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7.7: Coordenadas polares

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    110273
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Supongamos que quisieras escribir la ecuación de una espiral, como la de la Figura [fig:spiral]. La curva claramente no es la gráfica de una función\(y=f(x)\) en coordenadas cartesianas, ya que viola la prueba de línea vertical. Sin embargo, esta espiral es simple de expresar usando coordenadas polares. 16 Recordemos que cualquier punto\(P\) distinto del origen (denotado por\(O\)) en el\(xy\) plano -es una\(r>0\) distancia del origen, y el rayo\(\overrightarrow{OP}\) forma un ángulo\(\theta\) con el\(x\) eje positivo, como en la Figura [fig:polar]. Imagina\(\overrightarrow{OP}\) columpios alrededor del “polo” en el origen.

    El par\((r,\theta)\) contiene las coordenadas polares de\(P\), y el\(x\) eje positivo se denomina eje polar de este sistema de coordenadas. Para el ángulo\(\theta\) medido en radianes,\((r,\theta) = (r,\theta + 2\pi k)\) para todos los enteros\(k\). Así, las coordenadas polares de un punto no son únicas. Por convención\(r\) puede ser negativo, definiendo\((-r,\theta) = (r,\theta + \pi)\) para cualquier ángulo\(\theta\): el rayo\(\overrightarrow{OP}\) se dibuja en dirección opuesta al ángulo\(\theta\), como en la Figura [fig:negpolar]. Cuando\(r=0\), el punto\((r,\theta) = (0,\theta)\) es el origen\(O\), independientemente del valor de\(\theta\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): spiral

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Expresar la espiral en la Figura [fig:espiral] en coordenadas polares, de tal manera que la distancia entre dos puntos cualesquiera separados por\(2\pi\) radianes sea siempre\(1\).

    Solución: El objetivo es encontrar alguna ecuación que involucre\(r\) y\(\theta\) (medida en radianes) que describa la espiral. La distancia entre dos puntos cualesquiera separados por\(2\pi\) radianes es siempre\(1\), por ejemplo:

    \[\begin{aligned} \theta ~=~ 0 \quad&\Rightarrow\quad r ~=~ 1\\ \theta ~=~ 2\pi \quad&\Rightarrow\quad r ~=~ 2\\ \theta ~=~ 4\pi \quad&\Rightarrow\quad r ~=~ 3\\ &\ldots\\ \theta ~=~ 2\pi\,k \quad&\Rightarrow\quad r ~=~ 1+k\end{aligned}\]para todos los enteros\(k \ge 0\). De hecho\(r=1+k\) cuando\(\theta = 2\pi k\) para todos reales\(k \ge 0\), por la suposición sobre la distancia. Entonces resolviendo para\(k\) en términos de\(\theta\) rendimientos la ecuación polar\(r = 1 + \frac{\theta}{2\pi}\) para todos\(\theta \ge 0\).

    Es posible que esté familiarizado con el papel gráfico, para trazar puntos o funciones dadas en coordenadas cartesianas. Dicho papel consiste en una cuadrícula rectangular, donde las líneas horizontales y verticales representan dónde\(x\) y\(y\), respectivamente, son constantes, a intervalos regulares. El papel gráfico similar existe para las coordenadas polares, como en la Figura [fig:polargraphpaper].

    Esta rejilla polar es radial, no rectangular. Los círculos concéntricos alrededor del origen\(O\) son donde\(r\) es constante (e.g.\(r=1\),\(r=2\)), mientras que las líneas a través del origen son donde\(\theta\) es constante, a intervalos regulares para cada uno. El ángulo que\(\theta\) se muestra aquí es en grados, aunque los radianes son a menudo preferidos por su naturaleza “sin unidades”. En general, las coordenadas polares son útiles para describir curvas planas que exhiben simetría sobre el origen (aunque existen otras situaciones), que surgen en muchas aplicaciones físicas.

    La figura [fig:polarconvert] muestra cómo convertir entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas. A saber, para un punto con coordenadas polares\((r,\theta)\) y coordenadas cartesianas\((x,y)\):

    \[\label{eqn:polartorect} x ~=~ r\,\cos\,\theta \qquad y ~=~ r\,\sin\,\theta\]

    \[\label{eqn:recttopolar} r ~=~ \pm\;\sqrt{x^2 ~+~ y^2} \qquad \tan\;\theta ~=~ \frac{y}{x} ~~\text{if $x \ne 0$}\]En fórmula ([eqn:recttopolar]), si\(x = 0\) entonces\(\theta = \pi/2\) o\(\theta = 3\pi/2\). Si\(x \ne 0\) y\(y \ne 0\) entonces las dos posibles soluciones para\(\theta\) en la ecuación\(\tan \theta = \frac{y}{x}\) están en cuadrantes opuestos (for\(0 \le \theta < 2\pi\)). Si el ángulo\(\theta\) está en el mismo cuadrante que el punto\((x,y)\), entonces\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) (es decir,\(r\) es positivo); de lo contrario\(r = -\sqrt{x^2 + y^2}\) (es decir,\(r\) es negativo).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): polarcircle

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Escribe la ecuación del círculo unitario\(x^2 + y^2 = 1\) en coordenadas polares.

    Solución: Por fórmula ([eqn:recttopolar])\(r^2 = x^2 + y^2 = 1\), así que en coordenadas polares la ecuación es simplemente\(r = 1\). En general el círculo\(x^2+y^2=a^2\) de radio\(a>0\) tiene la expresión más simple\(r=a\) en coordenadas polares.

    Escribe la ecuación\(x^2 + (y-4)^2 = 16\) en coordenadas polares.

    Solución: Esta es la ecuación de un círculo de radio\(4\) centrado en el punto\((0,4)\). Expandir la ecuación:

    \[\begin{aligned} x^2 ~+~ (y-4)^2 ~&=~ 16\\ x^2 ~+~ y^2 ~-~ 8y ~+~ 16 ~&=~ 16\\ x^2 ~+~ y^2 ~&=~ 8y\\ r^2 ~&=~ 8\,r\sin\;\theta \quad\text{(by formulas (\ref{eqn:polartorect}) and (\ref{eqn:recttopolar}))}\\ r ~&=~ 8\,\sin\;\theta \end{aligned}\]¿Es válido cancelar\(r\) de ambos lados en el último paso? Sí. El punto\((0,0)\) está en el círculo, por lo que cancelar\(r\) no elimina\(r=0\) como una solución potencial de la ecuación (por ejemplo,\(\theta=0\) haría\(r = 8 \sin\,\theta = 0\)). Así, la ecuación polar es\(r = 8 \sin\,\theta\).

    Observe que esta ecuación polar es en realidad menos intuitiva que su equivalente cartesiano. A partir de la ecuación\(x^2 + (y-4)^2 = 16\) es fácil identificar la curva como un círculo y leer su radio y centro; estas propiedades no son tan obvias a partir de la ecuación polar. Dado que el centro del círculo no es el origen, no hay simetría sobre el origen, que es cuando las coordenadas polares suelen ser más adecuadas.

    Supongamos que las coordenadas polares\((r,\theta)\) para una curva plana están relacionadas por una función:\(r=r(\theta)\). Entonces por fórmula ([eqn:polartorect]),\(x=r(\theta)\,\cos\,\theta\) y ahora\(y=r(\theta)\,\sin\,\theta\) son ecuaciones paramétricas para la curva en el parámetro\(\theta\). Así, por la Regla del Producto y las fórmulas ([eqn:paramderiv1]) y ([eqn:paramderiv2]) de la Sección 7.6, con\(\dx=x'(\theta)\,\dtheta\) y\(\dy=y'(\theta)\,\dtheta\):

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): polaronepluscos

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Esbozar la gráfica de\(r = 1 + \cos\,\theta\).

    Solución: Primero esbozar la gráfica tratando\((r,\theta)\) como coordenadas cartesianas, pues\(0 \le \theta \le 2\pi\) como en la Figura [fig:polargraph] (a). Luego usa esa gráfica para trazar una gráfica aproximada en coordenadas polares, como en la Figura [fig:polargraph] (b). 17

    Para encontrar los máximos, mínimos, y puntos de inflexión aún es necesario encontrar\(\dydx\) y\(\frac{d^2y}{\dx^2}\). Se deja como ejercicio usar la fórmula ([eqn:polarderiv]) y las identidades de doble ángulo para mostrar que

    \[\dydx ~=~ -\frac{\cos\,\theta + \cos\,2\theta}{\sin\,\theta + \sin\,2\theta} \qquad\text{and}\qquad \frac{d^2y}{\dx^2} ~=~ -\frac{3\,(1 + \cos\,\theta)}{(\sin\,\theta + \sin\,2\theta)^3}\]y eso para\(\theta\) adentro\(\ival{0}{2\pi}\),\(\dydx = 0\) solo cuando\(\theta = \frac{\pi}{3}\) y\(\frac{5\pi}{3}\), mientras\(\dydx\) es indefinido para\(\theta=0\)\(\frac{2\pi}{3}\),\(\pi\),\(\frac{4\pi}{3}\), y\(2\pi\). Desde\(\frac{d^2y}{\dx^2} \Bigr|_{\theta=\frac{\pi}{3}} < 0\) y\(\frac{d^2y}{\dx^2} \Bigr|_{\theta=\frac{5\pi}{3}} > 0\) entonces la curva tiene un máximo local cuándo\(\theta=\frac{\pi}{3}\) y un mínimo local cuándo\(\theta=\frac{5\pi}{3}\). También se puede demostrar que\(\frac{d^2y}{\dx^2}\) los cambios señalan alrededor\(\theta=0\),,\(\frac{2\pi}{3}\),\(\pi\)\(\frac{4\pi}{3}\), de manera que los puntos de inflexión ocurren en esos valores de\(\theta\), como se muestra (con la concavidad correcta) en la Figura [fig:polargraph] (b).

    En algunos casos, las coordenadas polares pueden simplificar la evaluación de una integral definida o encontrar un área. Para determinar la forma polar de una integral definida, supongamos que\(r\) es una función de\(\theta\):\(r=f(\theta)\). Una región polar barrida por\(r=f(\theta)\) entre\(\theta=\alpha\) y se\(\theta=\beta\) vería como la región sombreada en la Figura [fig:polararea] con área\(A\):

    \[\begin{aligned} \dA ~&=~ \tfrac{1}{2}\,(r)\,(r+\dr)\,\sin\,\dtheta\

    \ [4pt] &=~\ tfrac {1} {2}\, r^2\ dtheta ~+~\ tfrac {1} {2}\, r\, (\ dr)\,\ dtheta\

    \ [4pt] &=~\ tfrac {1} {2}\, r^2\ dtheta ~+~\ tfrac {1} {2}\, r\, (f' (\ theta)\,\ dtheta)\,\ dtheta\

    \ [4pt] &=~\ tfrac {1} {2}\, r^2\ dtheta ~+~ 0 ~=~\ tfrac {1} {2}\, r^2\ dtheta\ end {alineado}\] desde\((\dtheta)^2=0\). El área\(A\) de la región es la suma de estas áreas infinitesimales\(\dA\):

    Utilice coordenadas polares para mostrar que el área de un círculo de radio\(R\) es\(\pi R^2\).

    Solución: Que el origen sea el centro del círculo. Entonces\(r=R\) está la ecuación polar del círculo, con\(0 \le \theta \le 2\pi\) barrer exactamente un círculo completo. El área\(A\) dentro del círculo es entonces

    \[A ~=~ \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\,r^2 \dtheta ~=~ \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\,R^2 \dtheta ~=~ \tfrac{1}{2}\,R^2 \theta~\Biggr|_0^{2\pi} ~=~ \tfrac{1}{2}\,R^2\,(2\pi - 0) ~=~ \pi R^2 ~~.\quad\checkmark\]Observe la simplicidad de esta integral en comparación con la sustitución trigonométrica requerida al usar coordenadas cartesianas, como en la Sección 6.3. Observe también que usar un intervalo mayor,\(\ival{0}{4\pi}\) digamos, para,\(\theta\) daría como resultado un área incorrecta (\(4\pi R^2\)) aunque la región dentro de la curva sea la misma.

    Encuentra el área dentro de la curva\(r = 1 + \cos\,\theta\).

    Solución: Elija\(0 \le \theta \le 2\pi\) como en el Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): polaronepluscos

    Agrega texto aquí.

    Solución

    , de manera que el área\(A\) sea:

    \[\begin{aligned} A ~&=~ \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\,r^2 \dtheta ~=~ \int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\,(1 + \cos\,\theta)^2 \dtheta ~=~ \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{1}{2} \;+\; \cos\,\theta \;+\; \frac{\cos^2 \theta}{2} \right)~\dtheta\

    \ [4pt] &=~\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ izquierda (\ frac {1} {2}\; +\;\ cos\,\ theta\; +\;\ frac {1 +\ cos\ ,2\ theta} {4}\ derecha) ~\ dtheta ~=~\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ izquierda (\ fr{ 3} {4}\; +\;\ cos\,\ theta\; +\;\ frac {\ cos\ ,2\ theta} {4}\ derecha) ~\ dtheta\

    \ [4pt] &=~\ frac {3} {4}\,\ theta ~+~\ sin\,\ theta ~+~\ frac {1} {8}\,\ sin\ ,2\ theta~\ Biggr|_0^ {2\ pi} ~=~\ frac {3\ pi} {2}\ end {alineado}\]

    [sec7dot7]

    Para los Ejercicios 1-8 escriba la ecuación dada en coordenadas polares.

    4

    \((x-3)^2 + y^2 = 9\)

    \(y = x\)

    \(x^2 - y^2 = 1\)

    \(3x^2 + 4y^2 - 6x = 9\)

    4

    \(y = -x\)

    \(y = x + 1\)

    \(y = x^2\)

    \(y = x^3\)

    Escribe la ecuación polar\(r^2 = 4\,\cos\,2\theta\) en coordenadas cartesianas.

    2

    Encuentra la línea tangente a\(r=\cos\,2\theta\) at\(\left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{6}\right)\).

    Encuentra la línea tangente a\(r=8\,\sin^2\theta\) at\(\left(2,\frac{5\pi}{6}\right)\).

    Recordar la curva\(r = 1 + \cos\,\theta\) del Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): polaronepluscos

    Agrega texto aquí.

    Solución

    .
    1. Verificar que para esta curva,

      \[\dydx ~=~ -\frac{\cos\,\theta + \cos\,2\theta}{\sin\,\theta + \sin\,2\theta} \qquad\text{and}\qquad \frac{d^2y}{\dx^2} ~=~ -\frac{3\,(1 + \cos\,\theta)}{(\sin\,\theta + \sin\,2\theta)^3} ~.\]

    2. Verifica que para\(\theta\) in\(\ival{0}{2\pi}\),\(\dydx = 0\) solo cuando\(\theta = \frac{\pi}{3}\) y\(\frac{5\pi}{3}\), y no está definido para\(\theta=0\),\(\frac{2\pi}{3}\),\(\pi\),\(\frac{4\pi}{3}\), y\(2\pi\).

    3. Verifica eso\(\frac{d^2y}{\dx^2} \Biggr|_{\theta=\frac{\pi}{3}} < 0~\) y\(~\frac{d^2y}{\dx^2} \Biggr|_{\theta=\frac{5\pi}{3}} > 0\).

    4. Verificar que\(\frac{d^2y}{\dx^2}\) los cambios se\(\theta=0\) registren alrededor\(\frac{2\pi}{3}\),\(\pi\),, y\(\frac{4\pi}{3}\).

    Para los Ejercicios 13-15, esboce la gráfica de la curva dada e indique todos los máximos y mínimos locales. [[1.] ]

    3

    \(r = 1 + \sin\,\theta\)

    \(r = 1 - \cos\,\theta\)

    \(r = \sin\,2\theta\)

    2

    Encuentra el área en su interior\(r = 1 + \sin\,\theta\).

    Encuentra el área en su interior\(r = \sin\,2\theta\).

    [[1.] ]

    Esboce un gráfico aproximado del componente de voltaje meridiano\(E_{\theta}\) para una antena lineal de media longitud de onda:

    \[E_{\theta} ~=~ r(\theta) ~=~ \frac{\cos\,(\frac{\pi}{2} \cos\,\theta)}{\sin\,\theta}\]

    Mostrar que la distancia\(d\) entre dos puntos\((r_1 , \theta_1)\) y\((r_2 , \theta_2)\) en coordenadas polares es

    \[d ~=~ \sqrt{r_1^2 ~+~ r_2^2 ~-~ 2r_1r_2\,\cos\,(\theta_1 - \theta_2)} ~~.\]

    Para un punto\(P=(r,\theta)\) en la curva\(r=r(\theta)\), deja\(\alpha\) ser el ángulo que la línea tangente a través\(P\) hace con el\(x\) eje positivo. Dejar\(\psi=\alpha-\theta\) ser el ángulo entre la línea tangente y la línea a través\(P\) y el origen. Demuestre eso\(\tan\,\psi = \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}\). (Pista: Usa fórmulas ([eqn:polarderiv]) y ([eqn:tangentangle]).)

    Para la parábola con enfoque en\((0,0)\), vértice en\((0,-p)\), y directriz\(y=-2p\) (con\(p > 0\)), mostrar que la ecuación polar es

    \[r ~=~ \frac{2p}{1 \;-\; \sin\,\theta} ~~.\]

    Para la elipse con focos\((0,0)\) y\((2c,0)\), vértices\((c \pm a,0)\), y excentricidad\(e=\frac{c}{a}\) (con\(0 < c < a\)), mostrar que la ecuación polar es

    \[r ~=~ \frac{a\,(1 \;-\; e^2)}{1 \;-\; e\,\cos\,\theta} ~~.\]

    Para la hipérbola con focos\((0,0)\) y\((2c,0)\), vértices\((c \pm a,0)\), y excentricidad\(e=\frac{c}{a}\) (con\(0 < a < c\)), muestran que la ecuación polar es

    \[r ~=~ \frac{a\,(e^2 \;-\; 1)}{1 \;+\; e\,\cos\,\theta} ~~.\][[1.] ]

    Las coordenadas bipolares 19\((\xi,\eta)\) de un punto\(P=(x,y)\) relativo a dos polos\(F_1=(-a,0)\) y\(F_2=(a,0)\) están dadas por\(\xi = \ln\,\frac{d_1}{d_2}\) y\(\eta =\angle F_1PF_2\), donde\(d_1=F_1P\) y\(d_2=F_2P\), como en la figura de la derecha. Entonces\(-\infty < \xi < \infty\) excepto en\(F_1\) (que corresponde a\(\xi=-\infty\)) y\(F_2\) (\(\xi=\infty\)), mientras que\(0 \le \eta \le \pi\) para los puntos sobre o por encima del\(x\) eje -y\(\pi < \eta < 2\pi\) debajo del\(x\) eje -eje.

    1. Demostrar que

      \[x ~=~ \frac{a\,\sinh\,\xi}{\cosh\,\xi \;-\; \cos\,\eta} \qquad\text{and}\qquad y ~=~ \frac{a\,\sin\,\eta}{\cosh\,\xi \;-\; \cos\,\eta} ~~.\qquad\qquad\](Pista: Usa la fórmula de distancia, la Ley de Cosinos y la Ley de los Senos.)

    2. Mostrar que para constantes\(\tau \ne 0\) y\(\sigma \ne 0\) o\(\pi\), las curvas\(\xi = \tau\) y\(\eta = \sigma\) son los círculos respectivos

      \[(x \;-\; a\,\coth\,\tau)^2 ~+~ y^2 ~=~ \frac{a^2}{\sinh^2 \tau} \qquad\text{and}\qquad x^2 ~+~ (y \;-\; a\,\cot\,\sigma)^2 ~=~ \frac{a^2}{\sin^2 \sigma} ~~.\]


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