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2: Funciones de varias variables

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    En el cálculo de una sola variable, nos preocupaban funciones que mapeaban los números reales a números reales, a veces llamadas “funciones reales de una variable”, lo que significa que la “entrada” es un solo número real y la “salida” es igualmente un solo número real. En el último capítulo consideramos funciones tomando un número real a un vector, que también pueden verse como funciones, es decir, por cada valor de entrada obtenemos una posición en el espacio. Ahora pasamos a funciones de varias variables, es decir, varias variables de entrada, funciones. Trataremos principalmente\(\mathbb{R}^2\) y\(\mathbb{R}^3\) espacios, sin embargo, muchas de las técnicas que discutimos también se pueden aplicar a espacios de mayores dimensiones.

    • 2.1: Funciones de dos o tres variables
      Ahora examinaremos las funciones de valor real de un punto (o vector) en\(\mathbb{R}^2\) o\(\mathbb{R}^3\). En su mayor parte estas funciones se definirán sobre conjuntos de puntos en\(\mathbb{R}^2\), pero habrá momentos en los que usaremos puntos en\(\mathbb{R}^3\), y también habrá momentos en los que será conveniente pensar en los puntos como vectores (o puntos terminales de vectores).
    • 2.2: Derivadas Parciales
      Ahora que tenemos una idea de qué son las funciones de varias variables, y qué límite de tal función es, podemos comenzar a desarrollar una idea de una derivada de una función de dos o más variables.
    • 2.3: Plano tangente a una superficie
      Dado que la derivada dy/dx de una función y=f (x) se usa para encontrar la línea tangente a la gráfica de f (que es una curva en R2), podría esperarse que las derivadas parciales se puedan usar para definir un plano tangente a la gráfica de una superficie z=f (x, y). Esto efectivamente resulta ser el caso. Primero, necesitamos una definición de plano tangente. La idea intuitiva es que un plano tangente “solo toca” una superficie en un punto. La definición formal imita la noción intuitiva de una línea tangente a una curva.
    • 2.4: Derivadas direccionales y el gradiente
      Para una función z=f (x, y), aprendimos que las derivadas parciales f (x, y) representan la tasa de cambio (instantánea) de f en las direcciones x e y positivas, respectivamente. ¿Qué pasa con otras direcciones? Resulta que podemos encontrar la tasa de cambio en cualquier dirección usando un tipo de derivado más general llamado derivado direccional.
    • 2.5: Maxima y Minima
      El gradiente se puede utilizar para encontrar puntos extremos de funciones de valor real de varias variables, es decir, puntos donde la función tiene un máximo local o mínimo local. Consideraremos solo funciones de dos variables; las funciones de tres o más variables requieren métodos que utilicen álgebra lineal.
    • 2.6: Optimización sin restricciones: métodos numéricos
      Los tipos de problemas que resolvimos anteriormente fueron ejemplos de problemas de optimización sin restricciones. Si las ecuaciones involucran polinomios en x e y de grado tres o superior, o expresiones complicadas que involucran funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, entonces resolver podría ser imposible por medios elementales y la única opción puede ser encontrar una solución usando algún método numérico que dé un secuencia de números que convergen a la solución real (por ejemplo, el método de Newton).
    • 2.7: Optimización Constreñida - Multiplicadores Lagrange
      En esta sección utilizaremos un método general, llamado método multiplicador Lagrange, para resolver problemas de optimización restringidos. Los puntos (x, y) que son máximos o mínimos de f (x, y) con la condición de que cumplan la ecuación de restricción g (x, y) =c se denominan puntos máximos restringidos o mínimos restringidos, respectivamente. Se mantienen definiciones similares para funciones de tres variables. El método multiplicador Lagrange para resolver este tipo de problemas.
    • 2.E: Funciones de Varias Variables (Ejercicios)
      Problemas y soluciones selectas para el capítulo.

    Miniaturas: Función real de dos variables reales. (Dominio público; Maschen).

    Colaboradores y Atribuciones


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