2.4: El teorema fundamental de las integrales

El teorema principal de esta sección es clave para comprender la importancia de las integrales definidas. En particular, lo vamos a invocar en el desarrollo de nuevas aplicaciones para integrales definidas. Además, lo usaremos para verificar el teorema fundamental del cálculo.

Primero necesitamos alguna nueva notación y terminología. Supongamos que\(\epsilon\) es un infinitesimal distinto de cero. Intuitivamente,\(\epsilon\) es infinitamente más pequeño que cualquier número real distinto de cero. Una forma de expresar esto es señalar que para cualquier número real distinto de cero\(r\), es\[\frac{\epsilon}{r} \simeq 0 ,\] decir, la relación de\(\epsilon\) a\(r\) es infinitesimal. Ahora también tenemos es\[\frac{\epsilon^{2}}{\epsilon}=\epsilon \simeq 0 ,\] decir, la proporción de\(\epsilon^{2}\) a\(\epsilon\) es un infinitesimal. Intuitivamente, esto significa que\(\epsilon^{2}\) es infinitamente más pequeño que\(\epsilon\) él mismo. Esto está relacionado con un hecho sobre números reales: Para cualquier número real\(r\) con\(0<r<1, r^{2}\) es menor que\(r .\) Por ejemplo, si\(r=0.01,\) entonces\(r^{2}=0.0001\).

Definición

Dado un número hiperreal distinto de cero\(\epsilon,\) decimos que otro número hiperreal\(\delta\) es de un orden menor que\(\epsilon\) si\(\frac{\delta}{\epsilon}\) es un infinitesimal, en cuyo caso escribimos\(\delta \sim o(\epsilon) .\)

En otras palabras, tenemos\[\delta \sim o(\epsilon) \text { if and only if } \frac{\delta}{\epsilon} \simeq 0 .\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\(\alpha\) es algún infinitesimal, que\(\alpha \sim o(1)\) ya\(\frac{\alpha}{1}=\alpha\) es un infinitesimal.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(\epsilon\) es cualquier infinitesimal distinto de cero, entonces\(\epsilon^{2} \sim o(\epsilon)\) desde

\[\frac{\epsilon^{2}}{\epsilon}=\epsilon \simeq 0 .\]

Ahora supongamos que\(N\) es un entero infinito positivo,\(\epsilon=\frac{1}{N},\) y\(\delta_{i} \sim o(\epsilon)\) para\(i=1,2, \ldots, N .\) Entonces, para cualquier número real positivo\(r,\)

\[\frac{\left|\delta_{i}\right|}{\epsilon}<r ,\]y así\[\sum_{i=1}^{N} \frac{\left|\delta_{i}\right|}{\epsilon}<r N .\] multiplicando ambos lados por\(\epsilon,\) tenemos\[\sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right|<r N \epsilon=r N \frac{1}{N}=r .\] Dado que esto sostiene para todos los números reales positivos\(r,\) se deduce que\(\sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right|\) es un infinitesimal. Ahora\[\left|\sum_{i=1}^{N} \delta_{i}\right| \leq \sum_{i=1}^{N}\left|\delta_{i}\right| ,\] y así podemos concluir que\(\sum_{i=1}^{n} \delta_{i}\) es un infinitesimal. En palabras, la suma de\(N\) infinitesimales de orden menor que\(\frac{1}{N}\) sigue siendo un infinitesimal. Ahora supongamos que\(B\) es una función que para cualquier número real\(a<b\) en un intervalo abierto\(I\) asigna un valor\(B(a, b) .\) Además, supongamos\(B\) tiene las siguientes dos propiedades: • para cualquiera\(a<c<b\) en\(I, B(a, b)=B(a, c)+B(c, b),\) y • para alguna función continua\(h\) y cualquier distinto de cero infinitesimal\(d x\),\[B(x, x+d x)-h(x) d x \sim o(d x) \] para cualquiera\(x\) en\(I\). Para un entero infinito positivo\(N,\) let\(d x=\frac{b-a}{N}\) y let\[a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{N}=b \] ser una partición de\([a, b]\) en intervalos\(N\) iguales de longitud\(d x .\) Entonces\[\begin{aligned} B(a, b) &=B\left(x_{0}, x_{1}\right)+B\left(x_{1}, x_{2}\right)+B\left(x_{2}, x_{3}\right)+\cdots+B\left(x_{N-1}, x_{N}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right) \\ &\left.=\sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+h\left(x_{i-1}\right) d x\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+\sum_{i=1}^{N} h\left(x_{i-1}\right) d x \\ & \simeq \sum_{i=1}^{N}\left(B\left(x_{i-1}, x_{i-1}+d x\right)-h\left(x_{i-1}\right) d x\right)+\int_{a}^{b} h(x) d x .\end{aligned} \] Dado que la suma final a la derecha es la suma de\(N\) infinitesimales de orden menor de\(\frac{1}{N},\) lo que sigue que \[B(a, b)=\int_{a}^{b} h(x) d x .\]Este resultado es básico para comprender tanto el cálculo de integrales definidas como sus aplicaciones. Lo llamamos el teorema fundamental de las integrales.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(B\) es una función que para cualquier número real\(a<b\) en un intervalo abierto\(I\) asigna un valor\(B(a, b)\) y satisface

• para cualquiera\(a<c<b\) en\(I, B(a, b)=B(a, c)+B(c, b),\) y • para alguna función continua\(h\) y cualquier infinitesimal distinto de cero\(d x\),\[B(x, x+d x)-h(x) d x \sim o(d x)\] para cualquiera\(x\) en\(I\). Entonces\[B(a, b)=\int_{a}^{b} h(x) d x\] para cualquier número real\(a\) y\(b\) en\(I\).

Analizaremos varias aplicaciones de integrales definidas en la siguiente sección. Por ahora, observamos cómo este teorema proporciona un método para evaluar integrales. Es decir, dada una función\(f\) que es diferenciable en un intervalo abierto\(I,\) definir, para cada\(a<b\) en\(I\),

\[B(a, b)=f(b)-f(a).\]Entonces, para cualquiera\(a, b,\) y\(c\)\(I\) con\(a<c<b\),\[\begin{aligned} B(a, b) &=f(b)-f(a) \\ &=(f(b)-f(c))+(f(c)-f(a)) \\ &=B(a, c)+B(c, b). \end{aligned}\] Por otra parte, para cualquier infinitesimal\(d x\) y cualquiera\(x\) en\(I\),\[\frac{B(x, x+d x)}{d x}=\frac{f(x+d x)-f(x)}{d x} \simeq f^{\prime}(x),\] de lo que se deduce que\[\frac{B(x, x+d x)-f^{\prime}(x) d x}{d x}\] es un infinitesimal. De ahí\[B(x, d x)-f^{\prime}(x) d x \sim o(d x),\] y así se deduce del Teorema 2.4.1 que\[f(b)-f(a)=B(a, b)=\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x,\] Este es el teorema fundamental del cálculo.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(f\) es diferenciable en un intervalo abierto\(I,\) entonces para cada\(a<b\) entrada\(I\),

\[\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a).\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar

\[\int_{0}^{1} x d x,\]primero notamos que\(g(x)=x\) es la derivada de\(f(x)=\frac{1}{2} x^{2} .\) Por lo tanto, por Teorema\(2.4 .2,\)\[\int_{0}^{1} x d x=f(1)-f(0)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\] Vamos\[\left.f(x)\right|_{a} ^{b}=f(b)-f(a)\] a escribir para simplificar la notación para evaluar una integral usando Teorema\(2.4 .2 .\) Con esta notación, el ejemplo anterior se vuelve\[\int_{0}^{1} x d x=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Desde

\[\int x^{2} d x=\frac{1}{3} x^{3}+c,\]tenemos\[\int_{1}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{1} ^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Desde

\[\int-20 \sin (5 x) d x=4 \cos (5 x)+c,\]tenemos\[\int_{0}^{2 \pi}-20 \sin (5 t) d t=\left.4 \cos (5 t)\right|_{0} ^{2 \pi}=4-4=0.\] Nótese que si consideramos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad\(v(t)=-20 \sin (5 t),\) entonces esta integral definida computa el cambio de posición del objeto de vez\(t=0\)\(t=2 \pi .\) en cuando En este caso, el objeto, aunque siempre en movimiento, está en el mismo posición en el tiempo\(t=2 \pi\) como lo era en el momento\(t=2 \pi\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Evaluar\(\int_{0}^{1} x^{4} d x\).

Responder

\(\int_{0}^{1} x^{4} d x=\frac{1}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Evaluar\(\int_{0}^{\pi} \sin (x) d x\).

Responder

\(\int_{0}^{\pi} \sin (x) d x=2\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que la velocidad de un objeto que se mueve por una línea recta es de\(v(t)=10 \sin (t)\) centímetros por segundo. Encuentra el cambio de posición del objeto de vez\(t=0\) en cuando\(t=\pi\).

Responder

20 centímetros