7.4: Traducciones y Rotaciones

Por conveniencia las elipses, parábolas e hipérbolas en las secciones anteriores se centraron en el origen y tuvieron sus focos en uno de los ejes de coordenadas. En general, el centro y focos de esas curvas se pueden mover a cualquier parte mediante transformaciones de coordenadas.

Probablemente hayas visto en cursos anteriores cómo la gráfica de una función se\(y=f(x)\) puede desplazar horizontalmente por una cantidad\(h\) y verticalmente por una cantidad\(k\) reemplazando\(x\) y\(y\) por\(x-h\) y\(y-k\), respectivamente:

\[y - k ~=~ f(x-h)\]Esta transformación de coordenadas se llama traslación, y se puede aplicar a cualquier curva en el\(xy\) plano. El origen\(O=(0,0)\) se desplaza al punto\(O'=(h,k)\), que sirve como origen del\(x'y'\) -plano, ⁹ como en la Figura [fig:translación]. Dejar\(P=(x,y)\) ser un punto en el\(xy\) -plano. Considerar\(P\) como un punto\(P'=(x',y')\) en el\(x'y'\) -plano, de manera que en relación con el origen\(O'\), las\(y'\) coordenadas\(x'\) y de\(P'\) son:

\[\begin{aligned} x' ~&=~ x - h\\ y' ~&=~ y - k\end{aligned}\]Usando estas ecuaciones de traducción (es decir, las sustituciones\(x \mapsto x-h\) y\(y \mapsto y-k\)), las gráficas de las secciones cónicas se pueden traducir a cualquier centro\((h,k)\):

Encuentra los vértice y focos de la elipse\(\frac{(x-2)^2}{4} + (y-1)^2 = 1\).

Solución: Las coordenadas de traducción son\((h,k)=(2,1)\). También,\(a=2\) y\(b=1\). Así, los vértice son\((h \pm a,k) = (2 \pm 2,1) = (0,1)\) y\((4,1)\). Desde\(c^2=a^2-b^2 = 3\) entonces\(c=\sqrt{3}\), así son los focos\((h \pm c,k) = (2 \pm \sqrt{3},1)\), como se muestra en la Figura [fig:etrans1].

Obsérvese que la elipse\(\frac{(x-2)^2}{4} + (y-1)^2 = 1\) en el\(xy\) plano -es la elipse\(\frac{x'^2}{4} + y'^2 = 1\) en el\(x'y'\) plano -plano, para las ecuaciones de traslación\(x'=x-2\) y\(y'=y-1\) (es decir, el\(x'\) -eje es la línea\(y=1\) y el\(y'\) -eje es la línea\(x=2\)).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): ptrans1

Agrega texto aquí.

Solución

Para\(a \ne 0\) y constantes\(b\) y\(c\), encontrar el vértice, foco y directriz de la parábola\(y=ax^2+bx+c\).

Solución: La idea aquí es escribir\(y=ax^2+bx+c\) en la forma\((x-h)^2 = 4p(y-k)\) para algunos\(h\)\(k\), y\(p\), completando el cuadrado:

\[\begin{aligned} ax^2 ~+~ bx ~+~ c ~&=~ y\\ a\left(x^2 ~+~ \frac{b}{a}x\right) ~&=~ y ~-~ c\

\ [4pt] a\ izquierda (x^2 ~+~\ frac {b} {a} x ~+~\ frac {b^2} {4a^2}\ derecha) ~&=~ y ~-~ c ~+~ a\ frac {b^2} {4a^2}\

\ [4pt]\ left (x ~+~\ frac {b} {2a}\ right) ^2 ~&=~\ frac {1} {a}\,\ left (y ~+~\ frac {b^2 - 4ac} {4a}\ derecha)\ end {alineado}\] Entonces\(h=-\frac{b}{2a}\),\(k=\frac{4ac - b^2}{4a}\), y\(4p=\frac{1}{a}\) significa\(p=\frac{1}{4a}\). Así, el vértice es\((h,k)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a}\right)\), el foco es\((h,k+p)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2 + 1}{4a}\right)\), y la directriz es la línea\(y=k-p=\frac{4ac - b^2 - 1}{4a}\).

La rotación es otra transformación de coordenadas común. Consideremos el caso de rotar el\(xy\) -plano alrededor del origen por un ángulo\(\theta\), como en la Figura [fig:rotation]. El origen del\(x'y'\) plano resultante no cambia desde el origen\(O=(0,0)\) del\(xy\) plano. Para encontrar las ecuaciones de rotación para\(x'\) y\(y'\), dejar\(P=(x,y)\) ser un punto en el\(xy\) plano -alejado del origen. Desde la trigonometría se sabe que para\(r=\sqrt{x^2+y^2} \ne 0\) y el ángulo\(0\Degrees \le \alpha < 360\Degrees\) medido desde el\(x\) eje positivo hasta\(OP\),

\[x ~=~ r\,\cos\,\alpha \quad\text{and}\quad y ~=~ r\,\sin\,\alpha ~.\qquad\qquad\]Considerando\(P\) como un punto\(P'=(x',y')\) en el\(x'y'\) plano,\(OP'\) hace un ángulo\(\alpha - \theta\) con el\(x'\) eje positivo, de manera que por las identidades de resta seno y coseno,

\[\begin{aligned} x' ~&=~ r\,\cos\,(\alpha - \theta) ~=~ r\,\cos\,\alpha\;\cos\,\theta ~+~ r\,\sin\,\alpha\;\sin\,\theta ~=~ x\,\cos\,\theta ~+~ y\,\sin\,\theta\label{eqn:xrotate}\\ \intertext{and} y' ~&=~ r\,\sin\,(\alpha - \theta) ~=~ r\,\sin\,\alpha\;\cos\,\theta ~-~ r\,\cos\,\alpha\;\sin\,\theta ~=~ y\,\cos\,\theta ~-~ x\,\sin\,\theta\label{eqn:yrotate} ~.\end{aligned}\]Similar a las sustituciones de traslación, las ecuaciones de rotación anteriores permiten girar cualquier curva en el\(xy\) plano:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): erotate1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la ecuación de la elipse\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) cuando se gira en\(45\Degrees\) sentido antihorario sobre el origen. Simplifica la ecuación.

Solución: Para\(\theta = 45\Degrees\) las sustituciones son:

\[\begin{aligned} x &\mapsto x\,\cos\,\theta ~+~ y\,\sin\,\theta ~=~ x\,\cos\,45\Degrees ~+~ y\,\sin\,45\Degrees ~=~ \frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ y &\mapsto -x\,\sin\,\theta ~+~ y\,\cos\,\theta ~=~ -x\,\sin\,45\Degrees ~+~ y\,\cos\,45\Degrees ~=~ \frac{-x+y}{\sqrt{2}}\end{aligned}\]La ecuación de la elipse rotada (mostrada en la Figura [fig:erotate1]) es entonces:

\[\begin{aligned} \frac{1}{4}\,\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 ~+~ \left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 ~&=~ 1\

\ [4pt] x^2 ~+~ 2xy ~+~ y^2 ~+~ 4 (x^2 ~-~ 2xy ~+~ y^2) ~&=~ 8\\ 5x^2 ~-~ 6xy ~+~ 5y^2 ~-~ 8 ~&=~ 0\ end {alineado}\]

En el ejemplo anterior anote la presencia del\(6xy\) término en la ecuación de la elipse rotada. En general si una sección cónica tiene una ecuación de segundo grado de la forma

\[Ax^2 ~+~ Bxy ~+~ Cy^2 ~+~ Dx ~+~ Ey ~+~ F ~=~ 0\label{eqn:degreetwo}\]luego\(B \ne 0\) indica rotación, y cualquiera\(D \ne 0\) o\(E \ne 0\) indica traslación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): hrotate1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el valor de\(a\) tal que girar la hipérbola\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) en\(45\Degrees\) sentido antihorario sobre el origen da como resultado la curva\(xy=1\).

Solución: Desde\(\theta = 45\Degrees\) entonces como en Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): erotate1

Agrega texto aquí.

Solución

las sustituciones son de nuevo:

\[x \mapsto \frac{x+y}{\sqrt{2}} \quad\text{and}\quad y \mapsto \frac{-x+y}{\sqrt{2}}\]La ecuación de la hipérbola rotada es entonces:

\[\begin{aligned} \frac{1}{a^2}\,\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 ~-~ \frac{1}{a^2}\,\left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 ~&=~ 1\

\ [4pt]\ frac {x^2 + 2xy + y^2 ~-~ (x^2 - 2xy + y^2)} {2a^2} ~&=~ 1\

\ [2pt]\ frac {2xy} {a^2} ~&=~ 1\ end {alineado}\] Así, cuando\(a=\sqrt{2}\) la hipérbola girada tiene la ecuación\(xy=1\), lo que muestra que la curva\(y=\frac{1}{x}\) es una hipérbola. En general cualquier curva de la forma\(Bxy=1\) es una hipérbola para\(B \ne 0\).

El siguiente resultado puede ser utilizado para determinar el tipo de sección cónica descrita por una ecuación de segundo grado: ¹⁰

Recordemos que las ecuaciones de rotación ([eqn:xrotate]) y ([eqn:yrotate]) para\(x'\) y\(y'\) en términos de\(x\) y\(y\) proporcionaron sustituciones que permitieron encontrar la ecuación de segundo grado de la sección cónica rotada. Por el contrario, para transformar una ecuación de segundo grado en\(x\) y\(y\) en una ecuación de sección cónica “estándar” en términos de\(x'\) y\(y'\) (para simplificar el boceto de la gráfica), las ecuaciones de rotación “inversa” para\(x\) y\(y\) en términos de\(x'\) y\(y'\) son necesario:

\[\begin{aligned} x ~&=~ x'\,\cos\,\theta ~-~ y\,\sin\,\theta\label{eqn:xprotate}\\ y ~&=~ x'\,\sin\,\theta ~+~ y'\,\cos\,\theta\label{eqn:yprotate}\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): erotate2

Agrega texto aquí.

Solución

Determinar el tipo de curva cuya ecuación es\(5x^2+4xy+8y^2-36=0\), y esbozar su gráfica.

Solución: Desde\(A=5\),\(B=4\), y\(C=8\), entonces\(B^2-4AC = -144 < 0\), entonces la curva es una elipse si es una sección cónica. Desde\(B \ne 0\) y\(A \ne C\), el ángulo de rotación\(\theta\) estaría dado por\(\tan\,2\theta = \frac{B}{A-C} = \frac{4}{-3}\), con\(0\Degrees < \theta < 90\Degrees\). Entonces\(2\theta\) está en el segundo cuadrante, así que eso\(\sin\,2\theta = \frac{4}{5}\) y\(\cos\,2\theta = \frac{-3}{5}\). Usa una identidad de medio ángulo para encontrar\(\theta\):

\[\tan\,\theta ~=~ \frac{\sin\,2\theta}{1 + \cos\,2\theta} ~=~ \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{-3}{5}} ~=~ 2\]De ahí,\(\sin\,\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}\) y\(\cos\,\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}\). Ahora usa las ecuaciones ([eqn:xprotate]) y ([eqn:yprotate]) para obtener expresiones para\(x\) y\(y\) en términos de\(x'\) y\(y'\):

\[\begin{aligned} x ~&=~ x'\,\cos\,\theta ~-~ y\,\sin\,\theta ~=~ \frac{x' - 2y'}{\sqrt{5}}\

\ [3pt] y ~&=~ x'\,\ sin\,\ theta ~+~ y'\,\ cos\,\ theta ~=~\ frac {2x' + y'} {\ sqrt {5}}\ end {alineado}\] Sustituye esas expresiones por\(5x^2+4xy+8y^2-36=0\):

\[\begin{aligned} 5\,\left(\frac{x' - 2y'}{\sqrt{5}}\right)^2 \;+\; 4\,\left(\frac{x' - 2y'}{\sqrt{5}}\right)\,\left(\frac{2x' + y'}{\sqrt{5}}\right) \;+\; 8\,\left(\frac{2x' + y'}{\sqrt{5}}\right)^2 \;-\; 36 ~&=~ 0\\ % \frac{5}{5}\,(x'^2 - 4x'y' + 4y'^2) ~+~ \frac{4}{5}\,(2x'^2 - 3x'y' - 2y'^2) ~+~ % \frac{8}{5}\,(4x'^2 + 4x'y' + y'^2) ~&=~ 36\\ 45x'^2 ~+~ 20y'^2 ~&=~ 180\\ \frac{x'^2}{4} ~+~ \frac{y'^2}{9} ~&=~ 1\end{aligned}\]Entonces la ecuación de la curva en el\(x'y'\) plano es\(\frac{x'^2}{4}+\frac{y'^2}{9}=1\). En otras palabras, la curva es solo la elipse\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) girada por\(\theta = \tan^{-1}2 \approx 63.4\Degrees\), como se muestra en la figura de la derecha.

[sec7dot4]

Para los Ejercicios 1-3, esboce la gráfica de la elipse dada con las ubicaciones exactas de los focos y vértices.

3

\(\dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{16}=1\)

\(\dfrac{(x+1)^2}{9}+\dfrac{(y+3)^2}{4}=1\)

\(4x^2 + y^2 + 24x - 2y + 21 = 0\vphantom{\dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{16}=1}\)

Para los Ejercicios 4-7, esboce la gráfica de la parábola dada con las ubicaciones exactas del foco, vértice y directriz. [[1.] ]

4

\(4(x-1)^2 = 3(y+2)\)

\(y=4x^2 + 24x + 21\)

\(3(y+2)^2 = 5(x-2)\)

\(4x^2 - 4x + 4y - 5 = 0\)

Para los Ejercicios 8-10, esboce la gráfica de la hipérbola dada con las ubicaciones exactas de los focos, vértices, directriz y asíntotas. [[1.] ]

3

\(\dfrac{(x-3)^2}{25}-\dfrac{(y-2)^2}{16}=1\)

\(\dfrac{(x+1)^2}{9}-\dfrac{(y+3)^2}{4}=1\)

\(4x^2 - y^2 + 24x - 2y + 21 = 0\vphantom{\dfrac{(x-3)^2}{25}-\dfrac{(y-2)^2}{16}=1}\)

Encuentra los focos, vértices, orientación y asíntotas para la hipérbola\(y=\frac{1}{x}\) en Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): hrotate1

Agrega texto aquí.

Solución

.

Encuentra la ecuación de la parábola\(4y=x^2\) cuando gira en\(60\Degrees\) sentido antihorario sobre el origen.

Probar ecuaciones ([eqn:xprotate]) y ([eqn:yprotate]). (Pista: Usa ecuaciones ([eqn:xrotate]) y ([eqn:yrotate]).) [[1.] ]

Determinar el tipo de curva cuya ecuación es\(8x^2-12xy+17y^2-20=0\), y esbozar su gráfica.

Determinar el tipo de curva cuya ecuación es\(7x^2+6xy-y^2-32=0\), y esbozar su gráfica.

[exer:transinvar] Dejar\(A'x'^2+B'x'y'+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0\) ser la ecuación obtenida sustituyendo las ecuaciones de traducción “inversa”\(x=x'+h\) y\(y=y'+k\) en ecuación ([eqn:degreetwo]). Mostrar eso\(A=A'\),\(B=B'\) y\(C=C'\) (es decir\(A\),\(B\) y\(C\) son invariantes bajo traducción).

Similar a Ejercicio [exer:transinvar], sustituir las ecuaciones de rotación “inversa” ([eqn:xprotate]) y ([eqn:yprotate]) en la ecuación ([eqn:degreetwo]) para mostrar eso\(A+C\) y\(B^2-4AC\) son invariantes bajo rotación.

Dibuje la gráfica de la sección cónica cuya ecuación es\(x^2-2xy+y^2+4x-4y+10=0=0\). (Pista: Manejar la rotación primero (como en Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): erotate2

Agrega texto aquí.

Solución

), luego la traducción (completando la plaza).)