3.E: Aplicaciones del Comportamiento Gráfico de Funciones (Ejercicios)
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Términos y Conceptos
1. Describa lo que es un “valor extremo” de una función en sus propias palabras.
2. Dibuja la gráfica de una función\(f\) en (-1,1) que tenga tanto un valor máximo como mínimo.
3. Describe la diferencia entre máximos absolutos y relativos en tus propias palabras.
4. Dibuja el gráfico de una función\(f\) donde\(f\) tiene un máximo relativo en\(x=1\) y no\(f'(1)\) está definido.
5. T/F: Si\(c\) es un valor crítico de una función\(f\), entonces\(f\) tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en\(x=c\).
Problemas
En los Ejercicios 6-7, identificar cada uno de los puntos marcados como un máximo y mínimo absoluto, un máximo o mínimo relativo, o ninguno de los anteriores.
6.
7.
En los Ejercicios 8-14, evalúe\(f'(x)\) en los puntos indicados en la gráfica.
8. \(f(x)=\frac{2}{x^2+1}\)
9. \(f(x) = x^2\sqrt{6-x^2}\)
10. \(f(x)=\sin x\)
11. \(f(x) = x^2\sqrt{4-x}\)
12. \(f(x) =\begin{cases} x^2 \quad &x\le 0 \\ x^5 &x>0 \end{cases}\)
13. \(f(x) =\begin{cases} x^2 \quad &x\le 0 \\ x &x>0 \end{cases}\)
14. \(f(x) = \frac{(x-2)^{2/3}}{x}\)
En Ejercicios 15-24, encuentra los valores extremos de la función en el intervalo dado.
15. \(f(x) =x^2+x+4\text{ on }[-1,2]\).
16. \(f(x) =x^3-\frac{9}{2}x^2-30x+3\text{ on }[0,6]\).
17. \(f(x) =3\sin x\text{ on }[\pi/4,2\pi/3]\).
18. \(f(x) =x^2\sqrt{4-x^2}\text{ on }[-2,2]\).
19. \(f(x) =x+\frac{3}{x}\text{ on }[1,5]\).
20. \(f(x) =\frac{x^2}{x^2+5}\text{ on }[-3,5]\).
21. \(f(x) =e^x\cos x\text{ on }[0,\pi]\).
22. \(f(x) =e^x\sin x\text{ on }[0,\pi]\).
23. \(f(x) =\frac{\ln x}{x}\text{ on }[1,4]\).
24. \(f(x) =x^{2/3}-x\text{ on }[0,2]\).
Revisar
25. Encontrar\(\frac{dy}{dx}\), dónde\(x^2y-y^2x=1\).
26. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(x^2+y^2+xy=7\) en el punto\((1,2)\).
27. Vamos\(f(x)=x^3+x\). Evaluar\(\lim\limits_{s\to 0} \frac{f(x+s)-f(x)}{s}\).
3.2: El teorema del valor medio
Términos y Conceptos
1. Explica con tus propias palabras lo que afirma el Teorema del Valor Medio.
2. Explica con tus propias palabras lo que afirma el Teorema de Rolle.
Problemas
En los Ejercicios 3-10, se dan una función\(f(x)\) e intervalo [a, b]. Comprobar si el Teorema de Rolle se puede aplicar al\(f\) [a, b]; si es así, encontrar\(c\) en [a, b] tal que\(f'(c)=0\).
3. \(f(x) =6\text{ on }[-1,1]\).
4. \(f(x) =6x\text{ on }[-1,1]\).
5. \(f(x) =x^2+x-6\text{ on }[-3,2]\).
6. \(f(x) =x^2+x-2\text{ on }[-3,2]\).
7. \(f(x) =x^2+x\text{ on }[-2,2]\).
8. \(f(x) =\sin x \text{ on }[\pi/6,5\pi/6]\).
9. \(f(x) =\cos x\text{ on }[0,\pi]\).
10. \(f(x) =\frac{1}{x^2-2x+1}\text{ on }[0,2]\).
En los Ejercicios 11-20, se dan una función\(f(x)\) e intervalo [a, b]. Comprobar si el Teorema del Valor Medio se puede aplicar al [a\(f\), b]; si es así, encuentre un valor\(c\) en [a, b] garantizado por el Teorema del Valor Medio.
11. \(f(x) =x^2+3x-1\text{ on }[-2,2]\).
12. \(f(x) =5x^2-6x+8\text{ on }[0,5]\).
13. \(f(x) =\sqrt{9-x^2}\text{ on }[0,3]\).
14. \(f(x) =\sqrt{25-x}\text{ on }[0,9]\).
16. \(f(x) =\ln x\text{ on }[1,5]\).
17. \(f(x) =\tan x\text{ on }[\pi/4, \pi/4]\).
18. \(f(x) =x^3-2x^2+x+1\text{ on }[-2,2]\).
19. \(f(x) =2x^3-5x^2+6x+1\text{ on }[-5,2]\).
20. \(f(x) =\sin^{-1}x\text{ on }[-1,1]\).
Revisar
21. Encuentra los valores extremos de\(f(x)=x^2-3x+9\text{ on }[-2,5]\).
22. Describir los puntos críticos de\(f(x) =\cos x\).
23. Describir los puntos críticos de\(f(x)=\tan x\).
3.3: Funciones crecientes y decrecientes
Términos y Conceptos
1. En sus propias palabras describa lo que significa para una función estar aumentando.
2. ¿Qué aspecto tiene una función decreciente?
3. Dibuja una gráfica de una función en [0,2] que está aumentando pero no estrictamente en aumento.
4. Dar un ejemplo de una función describiendo una situación en la que es “malo” estar aumentando y “bueno” estar disminuyendo.
5. Una función f tiene derivada\(f ′ (x) = (\sin x + 2)e^{x^2+1}\), donde\(f ′ (x) > 1\) para todos\(x\). ¿Está\(f\) aumentando, disminuyendo, o no podemos decir por la información dada?
Problemas
En los Ejercicios 6-13,\(f(x)\) se da una función.
(a) Cómputos\(f'(x)\).
(b) Gráfica\(f\) y\(f'\) sobre los mismos ejes (se permite el uso de la tecnología) y verificar el Teorema 29.
6. \(f(x) =3x+4\)
7. \(f(x) =x^2-3x+5\)
8. \(f(x) =\cos x\)
9. \(f(x) =\tan x\)
10. \(f(x) =x^3-5x^2+7x-1\)
11. \(f(x) =2x^3-x^2+x-1\)
12. \(f(x) =x^4-5x^2+4\)
13. \(f(x) =\frac{1}{x^2+1}\)
En los Ejercicios 14-23,\(f(x)\) se da una función.
(a) Dar el dominio de\(f\).
(b) Encontrar los números críticos de\(f\).
c) Crear una línea numérica para determinar los intervalos en los que\(f\) va en aumento y decreciente.
(d) Utilizar la Prueba de Primera Derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo relativo, mínimo o ninguno de los dos.
14. \(f(x) =x^2+2x-3\)
15. \(f(x) =x^3+3x^2+3\)
16. \(f(x) =2x^3+x^2+3\)
17. \(f(x) =x^3-3x^2+3x-1\)
18. \(f(x) =\frac{1}{x^2-2x+2}\)
19. \(f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}\)
20. \(f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}\)
21. \(f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}\)
22. \(f(x) =\sin x\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)
23. \(f(x) = 5x^2-5x\)
Revisar
24. Considerar\(f(x)=x^2-3x+5\) en [-1,2]; encontrar\(c\) garantizado por el Teorema del Valor Medio.
25. Considerar\(f(x)=\sin x\text{ on }[-\pi/2, \pi/2]\); encontrar\ (c) garantizado por el Teorema del Valor Medio.
3.4: Concavidad y Segunda Derivada
Términos y Conceptos
1. Dibuja una gráfica de una función\(f(x)\) que sea cóncava hacia arriba en (0,1) y que sea cóncava hacia abajo en (1,2).
2. Esbozar una gráfica de una función\(f(x)\) que sea:
(a) Aumentando, cóncava hacia arriba en (0,1),
(b) creciente, cóncava hacia abajo en (1,2),
(c) decreciente, cóncava hacia abajo en (2,3) y
(d) creciente, cóncava hacia abajo en (3,4).
3. ¿Es posible que una función sea creciente y cóncava hacia abajo\((0,\infty)\) con una asíntota horizontal de\(y=1\)? Si es así, dé un boceto de tal función.
4. ¿Es posible que una función sea creciente y cóncava\((0,\infty)\) con una asíntota horizontal de\(y=1\)? Si es así, dé un boceto de tal función.
Problemas
En Ejercicios 5-15,\(f(x)\) se da una función.
(a) Cómputos\(f''(x)\).
(b) Gráfica\(f \text{ and }f''\) sobre los mismos ejes (se permite el uso de tecnología) y verificar el Teorema 31.
5. \(f(x)=-7x+3\)
6. \(f(x)=-4x^2+3x-8\)
7. \(f(x)=4x^2+3x-8\)
8. \(f(x)=x^3-3x^2+x-1\)
9. \(f(x)=-x^3+x^2-2x+5\)
10. \(f(x)=\cos x\)
11. \(f(x)=\sin x\)
12. \(f(x) =\tan x\)
13. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
14. \(f(x) =\frac{1}{x}\)
15. \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)
En los Ejercicios 16-28,\(f(x)\) se da una función.
(a) Encontrar posibles puntos de inflexión de\(f\)
(b) Crear una línea numérica para determinar los intervalos en los que\(f\) es cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo.
16. \(f(x)=x^2-2x+1\)
17. \(f(x)=-x^2-5x+7\)
18. \(f(x)=x^3-x+1\)
19. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)
20. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)
21. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)
22. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)
23. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
24. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)
25. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)
26. \(f(x)=x^2e^x\)
27. \(f(x)=x^2\ln x\)
28. \(f(x)=e^{-x^2}\)
En los Ejercicios 29-41,\(f(x)\) se da una función. Encuentre los puntos críticos\(f\) y use la Prueba de Segunda Derivada, cuando sea posible, para determinar los extremos relativos. (Nota: estas son las mismas funciones que en los ejercicios 16-28.)
29. \(f(x)=x^2-2x+1\)
30. \(f(x)=-x^2-5x+7\)
31. \(f(x)=x^3-x+1\)
32. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)
33. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)
34. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)
35. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)
36. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
37. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)
38. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)
39. \(f(x)=x^2e^x\)
40. \(f(x)=x^2\ln x\)
41. \(f(x)=e^{-x^2}\)
En los Ejercicios 42-54,\(f(x)\) se da una función. Encuentra los valores x donde\(f'(x)\) tiene un máximo o mínimo relativo. (Nota: estas son las mismas funciones que en los Ejercicios 16-28.)
42. \(f(x)=x^2-2x+1\)
43. \(f(x)=-x^2-5x+7\)
44. \(f(x)=x^3-x+1\)
45. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)
46. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)
47. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)
48. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)
49. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
50. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)
51. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)
52. \(f(x)=x^2e^x\)
53. \(f(x)=x^2\ln x\)
54. \(f(x)=e^{-x^2}\)
3.5: Croquizado de curvas
Términos y Conceptos
1. ¿Por qué es beneficioso esbozar curvas a mano a pesar de que la tecnología es omnipresente?
2. ¿Qué significa “ubicuo”?
3. T/F: Al esbozar gráficas de funciones, es útil encontrar los puntos críticos.
4. T/F: Al esbozar gráficas de funciones, es útil encontrar los posibles puntos de inflexión.
5. T/F: Al esbozar gráficas de funciones, es útil encontrar las asíntotas horizontales y verticales.
Problemas
En los Ejercicios 6-11, practique usando la Idea Clave 4 aplicando los principios a las funciones dadas con gráficas familiares.
6. \(f(x) =2x+4\)
7. \(f(x) =-x^2+1\)
8. \(f(x) =\sin x\)
9. \(f(x) =e^x\)
10. \(f(x) =\frac{1}{x}\)
11. \(f(x) =\frac{1}{x^2}\)
En los Ejercicios 12-25, dibuja una gráfica de la función dada usando la Idea Clave 4. Mostrar todo el trabajo; comprueba tu respuesta con tecnología.
12. \(f(x) =x^3-2x^2+4x+1\)
13. \(f(x) =-x^3+5x^2-3x+2\)
14. \(f(x) =x^3+3x^2+3x+1\)
15. \(f(x) =x^3-x^2-x+1\)
16. \(f(x) =(x-2)\ln (x-2)\)
17. \(f(x) =(x-2)^2\ln (x-2)\)
18. \(f(x) =\frac{x^2-4}{x^2}\)
19. \(f(x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8}\)
20. \(f(x) =\frac{x^2-2x+1}{x^2-6x+8}\)
21. \(f(x) =x\sqrt{x+1}\)
22. \(f(x) =x^2e^x\)
23. \(f(x) =\sin x\cos x \text{ on }[-\pi,\pi]\)
24. \(f(x) =(x-3)^{2/3}+2\)
25. \(f(x) =\frac{(x-1)^{2/3}}{x}\)
En los Ejercicios 26-28, se da una función con los parámetros\(a\) y\(b\). Describir los puntos críticos y posibles puntos de inflexión de\(f\) en términos de\(a\) y\(b\).
26. \(f(x) =\frac{a}{x^2+b^2}\)
27. \(f(x) =\sin (ax+b)\)
28. \(f(x) = (x-a)(x-b)\)
29. Dado\(x^2+y^2=1\), utilizar la diferenciación implícita para encontrar\(frac{dy}{dx}\) y\(\frac{d^2y}{dx^2}\). Utilice esta información para justificar el boceto del círculo unitario.