7.3: Hipérbolas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En las dos secciones anteriores se han visto curvas con excentricidad$e=0$ (círculos),$0<e<1$ (elipses) y$e=1$ (parábolas). El caso restante es$e>1$: la hipérbola, cuya definición es similar a la segunda definición de la elipse.

Se mostrará en la Sección 7.4 que la curva$y=\frac{1}{x}$ es una hipérbola, la cual tiene dos ramas (ver Figura [fig:hyper1x]). En general, una hipérbola se asemeja a una parábola “más ancha” o menos “ahuecada”, y tiene dos ramas simétricas (y de ahí dos focos y dos pautas) así como dos asíntotas.

La relación de distancias a que se refiere la definición de la hipérbola también aparece en la segunda definición de la elipse (donde la relación es menor que 1) y en la definición de la parábola (donde la relación es igual a 1). En los tres casos esa relación es la excentricidad. Ver Figura [fig:ecccompare] (a) para las comparaciones.

Hay un análogo para la Figura [fig:ecccompare] (a) en términos de órbitas. Por ejemplo, un objeto que se aproxime al Sol debe alcanzar o superar la velocidad de escape para superar la atracción gravitacional del Sol y evitar regresar a la órbita. La figura [fig:ecccompare] (b) muestra las tres trayectorias posibles: hipérbola, parábola y elipse, en términos de la velocidad del objeto$v$ y la velocidad de escape$v_E$. Observe la aparente correlación entre la excentricidad de la trayectoria del objeto y su velocidad como una fracción de la velocidad de escape (i.e.$\frac{v}{v_E}$). La figura [fig:hyperbolavert] ilustra la definición de una hipérbola, consistente$D$ en puntos$P$ cuya distancia$PF$ desde el foco$F$ excede la distancia$PG$ a la directrix de manera que la relación$\frac{PF}{PG}$ es siempre la misma constante$e>1$ (la excentricidad).

Para derivar la ecuación de una hipérbola con excentricidad$e>1$, supongamos que el foco está en el$x$ eje -en$(ea,0)$$a>0$, con, y la línea$x=\frac{a}{e}$ es la directriz, como en la Figura [fig:hypereqn]. Escoja un punto$(x,y)$ cuyas distancias$d_1$ y$d_2$ desde el foco$(ea,0)$ y directriz$x=\frac{a}{e}$, respectivamente, satisfagan la condición para una hipérbola:$\frac{d_1}{d_2}=e>1$. Entonces

\[\begin{aligned} d_1^2 ~&=~ e^2 d_2^2\\ (x-ea)^2 ~+~ (y-0)^2 ~&=~ e^2\,\left(\left(x-\frac{a}{e}\right)^2 ~+~ (y-y)^2\right)\\ x^2 ~-~ \cancel{2eax} ~+~ e^2a^2 ~+~ y^2 ~&=~ e^2x^2 ~-~ \cancel{2eax} ~+~ a^2\

\ [4pt] (e^2 - 1)\, x^2 ~-~ y^2 ~&=~ (e^2 - 1)\, a^2\\%\ frac {x^2} {a^2} ~-~\ frac {y^2} {(e^2 - 1)\, a^2} ~&=~ 1\

\ [4pt]\ frac {x^2} {a^2} ~-~\ frac {y^2} {b^2} ~&=~ 1\ end {alineado}\] donde$b^2 = (e^2 - 1)\,a^2 > 0$. La hipérbola tiene así dos ramas ($x=\pm \frac{a}{b}\sqrt{y^2 + b^2}$), como en la Figura [fig:hiperpartes]. Vamos$c=ea$, para que$c>a$ y$b^2 = c^2-a^2$. Por simetría la hipérbola tiene dos focos$(\pm c,0)$ y dos pautas$x=\pm\frac{a^2}{c}$, y las líneas$y=\pm \frac{b}{a}x$ son asíntotas. Los vértices son los puntos de la hipérbola más cercanos a las pautas.

El centro es el punto a medio camino entre los focos. El eje transversal y el eje conjugado son las líneas perpendiculares a través de los focos y el centro, respectivamente. En la Figura [fig:hiperpartes] los vértices son$(\pm a,0)$, el$x$ eje -es el eje transversal, el centro es el origen$(0,0)$, y el eje conjugado es el$y$ eje -eje. Nótese que la existencia de dos focos y directrices—cuando la definición de la hipérbola mencionaba solo un foco y una directrix—es simplemente una consecuencia de la simetría sobre ambos ejes impuesta por la ecuación$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Una parábola, en comparación, es simétrica alrededor de un solo eje.

Para ver por qué las líneas$y=\pm \frac{b}{a}x$ son asíntotas, considera la mitad superior$y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$ de ambas ramas de la hipérbola. La diferencia entre la línea$y=\frac{b}{a}x$ y la rama superior derecha se acerca a cero a medida que se$x$ acerca al infinito:

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \,\left(\frac{b}{a}x ~-~ \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}\right) ~&=~ \frac{b}{a}\,\lim_{x \to \infty} \,\left(x ~-~ \sqrt{x^2 - a^2}\,\right) \,\cdot\, \frac{x ~+~ \sqrt{x^2 - a^2}}{x ~+~ \sqrt{x^2 - a^2}}\

\ [4pt] &=~\ frac {b} {a}\,\ lim_ {x\ a\ infty}\,\ frac {x^2 ~-~ (x^2 - a^2)} {x ~+~\ sqrt {x^2 - a^2}}\

\ [4pt] &=~\ lim_ {x\ a\ infty}\,\ frac {ab} {x ~+~\ sqrt {x^2 - a^2}} ~=~ 0\ end {alineada}\] Así la línea$y=\frac{b}{a}x$ es una asíntota (oblicua) para la mitad superior$y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$ de la rama derecha en el primer cuadrante del$xy$ plano. Entonces por simetría las líneas$y=\pm \frac{b}{a}x$ son asíntotas para ambas ramas, es decir, para toda la hipérbola.

Por el contrario, dada una hipérbola en la forma$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, vamos$c^2=a^2+b^2$ a obtener los focos$(\pm c,0)$ y las pautas$x=\pm\frac{a^2}{c}$, mientras que la excentricidad es$e = \frac{c}{a}$.

Para la hipérbola se$x^2 - y^2 = 1$ encuentran los vértices, focos, pautas, asíntotas y excentricidad.

Solución: Aquí$a=b=1$, para que$c^2=a^2+b^2=2$, i.e$c=\sqrt{2}$. Los vértices son así$(\pm 1,0)$, las asíntotas son$y=\pm x$, los focos son$(\pm\sqrt{2},0)$, las pautas son$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$, y la excentricidad es$e=\sqrt{2}$.

Cambiando los roles de$x$ y$y$ produce la hipérbola$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$, que se muestra en la Figura [fig:hyperyx]. El eje transversal es el$y$ eje -eje, el eje conjugado es el$x$ eje -eje, los vértices están en$(0,\pm a)$, y los focos están en$(0,\pm c)$, donde$c^2 = a^2 + b^2$. Las pautas son$y=\pm\frac{a^2}{c}$, las asíntotas son$y=\pm\frac{a}{b}x$, y la excentricidad es$e=\frac{c}{a}$.

Por ejemplo, la hipérbola$y^2 - x^2 = 1$ tiene$a=b=1$, así que eso$c=\sqrt{2}$. Los vértices son$(0,\pm 1)$, las asíntotas son$y=\pm x$, los focos son$(0,\pm\sqrt{2})$, las pautas son$y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$, y la excentricidad es$e=\sqrt{2}$. La hipérbola$y^2 - x^2 = 1$ es solo la hipérbola$x^2 - y^2 = 1$ girada$90\Degrees$. Hay otra forma de definir una hipérbola, en términos de dos focos:

Figura [fig:hyperaltdefn] ilustra la definición anterior con focos$F_1$ y$F_2$. La diferencia$d_1-d_2$ de las distancias$d_1$ y$d_2$ puede ser positiva o negativa dependiendo de en qué rama$(x,y)$ se encuentre el punto, razón por la cual$\abs{d_1-d_2}$ se utiliza el valor absoluto.

Se deja como ejercicio para mostrar que esta segunda definición arroja la misma ecuación de la hipérbola que a partir de la primera definición. La segunda definición se suele utilizar como definición primaria en muchos libros de texto, tal vez porque proporciona una forma sencilla de construir una hipérbola a mano. La figura [fig:drawhyper] muestra el procedimiento para focos$F_1$ y$F_2$: en el foco$F_1$ sujetar un extremo de una regla de longitud$L$, y en el otro extremo$A$ de la regla sujetar un extremo de una cuerda de longitud$L-d$ para algún número$0<d<F_1F_2$. Sujete el otro extremo de la cuerda al foco$F_2$ y sostenga la cuerda tensa con un lápiz contra la regla en un punto$P$, mientras gira la regla alrededor$F_1$. La figura dibujada será una rama de una hipérbola, ya que la diferencia siempre$PF_1 - PF_2$ será la constante positiva$d$:

\[PF_1 - PF_2 ~=~ (L - AP) ~-~ PF_2 ~=~ L ~-~ (AP + PF_2) ~=~ L ~-~ (L - d) ~=~ d\]Revertir los roles de$F_1$ y$F_2$ dibujar la otra rama de la hipérbola.

Por Ejercicio [exer:hyptan] en la Sección 3.4, la línea tangente a la hipérbola$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un punto$(x_0,y_0)$ es

\[\label{eqn:hypertan} \frac{x x_0}{a^2} ~-~ \frac{y y_0}{b^2} = 1 ~,\]para que su pendiente sea$\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$ cuando$y_0 \ne 0$. Tenga en cuenta que por la ecuación anterior, cuando$y_0=0$ (para que$x_0=\pm a$) las dos líneas tangentes sean las líneas verticales$x=\pm a$. Esa pendiente se utilizará para probar la propiedad de reflexión para la hipérbola: La luz que brilló desde un foco se reflejará en la hipérbola en la dirección opuesta al otro foco. La figura [fig:hyperreflect] muestra la trayectoria de la luz desde el foco a$F_2$ medida que se refleja en el punto a$P$ lo largo de la línea a través$P$ y el otro foco$F_1$.

Según el Principio de Fermat para superficies curvas, la propiedad de reflexión equivale a decir que la línea tangente$L$ a la hipérbola en el punto$P=(x_0,y_0)$ biseca el ángulo$\angle F_1PF_2$, es decir,$\theta_1=\theta_2$ como en la Figura [fig:hyperreflpt1]. La propiedad de reflexión se mantiene trivialmente cuando$y_0=0$ (la luz se refleja directamente hacia atrás a lo largo del$x$ eje), por lo que para mostrar que$\theta_1=\theta_2$ asumen$y_0 \ne 0$. Por simetría sólo$x_0 > 0$ hay que considerar. Para el caso$x_0 \ne c$, deja$A$ ser la$x$ -intercepción de la línea tangente$L$. Entonces por la Figura [fig:hyperreflpt1], ya que la suma de los ángulos en el triángulo$\triangle F_1PA$ es igual$180\Degrees$,

\[\alpha_1 + \theta_2 + (180\Degrees -\theta) = 180\Degrees \quad\Rightarrow\quad \theta_2 = \theta - \alpha_1 \quad\Rightarrow\quad \tan\,\theta_2 ~=~ \tan\,(\theta - \alpha_1) ~.\]Así, dado que$\tan\,\theta$ es la pendiente de la línea tangente$L$ (i.e.$\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$)$\tan\,\alpha_1 = \frac{y_0}{x_0 + c}$, y, luego por la fórmula de resta para la función tangente

\[\begin{aligned} \tan\,\theta_2 ~&=~ \frac{\tan\,\theta ~-~ \tan\,\alpha_1}{1 ~+~ \tan\,\theta\;\tan\,\alpha_1} ~=~ \frac{\frac{b^2x_0}{a^2y_0} ~-~ \frac{y_0}{x_0 ~+~ c}}{1 ~+~ \frac{b^2x_0}{a^2y_0}\;\cdot\;\frac{y_0}{x_0 ~+~ c}} ~=~ \frac{\frac{b^2 x_0^2 ~-~ a^2 y_0^2 ~+~ b^2 x_0 c}{\cancel{a^2 y_0\,(x_0 ~+~ c)}}}{\frac{(a^2 ~+~ b^2)\,x_0 y_0 ~+~ a^2 y_0 c}{\cancel{a^2 y_0\,(x_0 ~+~ c)}}}\

\ [6pt] &=~\ frac {a^2 b^2 + b^2 x_0 c} {c^2 x_0 y_0 + a^2 y_0 c}\ quad\ text {(desde $c^2 = a^2 + b^2$, y $\ tfrac {x_0^2} {a^2} -\ tfrac {y_0^2} {b^2} = 1 ~\ Derecha~ b^2 x_0^2 ~-~ a^2 y_0^2 = a^2 b^2$)}\

\ [6pt] &=~\ frac {b^2\,\ cancel {(a^2 ~+~ x_0 c)}} {cy_0\,\ cancel {(a^2 ~+~ x_0 c)}} ~=~\ frac {b^2} {cy_0}\ end {alineado}\] Del mismo modo, dado que la suma de los ángulos en el triángulo$\triangle F_2PA$ es igual$180\Degrees$,

\[\alpha_2 + \theta_1 + \theta = 180\Degrees \quad\Rightarrow\quad \theta_1 = 180\Degrees - (\theta + \alpha_2) \quad\Rightarrow\quad \tan\,\theta_1 ~=~ -\tan\,(\theta + \alpha_2) ~.\]Así pues, dado que$\tan\,\alpha_2 = -\tan\,(180\Degrees - \alpha_2) = -\frac{y_0}{x-c}$,

\[\begin{aligned} \tan\,\theta_1 ~&=~ -\frac{\tan\,\theta ~+~ \tan\,\alpha_2}{1 ~-~ \tan\,\theta\;\tan\,\alpha_2} ~=~ -\frac{\frac{b^2x_0}{a^2y_0} ~+~ \frac{-y_0}{x_0 ~-~ c}}{1 ~-~ \frac{b^2x_0}{a^2y_0}\;\cdot\;\frac{-y_0}{x_0 ~-~ c}} ~=~ -\frac{\frac{b^2 x_0^2 ~-~ a^2 y_0^2 ~-~ b^2 x_0 c}{\cancel{a^2 y_0\,(x_0 ~-~ c)}}}{\frac{(a^2 ~+~ b^2)\,x_0 y_0 ~-~ a^2 y_0 c}{\cancel{a^2 y_0\,(x_0 ~-~ c)}}}\

\ [6pt] &=~ -\ frac {a^2 b^2 - b^2 x_0 c} {c^2 x_0 y_0 - a^2 y_0 c} ~=~\ frac {b^2\,\ cancel {(a^2 ~-~ x_0 c)}} {cy_0\,\ cancel {(a^2 ~-~ x_0 c)}} ~=~\ frac {b^2} {cy_0} ~=~\ tan\,\ theta_2 ~,\ end {alineado}\] es decir$\theta_1 = \theta_2$ (since$0\Degrees < \theta_1,\,\theta_2 < 90\Degrees$). $\checkmark\quad$Nota: El caso$x_0=c$ se deja como ejercicio.

Elipses, parábolas e hipérbolas a veces se denominan secciones cónicas, debido a que están formadas por intersecciones de planos con un doble cono circular de extensión ilimitada:

Cada cono doble en la Figura [fig:cónicas] tiene dos nappes: un cono que se extiende hacia arriba y uno que se extiende hacia abajo. Cuando un plano cruza solo una nappe en una curva cerrada no circular, como en la Figura [fig:conics] (a), esa curva es una elipse. Un plano que es paralelo a una línea en una nappe, como en la Figura [fig:conics] (b), cruza solo esa nappe en una parábola. La intersección de un plano con ambas napas, como en la Figura [fig:cónicas] (c), es una hipérbola.

Para demostrar que la elipse, la parábola y la hipérbola realmente están representadas por las secciones cónicas indicadas, primero se necesita un resultado menor a partir de la geometría tridimensional: los segmentos de línea tangente a una esfera desde el mismo punto tienen longitudes iguales, como en la Figura [fig:esferetán]. Dado que los triángulos rectos$\triangle QOP_1$ y$\triangle QOP_2$ comparten la misma hipotenusa$\overline{QO}$ y tienen patas$\overline{OP_1}$ y$\overline{OP_2}$ de igual longitud (el radio de la esfera), el resultado$QP_1=QP_2$ sigue por el Teorema de Pitágoras. Para el caso de un cono doble circular derecho (es decir, la base de cada nappe es un círculo en un plano perpendicular al eje del cono ⁷), deja$\beta$ ser el complemento del ángulo que hace el cono con su eje, como en la Figura [fig:conicproof]. Así$\beta$ es el ángulo que hace el cono con cualquier base circular del cono. Este ángulo constante$\beta$, con$0\Degrees < \beta < 90\Degrees$, es una propiedad intrínseca del cono. Dejar$P_c$ ser un plano que intersecta la nappe inferior del cono en una curva$C$, tal que$P_c$ hace un ángulo$\alpha$ con cualquier círculo base del cono. Por simetría, solo se$0\Degrees < \alpha \le 90\Degrees$ necesitan considerar los ángulos. ⁸ Inscribe una esfera en el cono para que toque$P_c$ en un punto$F$, como en la Figura [fig:conicproof] ($P_c$es el plano tangente a la esfera en$F$). Dejar$P_0$ ser el plano a través del círculo donde la esfera inscrita toca el cono, y deja$D$ ser la línea de intersección de los planos$P_c$ y$P_0$. Se mostrará que$F$ y$D$ son el foco y directriz, respectivamente, de la curva$C$.

Dejar$P$ ser cualquier punto en la curva$C$, luego dejar$Q$ ser el punto en el plano$P_0$ que se encuentra en una línea a través$P$ y el vértice del cono. Suelte un segmento de línea$P$ perpendicular desde el punto$A$ en el plano$P_0$. Desde$A$ dibujar un segmento de línea perpendicular hasta el punto$G$ de la línea$D$. Entonces como muestra la Figura [fig:conicproof],$\triangle QAP$ y$\triangle PAG$ son triángulos rectos, con

\[\sin\,\alpha ~=~ \frac{PA}{PG} \quad\text{and}\quad \sin\,\beta ~=~ \frac{PA}{PQ} ~.\]Sin embargo, dado que$\overline{PF}$ y$\overline{PQ}$ son ambos segmentos de línea tangente a la esfera inscrita desde un mismo punto$P$, el resultado probado anteriormente lo demuestra$PQ = PF$. Por lo tanto,

\[PG\,\sin\,\alpha ~=~ PA ~=~ PQ\,\sin\,\beta ~=~ PF\,\sin\,\beta \quad\Rightarrow\quad \frac{PF}{PG} ~=~ \frac{\sin\,\alpha}{\sin\,\beta} ~.\]Vamos$e = \frac{PF}{PG}$. Entonces$e$ es la misma constante$\frac{\sin\,\alpha}{\sin\,\beta}$ para cualquier punto$P$ de la curva$C$. Así, por definición,$e$ es la excentricidad de la curva$C$ con foco$F$ y directriz$D$. Si$0\Degrees < \alpha < \beta$ entonces eso$0 < \frac{\sin\,\alpha}{\sin\,\beta} < 1$,$0\Degrees < \sin\,\alpha < \sin\,\beta$ lo que significa eso$0 < e < 1$, y por lo tanto$C$ es una elipse (por la segunda definición de elipse). De igual manera, si$\alpha = \beta$ entonces$e=1$, entonces eso$C$ es una parábola. Por último, si$\beta < \alpha \le 90\Degrees$ entonces$e > 1$, entonces esa$C$ es una hipérbola (y se cruzará ambas nappes del cono). Así, la elipse, la parábola y la hipérbola son realmente secciones cónicas. $\checkmark$[sec7dot3]

Construir una hipérbola usando el procedimiento mostrado en la Figura [fig:drawhyper]. Coloque los dos pines de enfoque de 7 pulgadas de distancia y use una pieza de cuerda de 9 pulgadas unida a una regla de 12 pulgadas.

Para los Ejercicios 2-6, esbozar la gráfica de la hipérbola dada, indicar las ubicaciones exactas de los focos y vértices, indicar cada directriz y asíntota, y encontrar la excentricidad$e$. [[1.] ]

$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

$\dfrac{x^2}{8} - \dfrac{y^2}{15} = 1$

$\dfrac{4x^2}{25} - \dfrac{y^2}{4} = 1$

$x^2 - 4y^2 = 1\vphantom{\dfrac{x^2}{16}}$

$25y^2 - 9x^2 = 225\vphantom{\dfrac{x^2}{16}}$

Encuentra la ecuación de la hipérbola con focos$(\pm 5,0)$ y vértices$(\pm 3,0)$. [[1.] ]

En la segunda definición de la hipérbola en p.219, deja$2a$ ser el valor absoluto constante de la diferencia de distancias desde puntos sobre la hipérbola hasta los focos, para algunos$a>0$. Que los focos estén en$(\pm c,0)$ para algunos$c>0$. Mostrar que esta segunda definición produce una hipérbola que tiene una ecuación de la forma$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$, con$b > 0$.

Demostrar la propiedad de reflexión para la hipérbola (ver pp.220-221) cuando$x_0=c$ para el punto$P=(x_0,y_0)$ sobre la hipérbola con focos en$(\pm c,0)$.

Mostrar que una línea recta paralela a una asíntota de una hipérbola cruza la hipérbola exactamente en un punto.

Un recto latus (plural: latus recta) de una hipérbola es una cuerda a través de cualquier foco perpendicular al eje transversal. Demostrar que el latus recto de la hipérbola$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ tiene longitud$\frac{2b^2}{a}$.

Mostrar que el segmento de una asíntota de una hipérbola entre las dos pautas tiene la misma longitud que el segmento de línea entre los vértices.

Mostrar que el segmento de una línea tangente a una hipérbola entre las asíntotas de la hipérbola tiene su punto medio en el punto de tangencia.

Los radios focales de una hipérbola son los segmentos lineales desde los focos hasta los puntos de la hipérbola. Mostrar que las longitudes de los radios focales a los puntos$(x,y)$ de la hipérbola$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ son$a+ex$ y$ex-a$, dónde$e$ está la excentricidad.

Mostrar que una línea tangente a una hipérbola junto con las asíntotas de la hipérbola delimitan un triángulo de área constante (es decir, el área es independiente del punto de tangencia en la hipérbola).

Demostrar que el producto de las distancias perpendiculares desde cualquier punto de la hipérbola$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ hasta las asíntotas$y = \pm\frac{b}{a}x$ es una constante.

Una persona en un punto$P=(x,y)$ escucha la grieta de un fusil ubicado en el punto$F_1=(-1000,0)$ y el sonido de la bala disparada golpeando su objetivo ubicado en el punto$F_2=(1000,0)$ al mismo tiempo. La velocidad de la bala es de 2000 pies/seg y la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. Encuentra una ecuación que relacione$x$ y$y$.

Mostrar que el conjunto de todos los puntos medios de una familia de acordes paralelos ya sea en una rama o entre las dos ramas de una hipérbola se encuentran en una línea que atraviesa el centro de la hipérbola.

Demostrar una segunda propiedad de reflexión de las hipérbolas: una luz que brilló entre las dos ramas y dirigida hacia un foco se reflejará hacia el otro foco.