9.2: Pruebas para Convergencia

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hay muchas maneras de determinar si una secuencia converge; dos se enumeran a continuación. En todos los casos, cambiar o eliminar un número finito de términos en una secuencia no afecta su convergencia o divergencia:

La Prueba de Comparación tiene sentido intuitivamente, ya que algo más grande que una cantidad que va al infinito también debe ir al infinito. La Prueba Limitada Monótona se puede entender pensando en un atado en una secuencia como una pared que la secuencia nunca podrá pasar, como en la Figura [fig:mbtest]. La secuencia creciente$\seq{a_n}$ en la figura se mueve hacia$M$ pero nunca puede pasarla. Por lo tanto, la secuencia no puede divergir$\infty$, y no puede fluctuar de un lado a otro ya que siempre aumenta. Por lo tanto, debe converger en algún lugar antes o en$M$. ⁴ Observe que la Prueba Monotona Limitada te dice sólo que la secuencia converge, no a qué converge.

Mostrar que la secuencia$\seq{a_n}_{n=1}^{\infty}$ definida$n\ge 1$ por

\[a_n ~=~ \frac{1 \,\cdot\, 3 \,\cdot\, 5 \,\cdots\, (2n-1)} {2 \,\cdot\, 4 \,\cdot\, 6 \,\cdots\, (2n)}\]es convergente.

Solución: Observe que siempre$\seq{a_n}$ está disminuyendo, ya que

\[a_{n+1} ~=~ \frac{1 \,\cdot\, 3 \,\cdot\, 5 \,\cdots\, (2n-1) \,\cdot\, (2n+1)} {2 \,\cdot\, 4 \,\cdot\, 6 \,\cdots\, (2n)\,\cdot\, (2n+2)} ~=~ a_n \,\cdot\, \frac{2n+1}{2n+2} ~<~ a_n \,\cdot\, (1) ~=~ a_n\]para$n\ge 1$. La secuencia también está delimitada, ya que$0 < a_n$ y

\[a_n ~=~ \frac{1}{2} \,\cdot\, \frac{3}{4} \,\cdot\, \frac{5}{6} \,\cdots\, \frac{2n-1}{2n} ~<~ 1 \quad\text{for $n\ge 1$}\]ya que cada fracción en el producto anterior es menor a 1. Así, mediante la Prueba Monotona Limitada la secuencia es convergente.
Tenga en cuenta que para una secuencia decreciente solo se necesita el límite inferior para la Prueba de Límite Monotónico, no el límite superior. De igual manera, para una secuencia creciente solo importa el límite superior.

A continuación se enumeran algunas pruebas para la convergencia de una serie:

La mayoría de las pruebas anteriores tienen pruebas bastante cortas o al menos explicaciones intuitivas. Por ejemplo, la n-ésima Prueba de Término se desprende de la definición de convergencia de una serie: si$\sum a_n$ converge a un número$L$ entonces ya que cada término$a_n = s_n - s_{n-1}$ es la diferencia de sumas parciales sucesivas, tomando los rendimientos límite

\[\lim_{n \to \infty} \,a_n ~=~ \lim_{n \to \infty} \,(s_n - s_{n-1}) ~=~ L - L ~=~ 0\]por definición de la convergencia de una serie. $~\checkmark$
Dado que la n-ésima Prueba de Término nunca se puede usar para probar la convergencia de una serie, a menudo se establece de la siguiente manera lógicamente equivalente:

Demostrar que$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{n}{2n+1} ~=~ \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} + \cdots~$ es divergente.

Solución: Desde

\[\lim_{n \to \infty} \;\frac{n}{2n+1} ~=~ \frac{1}{2} ~\ne ~ 0\]luego por la n-ésima Prueba de Término la serie diverge.

La Prueba de Ratio requiere un poco más de esfuerzo para probarlo. ⁵ Cuando la relación$R$ en la Prueba de Relación es mayor que 1 entonces eso significa que los términos de la serie no se acercan a 0, y así la serie diverge por la n-ésima Prueba de Término. Cuando$R=1$ la prueba falla, lo que significa que no es concluyente, sería necesario usar otra prueba. Cuando la prueba muestra convergencia no te dice a qué converge la serie, simplemente que converge.

Determinar si$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{n}{2^n}~$ es convergente.

Solución: Para el término general de la serie$a_n = \frac{n}{2^n}$,

\[R ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\frac{a_{n+1}}{a_n} ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}} ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\dfrac{n+1}{2n} ~=~ \frac{1}{2} ~<~ 1 ~,\]por lo que por la Prueba de Ratio la serie converge.

La figura [fig:integraltest] muestra por qué funciona la Prueba Integral.

En la Figura [fig:integraltest] (a) el área$\int_1^{\infty} f(x)\,\dx$ es mayor que el área total$S$ de todos los rectángulos bajo la curva. Ya que cada rectángulo tiene altura$a_n$ y anchura$1$, entonces$S=\sum_2^{\infty} a_n$. Así, dado que quitar el término único$a_1$ de la serie no afecta la convergencia o divergencia de la serie, la serie converge si converge la integral impropia, y a la inversa la integral diverge si la serie diverge. De igual manera, en la Figura [fig:integraltest] (b) el área$\int_1^{\infty} f(x)\,\dx$ es menor que el área total$S=\sum_1^{\infty} a_n$ de todos los rectángulos, por lo que la integral converge si la serie converge, y la serie diverge si la integral diverge. Observe cómo en ambas gráficas los rectángulos están todos por debajo de la curva o todos sobresalen por encima de la curva por$f(x)$ ser una función decreciente.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: pseries

Agrega texto aquí.

Solución

Demostrar que la serie p$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{1}{n^p}~$ converge para$p>1$ y diverge para$p=1$.

\[\sum_{n=1}^{\infty} \,\frac{1}{n} ~=~ 1 \;+\; \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{3} \;+\; \frac{1}{4} \;+\; \cdots\]así diverge aunque$a_n = \frac{1}{n} \rightarrow 0$ (que por lo tanto no es una condición suficiente para que una serie converja).

Tenga en cuenta que este ejemplo prueba en parte la prueba de la serie p. El caso restante ($p < 1$) se deja como ejercicio.

La parte de divergencia de la Prueba de Comparación es lo suficientemente clara como para entenderla, pero$0 \le a_n \le b_n$ para la parte de convergencia con para todos$n$ mayores que algunos$N$, ignorar el número (finito) de términos antes$a_N$ y$b_N$. Desde que$\sum b_n$ converge entonces sus sumas parciales deben ser acotadas. También deben delimitarse las sumas parciales para$\sum a_n$ entonces, ya que$0 \le a_n \le b_n$ para$n > N$. Entonces ya que$a_n \ge 0$ significa que las sumas parciales para$\sum a_n$ están aumentando, por la Prueba Limitada Monótona las sumas parciales para$\sum a_n$ deben converger, es decir,$\sum a_n$ es convergente.

Determinar si$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{1}{n^n}~$ es convergente.

Solución: Desde$n^n \ge n^2 > 0$ para$n > 2$, entonces

\[0 ~<~ \frac{1}{n^n} ~\le~ \frac{1}{n^2}\]para$n > 2$. Así, ya que$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge (por la prueba de la serie p con$p=2>1$, como en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: pseries

Agrega texto aquí.

Solución

), la serie$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$ converge mediante la Prueba de Comparación.

Para la Prueba de Comparación de Límite con$\frac{a_n}{b_n} \rightarrow L < \infty$ y$L > 0$, por definición del límite de una secuencia, se$\frac{a_n}{b_n}$ puede hacer arbitrariamente cerca de$L$. En particular hay un número entero$N$ tal que

\[\frac{L}{2} ~<~ \frac{a_n}{b_n} ~<~ \frac{3L}{2}\]para todos$n > N$. Entonces

\[0 ~<~ a_n ~<~ \frac{3L}{2}\,b_n \quad\text{and $\quad\sum b_n$ converges} \quad\Rightarrow\quad \text{$\sum a_n$ converges}\]por la prueba de comparación. Asimismo,

\[0 ~<~ \frac{L}{2}\,b_n ~<~ a_n \quad\text{and $\quad\sum b_n$ diverges} \quad\Rightarrow\quad \text{$\sum a_n$ diverges}\]por la Prueba de Comparación otra vez. Los casos$L=0$ y$L=\infty$ se manejan de manera similar.

Determinar si$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{n+3}{n \,\cdot\, 2^n}~$ es convergente.

Solución: Dado que$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ es convergente (como parte de una progresión geométrica) y

\[\lim_{n \to \infty} ~\frac{(n+3)/(n \,\cdot\, 2^n)}{1/2^n} ~=~ \lim_{n \to \infty} ~\frac{n+3}{n} ~=~ 1\]entonces por la Prueba de Comparación de$~\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{n \,\cdot\, 2^n}$ Límites es convergente..

Una serie$\sum a_n$ es telescópica si$a_n = b_n - b_{n+1}$ para alguna secuencia$\seq{b_n}$. Supongamos que la serie$\sum a_n$ y$\seq{b_n}$ la secuencia comienzan en$n=1$. Entonces la suma parcial$s_n$ para$\sum a_n$ es

\[s_n ~=~ a_1 \;+\; a_2 \;+\; \cdots \;+\; a_n ~=~ (b_1 - b_2) \;+\; (b_2 - b_3) \;+\; \cdots \;+\; (b_n - b_{n+1}) ~=~ b_1 - b_{n+1}\]para$n \ge 1$. Así, ya que$b_1$ es un número fijo,$\lim_{n \to \infty} s_n$ existe si y sólo si$\lim_{n \to \infty} b_{n+1}$ existe, es decir,$\sum a_n$ converge si y sólo si$\seq{b_n}$ converge. Entonces si$b_n \rightarrow L$ entonces$s_n \rightarrow b - L$, es decir,$\sum a_n$ converge a$L$, lo que prueba la Prueba de Serie Telescópica. Obsérvese que el número$b_1$, como el primer número de la secuencia$\seq{b_n}$, podría ser reemplazado por cualquiera que sea el primer número, en caso de que el índice$n$ comience en un número diferente al 1.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: telescoping

Agrega texto aquí.

Solución

Determinar si$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{1}{n\,(n+1)}~$ es convergente. Si converge entonces ¿puedes encontrar su suma?

Solución: Para la secuencia$\seq{b_n}$ con$b_n = \frac{1}{n}$ for$n \ge 1$, cada término de la serie se puede escribir como

\[\frac{1}{n\,(n+1)} ~=~ \frac{1}{n} ~-~ \frac{1}{n+1} ~=~ b_n \;-\; b_{n+1}\]Así, dado que$\seq{b_n}$ converge a 0, por la Prueba de Serie Telescópica la serie también converge, a$b_1 - 0 = 1$.

Las series convergentes tienen las siguientes propiedades (basadas en propiedades similares de límites):

[sec9dot2]

Para los Ejercicios 1-5 muestran que la secuencia dada$\seq{a_n}_{n=1}^{\infty}$ es convergente.

$a_n = \dfrac{2 \,\cdot\, 4 \,\cdot\, 6 \,\cdots\, (2n)} {3 \,\cdot\, 5 \,\cdot\, 7 \,\cdots\, (2n+1)}\vphantom{\dfrac{2^n}{n!}}$

$a_n = 1 \,-\, \dfrac{2^n}{n!}$

$a_n = \dfrac{2 \,\cdot\, 4 \,\cdot\, 6 \,\cdots\, (2n)} {1 \,\cdot\, 3 \,\cdot\, 5 \,\cdots\, (2n-1)} \;\cdot\; \dfrac{1}{2n+2}\vphantom{\dfrac{2^n}{n!}}$

$a_n = \dfrac{1}{n}\,\left(\dfrac{2 \,\cdot\, 4 \,\cdot\, 6 \,\cdots\, (2n)} {1 \,\cdot\, 3 \,\cdot\, 5 \,\cdots\, (2n-1)}\right)^2$

[exer:wallisinv]$a_n = \dfrac{1}{2} \,\cdot\, \dfrac{3}{2} \,\cdot\, \dfrac{3}{4} \,\cdot\, \dfrac{5}{4} \,\cdot\, \dfrac{5}{6} \,\cdot\, \dfrac{7}{6} \,\cdots\, \dfrac{2n-1}{2n} \,\cdot\, \dfrac{2n+1}{2n}\vphantom{\left(\dfrac{2n}{2n}\right)^2}$

Para los Ejercicios 6-17 determinar si la serie dada es convergente. [[1.] ]

$\bigsum{n = 0}{\infty}~ \sin\,\left(\dfrac{n \pi}{2}\right)$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{n\,(n + 2)}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{2n}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n}{(n + 1)\,2^n}$

$\bigsum{n = 2}{\infty}~ \dfrac{1}{n\,\sqrt{\ln \,n}}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n\,!}{(2n)\,!}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n}{e^n}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{\cosh^2 n}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n\,!}{2^n}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{n\,(2n-1)}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{\ln\,(n+1)}{n^2}$

Para los Ejercicios 18-21 determinar si la serie dada es convergente. Si convergente entonces encuentra su suma. [[1.] ]

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{(2n+1)\,(2n+3)}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{(2n + 3)\,(2n + 5)}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{2}{(3n + 1)\,(3n + 4)}$

$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{4n^2 - 1}$

[[1.] ]

Continuar Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: pseries

Agrega texto aquí.

Solución

con una prueba de la serie p Prueba para$p < 1$.

Demostrar que$\seq{a_n}_{n=1}^{\infty}$ es convergente, donde

\[a_n ~=~ \frac{1}{1!} \;+\; \frac{1}{2!} \;+\; \frac{1}{3!} \;+\; \frac{1}{4!} \;+\; \cdots \;+\; \frac{1}{n!}\]para$n \ge 1$. (Pista: Usa la prueba Monotone Bounded usando un límite$\frac{1}{n!}$ para$n > 2$.)

Considera la serie$~\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{1}{2n-1} ~=~ 1 \;+\; \frac{1}{3} \;+\; \frac{1}{5} \;+\; \frac{1}{7} \;+\; \dotsb ~$.

Demostrar que la serie es divergente.
El libro de texto Matemáticas Aplicadas para la Química Física (^3ª ed.), J. Barrante, proporciona el siguiente argumento de que la serie anterior converge: Desde
\[1 ~+~ \frac{1}{4} ~+~ \frac{1}{9} ~+~ \frac{1}{16} ~+~ \dotsb \quad < \quad 1 ~+~ \frac{1}{3} ~+~ \frac{1}{5} ~+~ \frac{1}{7} ~+~ \dotsb \quad < \quad 1 ~+~ \frac{1}{2} ~+~ \frac{1}{3} ~+~ \frac{1}{4} ~+~ \dotsb\]donde la serie de la izquierda converge (por la serie p Prueba con$p = 2$) y la serie de la derecha diverge (por la serie p Prueba con$p = 1$), y dado que cada término en la serie media se encuentra entre sus términos correspondientes en la serie izquierda y serie derecha, entonces debe haber una serie p por algún valor$1 < p < 2$ tal que cada término de la serie media sea menor que el término correspondiente en esa serie p. Es decir,
\[1 ~+~ \frac{1}{4} ~+~ \frac{1}{9} ~+~ \frac{1}{16} ~+~ \dotsb \quad < \quad 1 ~+~ \frac{1}{3} ~+~ \frac{1}{5} ~+~ \frac{1}{7} ~+~ \dotsb \quad < \quad 1 ~+~ \frac{1}{2^p} ~+~ \frac{1}{3^p} ~+~ \frac{1}{4^p} ~+~ \dotsb\]por ese valor de$p$ entre 1 y 2. Pero$p > 1$ para esa serie p de la derecha, así converge, ¡lo que significa que la serie media converge! Encontrar y explicar la falla en este argumento.

La fórmula ⁶ de Wallis$\pi$ viene dada por el producto infinito

\[\frac{\pi}{2} ~=~ \dfrac{2}{1} \,\cdot\, \dfrac{2}{3} \,\cdot\, \dfrac{4}{3} \,\cdot\, \dfrac{4}{5} \,\cdot\, \dfrac{6}{5} \,\cdot\, \dfrac{6}{7} \,\cdots\, \dfrac{2n}{2n-1} \,\cdot\, \dfrac{2n}{2n+1} \,\cdot\, \cdots ~.\]Observe que este es el límite del recíproco de la secuencia en Ejercicio [exer:wallisinv]. Escribe un programa de computadora para aproximar el límite usando 1 millón de iteraciones. ¿A qué distancia está tu aproximación$\frac{\pi}{2}$?