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4.4: Integrales superficiales y teorema de divergencia

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En la Sección 4.1 aprendimos a integrarnos a lo largo de una curva. Ahora aprenderemos a realizar la integración sobre una superficie en\(\mathbb{R}^3\), como una esfera o un paraboloide. Recordemos de la Sección 1.8 cómo identificamos puntos\((x, y, z)\) en una curva\(C\) en\(\mathbb{R}^3\), parametrizados por\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\), con los puntos terminales del vector de posición

    \[\nonumber \textbf{r}(t)= x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}+ z(t)\textbf{k} \text{ for }t \text{ in }[a,b].\]

    La idea detrás de una parametrización de una curva es que “transforma” un subconjunto de\(\mathbb{R}^ 1\) (normalmente un intervalo\([a,b]\)) en una curva en\(\mathbb{R}^ 2\) o\(\mathbb{R}^ 3\) (Figura\(\PageIndex{1}\)).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Parametrización de una curva\(C\) en\(\mathbb{R}^ 3\)

    Similar a como usamos una parametrización de una curva para definir la integral de línea a lo largo de la curva, usaremos una parametrización de una superficie para definir una integral de superficie. Utilizaremos dos variables,\(u \text{ and }v\), para parametrizar una superficie\(Σ\) en\(\mathbb{R}^ 3\):\(x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), \text{ for }(u,v)\) en alguna región\(R\) en\(\mathbb{R}^ 2\) (Figura\(\PageIndex{1}\)).

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Parametrización de una superficie\(Σ\) en\(\mathbb{R}^ 3\)

    En este caso, el vector de posición de un punto en la superficie\(Σ\) viene dado por la función de valor vectorial

    \[\nonumber \textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k} \text{ for }(u,v) \text{ in }R.\]

    Dado que\(\textbf{r}(u,v)\) es una función de dos variables, definir las derivadas parciales\(\dfrac{∂r}{ ∂u} \text{ and }\dfrac{∂r }{∂v}\) para\((u,v) \text{ in }R\) por

    \[\nonumber \begin{align}&\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u }(u,v)=\dfrac{∂x }{∂u} (u,v)\textbf{i}+\dfrac{∂y}{ ∂u} (u,v)\textbf{j}+\dfrac{∂z }{∂u} (u,v)\textbf{k},\text{ and} \\[4pt] \nonumber & \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v }(u,v) = \dfrac{∂x }{∂v} (u,v)\textbf{i}+\dfrac{∂y}{ ∂v} (u,v)\textbf{j}+\dfrac{∂z }{∂v} (u,v)\textbf{k} \\[4pt] \end{align}\]

    La parametrización de\(Σ\) puede considerarse como “transformando” una región en\(\mathbb{R}^2\) (en el\(uv\) plano) en una superficie bidimensional en\(\mathbb{R}^3\). Esta parametrización de la superficie a veces se llama parche, basado en la idea de “parchear” la región\(R\)\(Σ\) en la forma de rejilla que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    De hecho, esas líneas de cuadrícula nos\(R\) llevan a cómo vamos a definir una superficie integral sobre\(Σ\). A lo largo de las líneas de cuadrícula verticales en\(R\), la variable\(u\) es constante. Entonces esas líneas se mapean a curvas encendidas\(Σ\), y la variable\(u\) es constante a lo largo del vector de posición\(\textbf{r}(u,v)\). Así, el vector tangente a esas curvas en un punto\((u,v)\) es\(\dfrac{∂r}{ ∂v}\). Del mismo modo, las líneas de cuadrícula horizontales en se\(R\) mapean a curvas en\(Σ\) cuyos vectores tangentes se encuentran\(\dfrac{∂r}{ ∂u}\).

    Ahora tome un punto\((u,v)\) en\(R\) como, digamos, la esquina inferior izquierda de una de las secciones rectangulares de la rejilla en\(R\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Supongamos que este rectángulo tiene una pequeña anchura y altura de\(∆u \text{ and }∆v\), respectivamente. Los puntos de esquina de ese rectángulo son\((u,v), (u + ∆u,v), (u +∆u,v +∆v)\) y\((u,v +∆v)\). Entonces el área de ese rectángulo es\(A = ∆u∆v\). Entonces ese rectángulo se mapea por la parametrización sobre alguna sección de la superficie\(Σ\) que, por lo suficientemente\(∆u \text{ and }∆v\) pequeña, tendrá un área de superficie (llamarlo\(dσ\)) que está muy cerca del área del paralelogramo que tiene lados adyacentes\(\textbf{r}(u+∆u,v)−\textbf{r}(u,v)\) (correspondiente al segmento de línea de\((u,v) \text{ to }(u + ∆u,v) \text{ in }R\)) y\(\textbf{r}(u,v + ∆v) − \textbf{r}(u,v)\) (correspondiente al segmento de línea de\((u,v) \text{ to }(u,v + ∆v) \text{ in }R\)). Pero al combinar nuestra noción habitual de una derivada parcial (Definición 2.3 en la Sección 2.2) con la de la derivada de una función de valor vectorial (Definición 1.12 en la Sección 1.8) aplicada a una función de dos variables, tenemos

    \[\nonumber \begin{align} &\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \approx \dfrac{\textbf{r}(u +∆u,v)−\textbf{r}(u,v)}{∆u},\text{ and } \\[4pt] \nonumber &\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \approx \dfrac{\textbf{r}(u,v+∆v)−\textbf{r}(u,v)}{∆v}, \\[4pt] \end{align}\]

    y así el elemento de área de superficie\(dσ\) es aproximadamente

    \[\nonumber \lVert (\textbf{r}(u +∆u,v)−\textbf{r}(u,v))\times (\textbf{r}(u,v+∆v)−\textbf{r}(u,v)) \rVert \approx \Big \lVert (∆u \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} )\times (∆v \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} ) \Big \rVert = \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,∆u\,∆v\]

    por Teorema 1.13 en la Sección 1.4. Así, la superficie total\(S \text{ of }Σ\) es aproximadamente la suma de todas las cantidades\(\lVert \dfrac{ ∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \rVert \,∆u\,∆v\), sumadas sobre los rectángulos en\(R\). Tomando el límite de esa suma como la diagonal del rectángulo más grande va a 0 da

    \[S = \iint\limits_R \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}} {∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,du \,dv.\label{Eq4.26}\]

    Escribiremos la doble integral a la derecha usando la notación especial

    \[\iint\limits_Σ dσ = \iint\limits_R \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,du \,dv .\label{Eq4.27}\]

    Este es un caso especial de una superficie integral sobre la superficie\(Σ\), donde el elemento de área de superficie\(dσ\) puede considerarse como\(1dσ\). Sustituyendo 1 por una función general de valor real\(f (x, y, z)\) definida en\(\mathbb{R}^ 3\), tenemos lo siguiente:

    Definición: Integral de superficie

    Dejar\(Σ\) ser una superficie en\(\mathbb{R}^ 3\) parametrizada por\(x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), \text{ for }(u,v)\) en alguna región\(R\) en\(\mathbb{R}^ 2\). Dejar\(\textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k}\) ser el vector de posición para cualquier punto en\(Σ\), y dejar\(f (x, y, z)\) ser una función de valor real definida en algún subconjunto de\(\mathbb{R}^ 3\) que contiene\(Σ\). La integral superficial de\(f (x, y, z) \text{ over }Σ\) es

    \[\iint\limits_Σ f (x, y, z)\,dσ = \iint\limits_R f (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,du \,dv.\label{Eq4.28}\]

    En particular, la superficie\(S\)\(Σ\) de

    \[S = \iint\limits_Σ 1\,dσ .\label{Eq4.29}\]

    Ejemplo 4.9

    Un toro\(T\) es una superficie obtenida al girar un círculo de radio\(a\) en el\(yz\) plano -alrededor del\(z\) eje -eje, donde el centro del círculo está a una\(b\) distancia del\(z\) eje\((0 < a < b)\) -como en la Figura\(\PageIndex{3}\). Encuentra el área de superficie de\(T\).

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    Para cualquier punto del círculo, el segmento de línea desde el centro del círculo hasta ese punto forma un ángulo\(u\) con el\(y\) eje -en la\(y\) dirección positiva (Figura\(\PageIndex{3}\) (a)). Y a medida que el círculo gira alrededor del\(z\) eje -eje, el segmento de línea desde el origen hasta el centro de ese círculo barre un ángulo\(v\) con el\(x\) eje positivo (Figura\(\PageIndex{3}\) (b)). Así, el toro puede ser parametrizado como:

    \[\nonumber x = (b + a\cos u)\cos v ,\quad y = (b + a\cos u)\sin v ,\quad z = a\sin u,\quad 0 ≤ u ≤ 2π ,\quad 0 ≤ v ≤ 2π\]

    Así que para el vector de posición

    \[\nonumber \begin{align} \textbf{r}(u,v) &= x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k} \\[4pt] \nonumber &= (b + a\cos u)\cos v\textbf{i} + (b + a\cos u)\sin v\textbf{j} + a\sin u\textbf{k} \\[4pt] \end{align}\]

    vemos que

    \[\nonumber \begin{align}\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} &=−a\sin u \cos v\textbf{i} − a\sin u \sin v\textbf{j} + a\cos u\textbf{k} \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} &= −(b + a\cos u)\sin v\textbf{i} + (b + a\cos u)\cos v\textbf{j} + 0\textbf{k} , \\[4pt] \end{align}\]

    y así computar el producto cruzado da

    \[\nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} = −a(b + a\cos u)\cos v \cos u\textbf{i} − a(b + a\cos u)\sin v \cos u\textbf{j} − a(b + a\cos u)\sin u\textbf{k} ,\]

    que tiene magnitud

    \[\nonumber \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert = a(b + a\cos u) .\]

    Por lo tanto, la superficie de\(T\) es

    \[\nonumber \begin{align} S&= \iint\limits_Σ 1\,dσ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,du\, dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} a(b + a\cos u)\,du \,dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \left (abu + a^2 \sin u \Big |_{u=0}^{u=2\pi} \right ) \,dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} 2πab\, dv \\[4pt] \nonumber &=4π ^2 ab \\[4pt] \end{align}\]

    Dado que\(\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\text{ and }\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}\) son tangentes a la superficie\(Σ\) (es decir, se encuentran en el plano tangente\(Σ\) a en cada punto de\(Σ\)), entonces su producto transversal\(\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}\) es perpendicular al plano tangente a la superficie en cada punto de\(Σ\). Por lo tanto,

    \[\nonumber \iint\limits_Σ f (x, y, z)\,dσ = \iint\limits_R f (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\lVert \textbf{n} \rVert \,dσ ,\]

    donde\(\textbf{n} = \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}\). Decimos que n es un vector normal a\(Σ\).

    Recordemos que los vectores normales a un plano pueden apuntar en dos direcciones opuestas. Por un vector normal de unidad externa a una superficie\(Σ\), nos referiremos al vector unitario que es normal a\(Σ\) y apunta lejos de la “parte superior” (o parte “externa”) de la superficie. Esta es una definición nebulosa, pero la imagen en Figura\(\PageIndex{4}\) da una mejor idea de cómo se ven los vectores normales externos, en el caso de una esfera. Con esta idea en mente, hacemos la siguiente definición de una integral de superficie de un campo vectorial tridimensional sobre una superficie:

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Definición: integral de superficie de f sobre\(Σ\)

    Let\(Σ\) be a surface in\(\mathbb{R}^ 3\) and let\(\textbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z)\textbf{i}+ f_2(x, y, z)\textbf{j}+ f_3(x, y, z)\textbf{k}\) be a vector field defined on some subset of\(\mathbb{R}^ 3\) that contains\(Σ\). La integral de la superficie de f sobre\(Σ\) es

    \[\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} = \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot \textbf{n}\,dσ,\label{Eq4.30}\]

    donde, en cualquier punto de\(Σ\), n es el vector normal de unidad exterior a\(Σ\).

    Tenga en cuenta en la definición anterior que el producto punto dentro de la integral de la derecha es una función de valor real, y por lo tanto podemos usar la Definición 4.3 para evaluar la integral.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Evaluar la integral de superficie\(\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}\), donde\(\textbf{f}(x, y, z) = yz\textbf{i}+xz\textbf{j}+x y\textbf{k}\text{ and }Σ\) está la parte del plano\(x+ y+z = 1 \text{ with }x ≥ 0, y ≥ 0, \text{ and }z ≥ 0\), con la unidad exterior normal n apuntando en la\(z\) dirección positiva (Figura\(\PageIndex{5}\)).

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Solución:

    Ya que el vector v\(= (1,1,1)\) es normal al plano\(x+ y+ z = 1\) (¿por qué?) , luego dividiendo v por su longitud produce el vector normal unitario exterior n\(= \left ( \dfrac{ 1 }{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{ \sqrt{ 3}}\right ) \). Ahora necesitamos parametrizar\(Σ\). Como podemos ver en la Figura\(\PageIndex{5}\),\(Σ\) proyectarse sobre el\(x y\) plano produce una región triangular\(R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}\). Por lo tanto, usando\((u,v)\) en lugar de\((x, y)\), vemos que

    \[\nonumber x = u, y = v, z = 1−(u + v),\text{ for }0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1− u\]

    es una parametrización de\(Σ\) más\(R\) (desde\(z = 1−(x+ y)\) el encendido\(Σ\)). Así sucesivamente\(Σ\),

    \[\nonumber \begin{align} \textbf{f}\cdot \textbf{n} &=(yz, xz, x y)\cdot \left ( \dfrac{ 1 }{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{ \sqrt{ 3}} \right ) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(yz + xz + x y) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}((x+ y)z + x y) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)(1−(u + v))+ uv) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)−(u + v)^2 + uv) \\[4pt] \end{align}\]

    para\((u,v)\) adentro\(R\), y para\(\textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i}+ y(u,v)\textbf{j}+ z(u,v)\textbf{k} = u\textbf{i}+ v\textbf{j}+(1−(u + v))\textbf{k}\) tenemos

    \[\nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}=(1,0,−1)\times (0,1,−1) = (1,1,1)\, \Rightarrow \, \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert = \sqrt{3}.\]

    Por lo tanto, integrar sobre\(R\) el uso de cortes verticales (por ejemplo, como se indica por la línea discontinua en la Figura\(\PageIndex{5}\)) da

    \[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} &= \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot \textbf{n}\,dσ \\[4pt] \nonumber &=\iint\limits_R (\textbf{f}(x(u,v), y(u,v), z(u,v))\cdot \textbf{n}) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,dv\, du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \int_0^{1-u} \dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)−(u + v)^2 + uv) \sqrt{ 3}\,dv\, du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{(u + v)^2}{ 2}-\dfrac{(u + v)^3}{ 3}+\dfrac{uv^2}{ 2} \Big |_{v=0}^{v=1-u} \right )\,du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{1}{6}+\dfrac{u}{2} -\dfrac{3u^2}{2}+\dfrac{5u^3}{6} \right )\,du \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{u}{6} +\dfrac{u^2}{4}-\dfrac{u^3}{2}+\dfrac{5u^4}{24} \Big |_0^1 =\dfrac{1}{8} \\[4pt] \end{align}\]

    Calcular integrales de superficie a menudo puede ser tedioso, especialmente cuando la fórmula para el vector normal de la unidad exterior en cada punto de\(Σ\) cambios. El siguiente teorema proporciona una manera más fácil en el caso cuando\(Σ\) es una superficie cerrada, es decir, cuando\(Σ\) encierra un sólido acotado en\(\mathbb{R}^ 3\). Por ejemplo, las esferas, los cubos y los elipsoides son superficies cerradas, pero los planos y los paraboloides no lo son.

    Teorema de Divergencia

    Dejar\(Σ\) ser una superficie cerrada en la\(\mathbb{R}^ 3\) que delimita un sólido\(S\), y dejar\(\textbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z)\textbf{i}+ f_2(x, y, z)\textbf{j}+ f_3(x, y, z)\textbf{k}\) ser un campo vectorial definido en algún subconjunto del\(\mathbb{R}^ 3\) que contiene\(Σ\). Entonces

    \[\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} = \iiint\limits_S \text{div}\,\textbf{f}\,dV,\label{Eq4.31}\]

    donde

    \[\text{div}\,\textbf{f} = \dfrac{∂f_1}{ ∂x}+\dfrac{∂f_2}{ ∂y}+\dfrac{∂f_3}{ ∂z}\label{Eq4.32}\]

    se llama la divergencia de f.

    La prueba del Teorema de la Divergencia es muy similar a la prueba del Teorema de Green, es decir, primero se prueba para el caso simple cuando el sólido\(S\) está delimitado arriba por una superficie, limitado por debajo por otra superficie, y limitado lateralmente por una o más superficies. La prueba puede entonces extenderse a sólidos más generales.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Evaluar\(\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}\), donde\(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z\textbf{k}\text{ and }Σ\) esta la esfera unitaria\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).

    Solución:

    Vemos que div f = 1+1+1 = 3, entonces

    \[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}&=\iiint\limits_S \text{ div }\textbf{f}\,dV = \iiint\limits_S 3\,dV \\[4pt] \nonumber &=3\iiint\limits_S 1\,dV = 3\text{ vol}(S) = 3\cdot \dfrac{4π(1)^3}{3} = 4\pi. \\[4pt] \end{align}\]

    En aplicaciones físicas, la integral de superficie a menudo\(\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}\) se conoce como el flujo de f a través de la superficie\(Σ\). Por ejemplo, si f representa el campo de velocidad de un fluido, entonces el flujo es la cantidad neta de fluido que fluye a través de la superficie\(Σ\) por unidad de tiempo. Un flujo positivo significa que hay un flujo neto fuera de la superficie (es decir, en la dirección del vector normal unitario hacia afuera n), mientras que un flujo negativo indica un flujo neto hacia adentro (en la dirección de − n).

    El término divergencia proviene de interpretar div f como una medida de cuánto “diverge” un campo vectorial de un punto. Esto se ve mejor usando otra definición de div f que es equivalente a la definición dada por la ecuación\ ref {Eq4.32}. Es decir, para un punto\((x, y, z)\) en\(\mathbb{R}^ 3\),

    \[\text{div }\textbf{f}(x, y, z) =\lim\limits_{V \to 0} \dfrac{1}{V} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ},\label{Eq4.33}\]

    donde\(V\) es el volumen encerrado por una superficie cerrada\(Σ\) alrededor del punto\((x, y, z)\). En el límite,\(V → 0\) significa que tomamos superficies cerradas cada vez más pequeñas alrededor\((x, y, z)\), lo que significa que los volúmenes que encierran van a cero. Se puede demostrar que este límite es independiente de las formas de esas superficies. Observe que el límite que se está tomando es de la relación entre el flujo a través de una superficie y el volumen encerrado por esa superficie, lo que da una medida aproximada del flujo “dejando” un punto, como mencionamos. Los campos vectoriales que tienen divergencia cero a menudo se denominan campos solenoidales.

    El siguiente teorema es una consecuencia simple de la Ecuación\ ref {Eq4.33}.

    Teorema

    Si el flujo de un campo vectorial f es cero a través de cada superficie cerrada que contiene un punto dado, entonces div f = 0 en ese punto.

    Prueba: Por Ecuación\ ref {Eq4.33}, en el punto dado\((x, y, z)\) tenemos

    \[\nonumber \begin{align}\text{div }\textbf{f}(x, y, z) &= \lim\limits_{V \to 0} \dfrac{1}{V}\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} \text{ for closed surfaces }Σ\text{ containing }(x, y, z),\text{ so} \\[4pt] \nonumber &=\lim\limits_{V \to 0}\dfrac{1}{V}(0) \text{ by our assumption that the flux through each }Σ\text{ is zero, so} \\[4pt] \nonumber &=\lim\limits_{V \to 0} 0 \\[4pt] \nonumber &=0 \\[4pt] \end{align}\]

    \(\tag{\(\textbf{QED}\)}\)

    Por último, observamos que a veces la notación

    alt

    se utiliza para denotar integrales superficiales de campos escalar y vectoriales, respectivamente, sobre superficies cerradas. Especialmente en los textos de física, es más común ver\(\oint\limits_Σ\) en su lugar.

    Colaboradores y Atribuciones


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