9.1: Secuencias y Series

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En el ^{siglo V} a.C. el antiguo filósofo griego Zenón de Elea ideó varias paradojas, la más famosa de las cuales —La dicotomía — afirma que si el espacio es infinitamente divisible entonces el movimiento es imposible. El argumento va así: imagina un segmento de línea de longitud finita, digamos 1 m, con una persona en un extremo como en la Figura [fig:zeno].

Antes de recorrer toda la distancia la persona primero tendría que recorrer la mitad de la distancia. Antes de hacer eso, sin embargo, tendría que recorrer una cuarta parte de la distancia, y antes de eso un octavo la distancia, y así sucesivamente. Por lo tanto, no hay “primera” distancia para que atraviese, ¡es decir, su movimiento ni siquiera puede comenzar!

Obviamente el movimiento es posible, o no estarías leyendo esto. ¿Significa eso que el razonamiento de Zenón es defectuoso? Más sobre eso más adelante. Mientras tanto, observe algunas cosas en Figura [fig:zeno]. Primero, los marcadores de distancia$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots$ forman una secuencia infinita de números que se aproximan a 0. Segundo, la suma de las distancias entre marcadores sucesivos es una serie infinita que debe ser igual a la longitud total del segmento 1:

\[\frac{1}{2} ~+~ \frac{1}{4} ~+~ \frac{1}{8} ~+~ \cdots ~=~ 1\]En breve se demostrará que la suma es efectivamente 1, lo que resulta no incidir en la paradoja de Zenón. Primero se necesitan algunas definiciones. Una secuencia es una lista ordenada de objetos, que en este libro siempre serán números reales. Las secuencias pueden ser finitas o infinitas: finitas si hay un último número en la lista, infinitas si cada número de la lista va seguido de otro número (es decir, un “sucesor”). Las secuencias no deben confundirse con conjuntos —orden importa en una secuencia pero no en un conjunto, y los números pueden repetirse en una secuencia pero no en un conjunto.

Por ejemplo, las secuencias$\langle 1,2,3\rangle$ y$\langle 1,3,2\rangle$ son diferentes, ya que el orden importa. Sin embargo, los números en esas secuencias comprenden el mismo conjunto$\lbrace 1,2,3\rbrace$.

El ejemplo más simple de una secuencia infinita es$\Naturals$, el conjunto de números naturales:$0,1,2,3,\ldots$. De hecho, los números$a_0,a_1,a_2,\ldots$ en cualquier secuencia infinita de números reales se pueden escribir como el rango de una función que$f$ mapea$\Naturals$ en$\Reals$:

\[\label{eqn:seqfcn} f(n) ~=~ a_n\]Normalmente, la notación como$\seq{a_n}_{n=0}^{\infty}$ se usa para representar una secuencia infinita, o simplemente$\seq{a_n}$ cuando se entiende el valor inicial del índice$n$ (y siempre$n$ es un número entero). La noción intuitiva del límite de una secuencia infinita se puede afirmar formalmente:

En otras palabras, una secuencia$\seq{a_n}$ converge a$L$ si los términos$a_n$ pueden hacerse arbitrariamente cercanos$L$ para$n$ suficientemente grandes. En la mayoría de los casos no será necesaria la definición formal, ya que por fórmula ([eqn:seqfcn]) las mismas reglas y fórmulas de los Capítulos 1 y 3 para el límite de una función$f(x)$ como$x$ enfoques$\infty$ se aplican a las secuencias (por ejemplo, sumas y productos de límites, Regla de L'Hôpital). Todo lo que tienes que hacer es sustituir$x$ por$n$.

Para enteros$n \ge 1$ definir$a_n = \frac{1}{2^n}$. Encuentra$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ si existe.

Solución: Desde$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \,\frac{1}{2^x} = 0$ entonces reemplazar$x$ por$n$ muestra que

\[\lim_{n \to \infty} a_n ~=~ \lim_{n \to \infty}~ \frac{1}{2^n} ~=~ 0 ~.\]

Para enteros$n \ge 0$ definir$a_n = \frac{2n+1}{3n+2}$. ¿Es$\seq{a_n}$ una secuencia convergente? Si es así entonces encuentra su límite.

Solución: Por la Regla de L'Hôpital, tratar un entero$n\ge 0$ como una variable de valor real$x$,

\[\lim_{n \to \infty} a_n ~=~ \lim_{n \to \infty}~ \frac{2n+1}{3n+2} ~=~ \lim_{n \to \infty}~ \frac{2}{3} ~=~ \frac{2}{3} ~.\]Así la secuencia es convergente y su límite es$\frac{2}{3}$.

Para enteros$n \ge 0$ definir$a_n = \frac{e^n}{3n+2}$. ¿Es$\seq{a_n}$ una secuencia convergente? Si es así entonces encuentra su límite.

Solución: Por la Regla de L'Hôpital, tratar un entero$n\ge 0$ como una variable de valor real$x$,

\[\lim_{n \to \infty} a_n ~=~ \lim_{n \to \infty}~ \frac{e^n}{3n+2} ~=~ \lim_{n \to \infty}~ \frac{e^n}{3} ~=~ \infty\]Así, la secuencia es divergente.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: fib

Agrega texto aquí.

Solución

La famosa secuencia de Fibonacci ¹$\seq{F_n}$ comienza con los números 0 y 1, entonces cada término sucesivo es la suma de los dos términos anteriores:$F_0 = 0$,$F_1 = 1$,

\[\label{eqn:fibonacci} F_n ~=~ F_{n-1} ~+~ F_{n-2} ~~\text{for integers $n \ge 2$}\]La ecuación ([eqn:fibonacci]) es una relación de recurrencia. Los primeros diez números de Fibonacci son$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34$. Claramente$\seq{F_n}$ es una secuencia divergente, ya que$F_n \rightarrow \infty$. Para$n \ge 2$ definir$a_n = F_n/F_{n-1}$. Los primeros valores son:

\[a_2 ~=~ \frac{F_2}{F_1} ~=~ \frac{1}{1} ~=~ 1 \quad,\quad a_3 ~=~ \frac{F_3}{F_2} ~=~ \frac{2}{1} ~=~ 2 \quad,\quad a_4 ~=~ \frac{F_4}{F_3} ~=~ \frac{3}{2} ~=~ 1.5 \quad,\quad a_5 ~=~ \frac{F_5}{F_4} ~=~ \frac{5}{3} ~\approx~ 1.667\]Demostrar que$\seq{a_n}$ es convergente. Es decir, en la secuencia de Fibonacci las proporciones de cada término con respecto al término anterior convergen a algún número.

Solución: Hay muchas maneras de demostrarlo, quizás la más simple ser asumir que la secuencia es convergente y luego encontrar el límite (lo cual sería imposible si la secuencia fuera divergente). Entonces asumamos eso$a_n \rightarrow a$ para algún número real$a$. Luego divide ambos lados de la fórmula ([eqn:fibonacci]) por$F_{n-1}$, de modo que

\[\frac{F_n}{F_{n-1}} ~=~ 1 ~+~ \frac{F_{n-2}}{F_{n-1}} \quad\Rightarrow\quad a_n ~=~ 1 ~+~ \frac{1}{a_{n-1}} ~~\text{for integers $n \ge 2$}\]Ahora toma el límite de ambos lados de la última ecuación como$n \to \infty$:

\[\lim_{n \to \infty} ~a_n ~=~ \lim_{n \to \infty} ~\left(1 ~+~ \frac{1}{a_{n-1}}\right) \quad\Rightarrow\quad a ~=~ 1 ~+~ \frac{1}{a} \quad\Rightarrow\quad a^2 - a - 1 ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad a ~=~ \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]Ya que$a$ debe ser positivo entonces$a = \frac{1 +\sqrt{5}}{2}$. Así, la secuencia es convergente y converge a$\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
Nota: Este número es la famosa proporción áurea, objeto de muchas afirmaciones respecto a su apariencia en la naturaleza y supuesto atractivo estético como proporción de lados de un rectángulo. ²

Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita. Si la secuencia infinita es$\seq{a_n}_{n=0}^{\infty}$ entonces la serie se puede escribir como

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n ~=~ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\]o simplemente como$\sum a_n$ cuando se entiende el valor inicial del índice$n$. Hay una manera natural de definir la suma de una serie de este tipo:

Una serie convergente importante es una progresión geométrica:

\[\label{eqn:geomprog} a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n + \cdots\]con$a \ne 0$ y$\abs{r} < 1$. Multiplique la$n$ -ésima suma parcial$s_n$ por$r$:

\[rs_n ~=~ r\,(a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n) ~=~ ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + ar^n + ar^{n+1}\]Ahora resta$rs_n$ de$s_n$:

\[\begin{aligned} s_n - rs_n ~&=~ a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n - (ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + ar^n + ar^{n+1})\\ s_n - rs_n ~&=~ a - ar^{n+1} \quad\text{so that}\\ \lim_{n \to \infty} s_n ~&=~ \lim_{n \to \infty} \frac{a\,(1 - r^{n+1})}{1 -r} ~=~ \frac{a}{1-r}\end{aligned}\]desde$r^{n+1} \rightarrow 0$ como$n \to \infty$ cuando$\abs{r} < 1$. Así:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: geomzeno

Agrega texto aquí.

Solución

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,\frac{1}{2^n} = 1$Demuéstralo.

Solución: Esta es una progresión geométrica con$a=\frac{1}{2}$ y$r=\frac{1}{2}$. Entonces por fórmula ([eqn:geomprogsum]) la suma es:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \;\frac{1}{2^n} ~=~ \frac{a}{1-r} ~=~ \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} ~=~ 1 \quad\checkmark\]

Escribe el decimal repetido$0.\overline{17} = 0.17171717\ldots$ como un número racional.

Solución: Esta es una progresión geométrica con$a=0.17=\frac{17}{100}$ y$r=0.01=\frac{1}{100}$:

\[\begin{aligned} 0.171717\ldots ~&=~ 0.17 + 0.0017 + 0.000017 + \cdots ~=~ 0.17\,(0.01)^0 + 0.17\,(0.01)^1 + 0.17\,(0.01)^2 + \cdots\\ &=~ \sum_{n=0}^{\infty} \;0.17\,(0.01)^n ~=~ \frac{a}{1-r} ~=~ \frac{0.17}{1 - 0.01} ~=~ \frac{0.17}{0.99} ~=~ \frac{17}{99}\end{aligned}\]

Volver a la paradoja del movimiento de Zenón, por Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: geomzeno

Agrega texto aquí.

Solución

la suma del número infinito de distancias entre marcadores sucesivos en la Figura [fig:zeno] es 1, como se esperaba. Este hecho suele confundirse como prueba de que Zenón estaba equivocado, pero en realidad no aborda el argumento de Zenón, ya que la persona está intentando iniciar el movimiento en el extremo de la cola —el “extremo infinito” —de la progresión geométrica, no al principio (es decir, at$n=0$). El punto de Zenón sigue siendo que no hay “primer paso” en ese extremo de cola.

De hecho, incluso si tuvieras que invertir la posición de la persona para comenzar por el otro extremo, para que primero se moviera una distancia$\frac{1}{2}$, luego una distancia$\frac{1}{4}$, y así sucesivamente, como en la Figura [fig:zenoreverse], entonces se introduce un nuevo problema: la persona sigue moviéndose por muy cerca que esté del punto final. Ahora no hay “último paso” y el movimiento sigue siendo imposible.

La convergencia de la progresión geométrica ha engañado a muchas personas para argumentar que Zenón está equivocado, al afirmar que muestra un número infinito de movimientos que se pueden completar en una cantidad finita de tiempo. Pero esta línea argumental falla en (al menos) dos recuentos. Primero, Zenón nunca discutió sobre el tiempo, es irrelevante para su paradoja. El defecto más fundamental es que la introducción del tiempo trae consigo el concepto de velocidad, típicamente tomada como constante (aunque no necesita serlo). La velocidad es la distancia a lo largo del tiempo, pero es precisamente la parte de distancia de esa relación lo que Zeno rechaza, esa distancia nunca se puede recorrer. En otras palabras, es circular y por lo tanto erróneo el razonamiento para “probar” que el movimiento es posible asumiendo que es posible.

La progresión geométrica tampoco ayuda a la hora de considerar solo las distancias e ignorar el tiempo. Incluso suponiendo que cada una de esas distancias pudiera recorrerse, las sumas parciales se acercan a 1 pero nunca lo alcanzan realmente. El límite de una secuencia se define en términos de una desigualdad, se puede acercar arbitrariamente al límite, y eso es todo. La igualdad en la fórmula ([eqn:geomprogsum]) es meramente una forma abreviada de decir eso. Se trata de una abstracción basada en propiedades del sistema de números reales, no necesariamente basada en la realidad física.

La paradoja de Zenón no es puramente matemática, se trata del espacio y, por lo tanto, es física, con un matiz de filosofía. Los físicos lo han reconocido —y notaron la falla en la línea puramente matemática de ataque— y idearon nuevos argumentos contra Zenón, algunos más sofisticados que otros. No obstante, todas ellas terminan invariablemente en algún tipo de razonamiento circular. Todo ello pone en tela de juicio la suposición original: la divisibilidad infinita del espacio. Si el espacio tuviera alguna unidad más pequeña que no pudiera dividirse más, entonces no hay paradoja: el movimiento a lo largo de una distancia finita siempre podría descomponerse en un número grande pero finito de escalones irreducibles. ³

[sec9dot1]

Para los Ejercicios 1-8, determine si la secuencia dada es convergente. Si es así entonces encuentra su límite.

$\seq{n\,e^{-n}}_{n = 0}^{\infty}\vphantom{\seq{\dfrac{n^2}{3n^2 ~+~ 7n ~-~ 2}}_{n = 1}^{\infty}}$

$\seq{\dfrac{n^2}{3n^2 ~+~ 7n ~-~ 2}}_{n = 1}^{\infty}$

$\seq{\dfrac{n^2}{3n^3 ~+~ 7n ~-~ 2}}_{n = 1}^{\infty}$

$\seq{\dfrac{n^3}{3n^2 ~+~ 7n ~-~ 2}}_{n = 1}^{\infty}$

$\seq{\dfrac{n}{\ln\,n}}_{n = 2}^{\infty}\vphantom{\seq{\dfrac{n\,!}{(n + 2)\,!}}_{n = 0}^{\infty}}$

$\seq{\dfrac{n\,!}{(n + 2)\,!}}_{n = 0}^{\infty}$

$\seq{\sin\,\left(\dfrac{n \pi}{2}\right)}_{n = 0}^{\infty}\vphantom{\seq{\dfrac{n\,!}{(n + 2)\,!}}_{n = 0}^{\infty}}$

$\seq{(-1)^n \cos\,n\pi}_{n = 0}^{\infty}\vphantom{\seq{\dfrac{n\,!}{(n + 2)\,!}}_{n = 0}^{\infty}}$

Para los Ejercicios 9-12 determinar si la serie dada es convergente. Si es así entonces encuentra su suma. [[1.] ]

$\bigsum{n = 0}{\infty}~ 2\;\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ 7^{-n}$

$\bigsum{n = 0}{\infty}~ \dfrac{3^n ~+~ 5^{n + 1}}{6^n}$

$\bigsum{n = 0}{\infty}~ n$

Para los Ejercicios 13-16 usa una progresión geométrica para escribir el decimal repetido dado como un número racional. [[1.] ]

$0.\overline{113}$

$0.\overline{9}$

$0.24\overline{9}$

$0.01\overline{7}$

[[1.] ]

En Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: fib

Agrega texto aquí.

Solución

definir$b_n = F_n/F_{n+1}$ para$n\ge 0$ y mostrar que$\seq{b_n}_{n=0}^{\infty}$ converge a$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Mostrar esa fórmula ([eqn:newton]) para el método de Newton con$f(x) = x^2 - 2$ y$x_0 = 1$ produce la secuencia$\seq{x_n}_{n=0}^{\infty}$ con

\[x_n ~=~ \frac{1}{2} x_{n-1} ~+~ \frac{1}{x_{n-1}} \quad\text{for $n\ge 1\;$,}\]entonces asumiendo$\seq{x_n}$ es convergente mostrar al que debe converger$\sqrt{2}$. (Pista: Ver ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: fib

Agrega texto aquí.

Solución

En este ejercicio probarás una fórmula para el número general$F_n$ en la secuencia de Fibonacci. Denotar las soluciones positivas y negativas a la ecuación$x^2 - x - 1 = 0$ por$\phi_{+} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y$\phi_{-} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$, respectivamente. Tenga en cuenta que$\phi_{+}$ es la proporción áurea mencionada en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: fib

Agrega texto aquí.

Solución

Usa la ecuación$x^2 - x - 1 = 0$ para mostrar que
\[\phi_{+}^{n+1} ~=~ \phi_{+}^{n} ~+~ \phi_{+}^{n-1} \qquad\text{and}\qquad \phi_{-}^{n+1} ~=~ \phi_{-}^{n} ~+~ \phi_{-}^{n-1} ~.\]
Utilice la parte (a) y la inducción para demostrar que
\[F_n ~=~ \frac{\phi_{+}^{n} \;-\; \phi_{-}^{n}}{\sqrt{5}} \quad\text{for $n\ge 0$.}\]

Una pelota se deja caer desde una altura de 4 pies sobre el suelo, y en cada rebote del suelo la pelota rebota directamente hasta una altura igual al 65% de su altura anterior. Encuentra la distancia total teórica que la pelota podría recorrer si pudiera rebotar indefinidamente. ¿Por qué es esto físicamente poco realista?

Una fracción continuada es un tipo de suma infinita que involucra una fracción con un denominador que continúa indefinidamente:

\[a ~=~ a_0 ~+~ \cfrac{1}{a_1 \;+\; \cfrac{1}{a_2 \;+\; \cfrac{1}{a_3 \;+\; \cdots}}}\]

Demostrar que la proporción áurea$\phi_{+} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (una solución de$x^2-x-1=0$) puede escribirse como
\[\phi_{+} ~=~ 1 ~+~ \cfrac{1}{1 \;+\; \cfrac{1}{1 \;+\; \cfrac{1}{1 \;+\; \cdots}}} ~.\](Sugerencia: Busque una relación de recurrencia en la fracción.)
Demostrar que
\[\sqrt{2} ~=~ 1 ~+~ \cfrac{1}{2 \;+\; \cfrac{1}{2 \;+\; \cfrac{1}{2 \;+\; \cdots}}} ~.\]

[exer:goldensqrt] Mostrar que la proporción áurea se$\phi_{+} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ puede escribir como$\phi_{+} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$.

Escribir un programa de computadora para aproximar el resultado en Ejercicio [exer:goldensqrt] usando$100$ términos. ¿Después de cuántas iteraciones empiezan a repetirse los valores aproximados?

¿La existencia de infinitesimales como medida del espacio resolvería la paradoja de Zenón? Explique.

Debido al matemático italiano Leonardo Fibonacci (ca. 1170-1250). ↩
Por ejemplo, véase Huntley, S.E., La Divina Proporción, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1970. ↩
A partir de este escrito aún no hay una respuesta definitiva en cuanto a si el espacio es continuo o discreto (cuantificado). Una “unidad más pequeña” tendría que estar por debajo del nivel de Planck, alrededor de$10^{-33}$ cm, muy por debajo de las capacidades de medición de corriente. Algunos avances recientes en el campo de la gravedad cuántica de bucle sugieren la posibilidad de espacio cuantificado. Ver Chamseddine, A.H., Connes, A. & Mukhanov, V., “La geometría y la cuántica: fundamentos”. J. High Energy Phys. 2014, 98 (2014). https://doi.org/10.1007/JHEP12(2014)098 ↩
Para una prueba ver pp.48-49 en Buck, R.C., Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: McGraw-Hill Book Co., 1965. ↩
Ver pp.612-613 en Taylor, A.E. y W.R. Mann, Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1972. ↩
Debido al matemático y teólogo inglés John Wallis (1616-1703). Para una prueba de la fórmula ver pp.738-739 en Taylor, A.E. y W.R. Mann, Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1972. ↩
Para las pruebas formales de estas afirmaciones, véase pp.442-444 en Klambauer, G., Aspectos del Cálculo, Nueva York: Springer-Verlag, 1986. ↩
El símbolo$\aleph_0$ se llama aleph nulo y representa la cardinalidad de$\Naturals$, es decir, su tamaño. $\aleph_0$es el infinito más pequeño. ↩
Las pruebas requieren convergencia uniforme, una condición más fuerte que la convergencia ordinaria. Ver pp.129-134 en Bromwich, T.J., An Introduction to the Theory of Infinite Series, 2nd ed., Londres: Macmillan & Co. Ltd., 1955. ↩
Debido al astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), a partir de un estudio del movimiento planetario elíptico. ↩
El nombre del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731), aunque tales series eran conocidas por otros (por ejemplo, James Gregory, Johann Bernoulli) antes que Taylor. ↩
El caso especial de$c=0$ en la fórmula de Taylor produce lo que a veces se llama la serie de Maclaurin para$f(x)$, aunque esa terminología generalmente no se usa en campos de estudio fuera de las matemáticas. ↩
Para ver qué tan inexactas pueden ser las calculadoras, computa$\tan (355/226)$ en modo radián en una calculadora. El verdadero valor a 3 decimales es$-7497258.185$, pero pocas calculadoras producen una respuesta cercana a eso. ↩