

    \[\sin^2 y ~=~ 1 - \cos^2 y ~=~ 1 - x^2 \quad\Rightarrow\quad \sin y ~=~ \pm\,\sqrt{1 - x^2} ~=~ \sqrt{1 - x^2}\]ya que\(0 \le y \le \pi\) (lo que significa que\(\sin y\) debe ser no negativo). Así:

    \[\ddx\,(\cos^{-1} x) ~=~ \dydx ~=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{-\sin y} ~=~ -\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad\checkmark\]

    Para la derivada de\(\sec^{-1} x\), ya que\(y = \sec^{-1} x\) se define para\(\abs{x} \ge 1\), luego\(0 \le y < \pi/2\) para\(x \ge 1\) y\(\pi/2 < y \le \pi\) para\(x \le -1\). Recordemos también eso\(\sec y\) y ambos\(\tan y\) son positivos cuando\(0 < y < \pi/2\) y ambos son negativos cuando\(\pi/2 < y < \pi\). Entonces en ambos casos el producto\(\sec y \; \tan y\) es no negativo, i.e\(\sec y \; \tan y = \abs{\sec y \; \tan y}\). Así, desde\(\sec y = x\) y

    \[1 ~+~ \tan^2 y ~=~ \sec^2 y \quad\Rightarrow\quad \tan^2 y ~=~ \sec^2 y ~-~ 1 \quad\Rightarrow\quad \tan y ~=~ \pm\,\sqrt{\sec^2 y ~-~ 1} ~=~ \pm\,\sqrt{x^2 - 1}\]luego para\(\abs{x} > 1\):

    \[\ddx\,(\sec^{-1} x) ~=~ \dydx ~=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{\sec y \; \tan y} ~=~ \frac{1}{\abs{\sec y \; \tan y}} ~=~ \frac{1}{\Abs{x \sqrt{x^2 - 1}}} ~=~ \frac{1}{\abs{x}\sqrt{x^2 - 1}} \quad\checkmark\]

    Las pruebas de las fórmulas derivadas para las funciones trigonométricas inversas restantes son similares, y se dejan como ejercicios.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivtanpi2x

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la derivada de la función\(y = 3\,\tan\,(\pi - 2x)\).

    Solución: Por la Regla de Cadena con\(u = \pi - 2x\), la derivada de\(y = 3\,\tan\,(\pi - 2x) = 3\,\tan u\) es:

    \[\dydx ~=~ \dydu \;\cdot\; \dudx ~=~ \left(3\,\sec^2 u\right) \; (-2) ~=~ -6\,\sec^2\,(\pi - 2x)\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): derivasinx4

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la derivada de la función\(y = \sin^{-1}\,(x/4)\).

    Solución: Por la Regla de Cadena con\(u = x/4\), la derivada de\(y = \sin^{-1}\,(x/4) = \sin^{-1} u\) es:

    \[\dydx ~=~ \dydu \;\cdot\; \dudx ~=~ \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \;\cdot\; \frac{1}{4} ~=~ \frac{1}{4\,\sqrt{1 - (x^2/16)}} ~=~ \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}\]

    [sec2dot2]

    Para Ejercicios 1-16, encuentra la derivada de la función dada\(y = f(x)\).

    4

    \(y ~=~ \sec^2 3x\)

    \(y ~=~ \csc (x^2 + 1)\)

    \(y ~=~ \cot 3x\)

    \(y ~=~ \cos\,(\tan x)\)

    4

    \(y ~=~ \tan^{-1} (x/3)\)

    \(y ~=~ \sec^{-1} (x^2 + 1)\)

    \(y ~=~ \cot^{-1} 3x\)

    \(y ~=~ \cos^{-1}\,(\sin x)\)

    4

    \(y ~=~ \cot^{-1} (1/x)\)

    \(y ~=~ \tan^{-1} \sqrt{x}\)

    \(y ~=~ \left(\sin^{-1} 3x\right)^2\)

    \(y ~=~ \tan^{-1} \frac{1}{x} + \tan^{-1} x\)

    4

    \(y ~=~ \tan^{-1} \frac{x-1}{x+1}\)

    \(y ~=~ x\,\sin^{-1} (2x+1)\)

    \(y ~=~ x\,\cot^{-1} x\)

    \(y ~=~ \tan^{-1} \frac{1}{x} + \cot^{-1} x\)

    Encuentra la derivada de\(y = \sin^{-1} x ~+~ \cos^{-1} x \;\). Explique por qué no se necesitaron fórmulas derivadas.

    Para los Ejercicios 18-21 probar la fórmula derivada dada. [[1.] ]

    2

    \(\Ddx\,(\sin^{-1} x) ~=~ \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

    \(\Ddx\,(\tan^{-1} x) ~=~ \dfrac{1}{1 + x^2}\)

    2

    \(\Ddx\,(\cot^{-1} x) ~=~ -\,\dfrac{1}{1 + x^2}\)

    \(\Ddx\,(\csc^{-1} x) ~=~ -\,\dfrac{1}{\abs{x}\sqrt{x^2 - 1}}\)

    Los polinomios de Chebyshev\(T_n(x) = \cos\,(n\,\cos^{-1} x)\) se definen para todos\(\abs{x} \le 1\) y\(n = 0, 1, 2, \ldots\).

    1. Mostrar que los polinomios de Chebyshev\(T_{n}(x)\) satisfacen la ecuación diferencial

      \[(1 - x^2)\;T_{n}''(x) ~-~ x\;T_{n}'(x) ~+~ n^2\,T_{n}(x) ~=~ 0\]

    2. Encuentra expresiones polinómicas para\(T_0(x)\),\(T_1(x)\) y\(T_2(x)\).

    3. \(T_{n+1}(x) \;+\; T_{n-1}(x) \;=\; 2x\,T_{n}(x)\)Demuéstralo para todos\(n \ge 1\). (Pista: Escribe\(\theta = \cos^{-1} x\) para que\(\cos \theta = x\))


    This page titled 2.2: Funciones trigonométricas y sus inversos is shared under a GNU General Public License 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Corral.