1.2: Tasas de cambio

Supongamos que\(x(t)\) da la posición, en algún momento\(t,\) de un objeto (como la flecha de Zenón) moviéndose a lo largo de una línea recta. El problema que enfrentamos es el de darle un significado determinado a la idea de la velocidad del objeto en un instante específico del tiempo. Primero notamos que no enfrentamos dificultades lógicas para definir una velocidad promedio en un intervalo de tiempo de longitud distinta de cero. Es decir, si\(a<b,\) entonces el objeto recorre una distancia

\[\Delta x=x(b)-x(a)\]

de vez\(t=a\) en cuando\(t=b,\) un intervalo de tiempo de longitud\(\Delta t=b-a,\) y, en consecuencia, la velocidad promedio del objeto a lo largo de este intervalo de tiempo es

\[v_{[a, b]}=\frac{x(b)-x(a)}{b-a}=\frac{\Delta x}{\Delta t} .\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que un objeto, como una bola de plomo, se deja caer desde una altura de 100 metros. Ignorando la resistencia del aire, la altura de la bola sobre la tierra después de\(t\) segundos viene dada por

\ [ x (t) =100-4.9 t^ {2}\ text {metros}, \] un resultado descubierto por primera vez por Galileo. De ahí, por ejemplo, de vez\(t=0\) en cuando\(t=2\) tenemos \ [ \ Delta x=x (2) -x (0) =( 100- (4.9) (4)) -100=-19.6\ text {metros}, \] \ [ \ Delta t=2-0=2\ text {segundos}, \] y así \ [ v_ {[0,2]} =-\ frac {19.6} {2} =-9.8\ text {metros/segundo.} \] Para otro ejemplo , de vez\(t=1\) en cuando\(t=4\) tenemos \ [ \ Delta x=x (4) -x (1) =21.6-95.1=-73.5, \]\ [ \ Delta t=4-1=3\ text {segundos}, \] y así \ [ v_ {[1,4]} =-\ frac {73.5} {3} =-24.5\ text {metros/segundo.} \] Obsérvese que ambos promedian las velocidades son negativas porque hemos tomado la dirección positiva para estar hacia arriba desde la superficie de la tierra.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que una bola de plomo se deja caer en un pozo. Ignorando la resistencia del aire, la pelota habrá caído una distancia\(x(t)=16 t^{2}\) pies después de\(t\) segundos. Encuentra la velocidad promedio de la pelota a lo largo de los intervalos (a)\([0,2],\) (b)\([1,3],\) y\((\mathrm{c})\)\([1,1.5] .\)

Responder

(a) 32 pies por segundo, (b) 64 pies por segundo, (c) 40 pies por segundo

Dejando\(\Delta t=b-a,\) que podamos reescribir\((1.2 .2)\) en el formulario

\ [ v_ {[a, a+\ Delta t]} =\ frac {x (a+\ Delta t) -x (a)} {\ Delta t}. \] Usando\((1.2 .3),\) hay dos enfoques para generalizar la noción de velocidad promedio en un intervalo a la de velocidad en un instante. El enfoque más común, al menos desde mediados del siglo XIX, es considerar el efecto sobre\(v_{[a, a+\Delta t]}\) como\(\Delta t\) disminuye en magnitud y definir la velocidad en el momento\(t=a\) como el valor limitante de estas velocidades promedio. El enfoque que vamos a tomar en este texto es considerar lo que sucede cuando tomamos\(a\) y\(b\) estar, aunque no iguales, inconmensurablemente cercanos entre sí.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si tenemos, como en el ejemplo anterior,

\[x(t)=100-4.9 t^{2} \text { meters } ,\]

entonces de vez\(t=1\) en cuando\(t=1+\Delta t\) tendríamos

\[\begin{aligned} \Delta x &=x(1+\Delta t)-x(1) \\ &=\left(100-4.9(1+\Delta t)^{2}\right)-95.1 \\ &=4.9-4.9\left(1+2 \Delta t+(\Delta t)^{2}\right) \\ &=-9.8 \Delta t-4.9(\Delta t)^{2} \text { meters. } \end{aligned}\]

Por lo tanto, la velocidad promedio en el intervalo\([1,1+\Delta t]\) es

\[\begin{aligned} v_{[1,1+\Delta t]} &=\frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &=\frac{-9.8 \Delta t-4.9(\Delta t)^{2}}{\Delta t} \\ &=-9.8-4.9 \Delta t \text { meters / second. } \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que si, por ejemplo,\(\Delta t=3,\) entonces encontramos

\[v_{[1,4]}=-9.8-(4.9)(3)=-9.8-14.7=-24.5 \text { meters/second, } \]

de acuerdo con nuestros cálculos anteriores.

Ahora supongamos que la hora de inicio\(a=1\) y la hora de finalización\(b\) son diferentes, pero la diferencia es tan pequeña que no se puede medir por ningún número real. En este caso, llamamos\(d t=b-a\) infinitesimal. Similar a nuestros cálculos anteriores, tenemos

\[d x=x(1+d t)-x(1)=-9.8 d t-4.9(d t)^{2} \text { meters, }\]

la distancia recorrida por el objeto de vez\(t=1\) en cuando\(t=1+d t,\) y

\[v_{[1,1+d t]}=\frac{d x}{d t}=-9.8-4.9 d t \text { meters / second, }\]

la velocidad promedio del objeto sobre el intervalo\([1,1+d t] .\) Sin embargo, ya que\(d t\) es infinitesimal, así es\(4.9 d t .\) De ahí que\(v[1,1+d t]\) esté inconmensurablemente cerca de\(-9.8\) metros por segundo. Además, esto es cierto sin importar cuál sea el valor particular de\(d t\). Por lo tanto, debemos tomar la velocidad instantánea del objeto en el momento\(t=1\) para ser

\[v(1)=-9.8 \text { meters/second. }\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Al igual que en el ejercicio anterior, supongamos que una pelota de plomo ha caído\(x(t)=16 t^{2}\) pies en\(t\) segundos. Encuentra la velocidad promedio de la pelota a lo largo del intervalo\([1,1+\Delta t]\) y usa este resultado para obtener las respuestas a partes\((\mathrm{b})\) y\((c)\) del ejercicio anterior.

Responder

\(v_{[1,1+\Delta t]}=32+16 \Delta t\)pies por segundo

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la velocidad promedio de la pelota en el ejercicio anterior sobre el intervalo\([1,1+d t],\) donde\(d t\) es infinitesimal, y usa el resultado para encontrar la velocidad instantánea de la pelota en el momento\(t=1\).

Responder

\(v_{[1,1+d t]}=32+16 d t\)pies por segundo,\(v(1)=32\) pies por segundo

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Para encontrar la velocidad del objeto de los ejemplos anteriores en el momento\(t=3,\) calculamos

\ [ \ begin {alineado} d x &=x (3+d t) -x (3)\\ &=\ izquierda (100-4.9 (3+d t) ^ {2} -55.9\ derecha.\\ &=44.1-4.9\ izquierda (9+6 d t+\ izquierda (d t^ {2}\ derecha)\ derecha)\\ &=-29.4 d t-4.9 (d t) ^ {2}\ texto {metros,}\ end {alineado} \] del que obtenemos \ [ \ frac {d x} {d t} =-29.4-4.9 d t\ text {metros/ segundo.} \] Como antes, hacemos caso omiso de lo inconmensurable\(-4.9 d t\) para obtener la velocidad del objeto en el tiempo\(t=3:\) \ [ v (3) =-29.4\ mathrm {metros}/\ mathrm {segundo.} \]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la velocidad de la pelota en el ejercicio anterior a la vez\(t=2\).

Responder

\(v(2)=64\)pies por segundo

En general, si\(x(t)\) da la posición, en el momento\(t,\) de que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, entonces definimos la velocidad del objeto\(t\) a la vez para que sea el número real que está infinitesimalmente cercano a

\ [ \ frac {x (t+d t) -x (t)} {d t}, \] siempre que haya exactamente uno de esos números para cualquier valor del infinitesimal distinto de cero\(d t .\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Para nuestro ejemplo anterior, encontramos

\ [ \ begin {alineado} d x &=x (t+d t) -x (t)\\ &=\ izquierda (100-4.9 (t+d t) ^ {2}\ derecha) -\ izquierda (100-4.9 t^ {2}\ derecha)\\ &=-4.9\ izquierda (t+2 t d t+ (d t) ^ {2}\ derecha) -4.9 t^ {2}\ &=-9.8 t d t-4.9 (d t) ^ {2}\ text {metros}\\ & =( -9.8 t-4.9 d t) d t. \ end {alineado} \] De ahí \ [ \ frac {d x} {d t} =-9.8 t-4.9 d t\ text {metros/segundo,} \] y así la velocidad del objeto en el tiempo\(t\) es \ [ v (t) =-9.8 t\ text {metros/segundo.} \] En particular, \ [ v (1) =-9.8\ text {metros/segundo} \] y \ [ v (3) =-9.8 (3) =-29.4\ text {metros}/\ text {segundo,} \] como se computó previamente.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la velocidad de la pelota en el ejercicio anterior a la vez\(t\). Usa tu resultado para verificar tus respuestas anteriores para\(v(1)\) y\(v(2)\).

Responder

\(v(t)=32 t\)pies por segundo

Aún más generalmente, debemos reconocer que la velocidad no es más que un ejemplo particular de una tasa de cambio, es decir, la velocidad de cambio de la posición de un objeto con respecto al tiempo. En general, dada cualquier cantidad\(y\) en función de otra cantidad\(x,\) digamos\(y=f(x)\) para alguna función\(f,\) podemos preguntar sobre la tasa de cambio de\(y\) con respecto a\(x .\) Si\(x\) cambia de\(x=a\) a\(x=b\) y dejamos

\ [ \ Delta x=b-a \] y \ [ \ Delta y=f (b) -f (a) =f (a+\ Delta x) -f (x), \] entonces \ [ \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} =\ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \] es la tasa promedio de cambio de\(y\) con respecto a\(x ;\) si\(d x\) es un distinto de cero infinitesimal, luego el número real que es infinitesimalmente cercano a \ [\ frac {d y} {d x} =\ frac {f (x+d x) -f (x)} {d x} \] es la tasa instantánea de cambio, o, simplemente, tasa de cambio, de\(y\) con respecto a\(x\) at\(x=a\) En secciones subsiguientes veremos esta cantidad con más detalle, pero consideraremos una más ejemplo antes de ahondar en tecnicismos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que un globo de forma esférica se está llenando de agua. Si\(r\) es el radio del globo en centímetros y\(V\) es el volumen del globo, entonces

\ [ V=\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}\ texto {centímetros} ^ {3}. \] ya que un centímetro cúbico de agua tiene una masa de 1 gramo, la masa del agua en el globo es \ [ M=\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}\ text {gramos.} \]

Para encontrar la tasa de cambio de la masa del globo con respecto al radio del globo, primero calculamos

\ [ \ begin {alineado} d M &=\ frac {4} {3}\ pi (r+d r) ^ {3} -\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}\ &=\ frac {4} {3}\ pi\ left (\ left (r^ {3} +3 r^ {2} d r+3 r (d r) ^ {2} + (d r) ^ {3}\ derecha) -r^ {3}\ derecha)\\ &=\ frac {4} {3}\ pi\ izquierda (3 r^ {2} +3 r d r+ (d r) ^ {2}\ derecha) d r\ texto {gramos.}\ end {alineado} \] de lo que sigue que \ [ \ frac {d M} {d r} =\ frac {4} {3}\ pi\ left (3 r^ {2} +3 r d r+ (d r) ^ {2}\ derecha)\ text {gramos/centímetro.} \] ya que ambos\(3 r d r\) y\((d r)^{2}\) son infinitesimales, la tasa de cambio de masa del globo con respecto al radio del globo es \ [ \ frac {4} {3}\ pi\ izquierda (3 r^ {2}\ derecha) =4\ pi r^ {2}\ text {gams/centimeer.} \] Por ejemplo, cuando el globo tiene un radio de 10 centímetros, la masa del agua en el globo va aumentando a un ritmo de \ [ 4\ pi (10) ^ {2} =400\ pi\ text {gramos}/\ text {centímetro.} \] Puede que no sea sorprendente que esta sea también la superficie del globo en ese instante.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Mostrar que si\(A\) es el área de un círculo con radio\(r,\) entonces\(\frac{d A}{d r}=2 \pi r\).