8.E: Aplicaciones de Secuencias y Series (Ejercicios)

8.1: Secuencias

Términos y Conceptos

1. Usa tus propias palabras para definir una secuencia.

2. El dominio de una secuencia son los _____ números.

3. Usa tus propias palabras para describir el rango de una secuencia.

4. Describir lo que significa que una secuencia sea acotada.

Problemas

En Ejercicios 5-8, dar los primeros cinco términos de la secuencia dada.

5. \({a_n}=\left \{ \frac{4^n}{(n+1)!}\right \}\)

6. \({b_n}=\left \{ \left ( -\frac{3}{2}\right )^n\right \}\)

7. \({c_n}=\left \{ -\frac{n^{n+1}}{n+2}\right \}\)

8. \({d_n}=\left \{ \frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^n - \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right )^2\right )\right \}\)

En los Ejercicios 9-12, determinar el\(n^{th}\) término de la secuencia dada.

9. 4, 7, 10, 13, 16,...

10. \(3,\,-\frac{3}{2},\,\frac{3}{4},\,-\frac{3}{8},...\)

11. 10, 20, 40, 80, 160,...

12. \(1,\, 1,\, \frac{1}{2},\,\frac{1}{6},\, \frac{1}{24},\,\frac{1}{120},...\)

En los Ejercicios 13-16, utilice la siguiente información para determinar el límite de las secuencias dadas.

• \({a_n} = \left \{ \frac{2^n-20}{2^n}\right \};\quad \lim\limits_{n\to \infty}a_n=1\)
• \({b_n} = \left \{ \left ( 1+\frac{2}{n}\right )^n \right \};\quad \lim\limits_{n\to \infty}b_n=e^2\)
• \({c_n} = \left \{ \frac{2^n-20}{2^n}\right \};\quad \lim\limits_{n\to \infty}c_n=0\)

13. \({a_n} = \left \{ \frac{2^n-20}{7\cdot 2^n}\right \}\)

14. \({a_n}={3b_n-a_n}\)

15. \({a_n}=\left \{ \sum\limits (3/n) \left ( 1=\frac{2}{n}\right )^n\right \}\)

16. \({a_n}=\left \{ \left ( 1=\frac{2}{n}\right )^{2n}\right \}\)

En los Ejercicios 17-28, determinar si la secuencia converge o diverge. Si convergente, dar el límite de la secuencia.

17. \({a_n}=\left \{ (-1)^n \frac{n}{n+1}\right \}\)

18. \({a_n}=\left \{ \frac{4n^2-n+5}{3n^2+1}\right \}\)

19. \({a_n}=\left \{ \frac{4^n}{5^n}\right \}\)

20. \({a_n}=\left \{ \frac{n-1}{n}-\frac{n}{n-1}\right \},\,n\ge 2\)

21. \({a_n}=\left \{ \ln (n)\right \}\)

22. \({a_n}=\left \{ \frac{3n}{\sqrt{n^2+1}}\right \}\)

23. \({a_n}=\left \{ \left ( 1+\frac{1}{n}\right )^n\right \}\)

24. \({a_n}=\left \{ 5-\frac{1}{n}\right \}\)

25. \({a_n}=\left \{ \frac{(-1)^{n+1}}{n}\right \}\)

26. \({a_n}=\left \{ \frac{1.1^n}{n}\right \}\)

27. \({a_n}=\left \{ \frac{2n}{n+1}\right \}\)

28. \({a_n}=\left \{ (-1)^n \frac{n^2}{2^n-1}\right \}\)

En los Ejercicios 29-34, determine si la secuencia está acotada, delimitada arriba, acotada por debajo, o ninguna de las anteriores.

29. \({a_n}={\sum\limits n}\)

30. \({a_n}={\tan n}\)

31. \({a_n}={(-1)^n \frac{3n-1}{n}}\)

32. \({a_n}=\left \{ \frac{3n^2-1}{n}\right \}\)

33. \({a_n}={n \cos n}\)

34. \({a_n}={2^n-n!}\)

En los Ejercicios 35-38, determinar si la secuencia es monótonamente creciente o decreciente. Si no lo es, determinar si hay una m tal que sea monótona para todos\(n \ge m\).

35. \({a_n}=\left \{ \frac{n}{n+2}\right \}\)

36. \({a_n}=\left \{ \frac{n^2-6n+9}{n}\right \}\)

37. \({a_n}=\left \{ (-1)^n\frac{1}{n^3}\right \}\)

38. \({a_n}=\left \{ \frac{n^2}{2^n}\right \}\)

39. Demostrar Teorema 56; es decir, utilizar la definición del límite de una secuencia para mostrar que si\(\lim\limits_{n\to \infty}|a_n|=0\), entonces\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\).

40. \({a_n}\text{ and }{b_n}\)Dejen ser secuencias tales que\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\text{ and }\lim\limits_{n\to\infty}b_n=K\).
(a) Demostrar que si\(a_n<b_n\) por todo n, entonces\(L\le K\).
b) Dar un ejemplo donde\(L=K\).

41. Demostrar el teorema de Squeeze para secuencias:\({a_n}\text{ and }{b_n}\) Sea tal que\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n =L\text{ and }\lim\limits_{n\to\infty}b_n =L\), y que\({c_n}\) sea tal que\(a_n\le c_n \le b_n\) para todos n. Entonces\(\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L\)

8.2: Serie Infinita

Términos y Conceptos

1. Usa tus propias palabras para describir cómo se relacionan las secuencias y las series.

2. Usa tus propias palabras para definir una suma parcial.

3. Dada una serie\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) m describir las dos secuencias relacionadas con la serie que son importantes.

4. Usa tus propias palabras para explicar qué es una serie geométrica.

5. T/F: Si\({a_n}\) es convergente, entonces también\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) es convergente.

Problemas

En Ejercicios 6-13,\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) se da una serie.
a) Dar las primeras 5 sumas parciales de la serie.
b) Dar una gráfica de los primeros 5 términos de\(a_n\text{ and }S_n\) sobre los mismos ejes.

6. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)

7. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)

8. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos (\pi n)\)

9. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\)

10. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)

11. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\)

12. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( -\frac{9}{10}\right )^n\)

13. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{10}\right )^n\)

En los Ejercicios 14-19, utilice el Teorema 63 para mostrar las divergencias de las series dadas.

14. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2}{n(n+2)}\)

15. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}\)

16. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}\)

17. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n-n^5}{5^n+n^5}\)

18. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+1}{2^{n+1}}\)

19. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^n\)

En los Ejercicios 20-29, indique si la serie dada converge o diverge.

20. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\)

21. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{5^n}\)

22. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{6^n}{5^n}\)

23. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-4}\)

24. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\)

25. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{10}{n!}\)

26. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{n!}+\frac{1}{n}\right )\)

27. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2x+8)^2}\)

28. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\)

29. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\)

En Ejercicios 30-44, se da una serie.
(a) Encontrar una fórmula para\(S_n\), la suma\(n^{th}\) parcial de la serie.
b) Determinar si la serie converge o diverge. Si converge, indica a qué converge.

30. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}\)

31. \(1^3+2^3+3^3+4^3+...\)

32. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n n\)\)

33. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{5}{2^n}\)

34. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-n}\)

35. \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+...\)

36. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)

37. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+2)}\)

38. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}\)

39. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln \left (\frac{n}{n+1}\right )\)

40. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\)

41. \(\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 7}+...\)

42. \(2 +\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right ) +\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right )+\left ( \frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...\right )\)

43. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\)

44. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left ( \sin 1 \right )^n\)

45. Romper la Serie Armónica en la suma de los términos impares e impares:
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\).
El objetivo es demostrar que cada una de las series de la derecha divergen.
(a) Mostrar por qué\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\). (Comparar cada suma\(n^{th}\) parcial.)
b) Mostrar por qué\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}<1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\)
c) Explique por qué (a) y (b) demuestran que la serie de términos impares es convergente, si, y sólo si, la serie de términos pares es también convergente. (Es decir, mostrar ambos convergen o ambos divergen.)
(d) Explicar por qué conocer la Serie Armónica es divergente determina que las series pares e impares también son divergentes.

46. Mostrar la serie\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n-1)(2n+1)}\) diverge.

8.3: Pruebas integrales y de comparación

Términos y Conceptos

1. Para aplicar la Prueba Integral a una secuencia\({A_n}\), la función\(a(n)=a_n\) debe ser _____, _____ y _____.

2.T/F: La Prueba Integral puede ser utilizada para determinar la suma de una serie convergente.

3. ¿Qué prueba (s) de esta sección no funcionan bien con las factoriales?

4. Supongamos que\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\) es convergente, y hay secuencias\({b_n}\) y\({c_n}\) tal que\(b_n \le a_n \le c_n\) para todos n. ¿Qué se puede decir de la serie\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n \text{ and }\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\)?

Problemas

En los Ejercicios 5-12, utilice la Prueba Integral para determinar la convergencia de las series dadas.

5. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)

6. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\)

7. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\)

8. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\)

9. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)

10. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}\)

11. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\)

12. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^3}\)

En los Ejercicios 13-22, utilice la Prueba de Comparación Directa para determinar la convergencia de las series dadas; indicar qué series se utilizan para la comparación.

13. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n-5}\)

14. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n+n^2-n}\)

15. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\)

16. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!+n}\)

17. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}\)

18. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-2}\)

19. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+n+1}{2^n}\)

20. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{5^n+10}\)

21. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2-1}\)

22. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2\ln n}\)

En los Ejercicios 23-32, utilice la Prueba de Comparación de Límite para determinar la convergencia de las series dadas; indicar qué series se utilizan para la comparación.

23. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-3n+5}\)

24. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n-n^2}\)

25. \(\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{\ln n}{n-3}\)

26. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

27. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\)

28. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n-10}{n^2+10n+10}\)

29. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \left ( 1/n \right )\)

30. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+5}{n^3-5}\)

31. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+3}{n^2+17}\)

32. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+100}\)

En los Ejercicios 33-40, determinar la convergencia de la serie dada. Anotar la prueba utilizada; más de una prueba puede ser apropiada.

33. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\)

34. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+5)^3}\)

35. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}\)

36. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n!}\)

37. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+n}\)

38. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n-2}{10n+5}\)

39. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^3}\)

40. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos \left ( 1/n\right )}{\sqrt{n}}\)

41. Dado que\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) converge, indica cuál de las siguientes series converge, puede converger, o no converge.
a)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}\)
b\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_na_{n+1}\)
) c\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( a_n \right )^2\)
) d\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_n\)
) e\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}\)

8.4: Pruebas de Ratio y Raíz

Términos y Conceptos

1. La prueba de relación no es efectiva cuando los términos de una secuencia solo contienen ______ funciones

2. La Prueba de Relación es más efectiva cuando los términos de una secuencia contienen ____ y/o _____ funciones.

3. ¿Qué tres pruebas de convergencia no funcionan bien con términos que contienen factoriales?

4. El Test Raíz funciona particularmente bien en series donde cada término es _____ a _____.

Problemas

En los Ejercicios 5-14, determinar la convergencia de las series dadas utilizando la Prueba de Ratio. Si la Prueba de Relación no es concluyente, indíquelo y determine la convergencia con otra prueba.

5. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2n}{n!}\)

6. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{5^n-3n}{4^n}\)

7. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n!10^n}{(2n)!}\)

8. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n+n^4}{7^n+n^2}\)

9. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

10. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n^3+7}\)

11. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{10\cdot 5^n}{7^n-3}\)

12. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot \left (\frac{3}{5}\right )^n\)

13. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8 \cdot\cdot\cdot 2n}{3\cdot 6\cdot 9 \cdot 12 \cdot\cdot\cdot 3n}\)

14. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{5\cdot 10\cdot 15 \cdot\cdot\cdot (5n)}\)

En los Ejercicios 15-24, determinar la convergencia de las series dadas utilizando la Prueba Raíz. Si la Prueba Raíz no es concluyente, indícalo así y determina la convergencia con otra prueba.

15. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2n+5}{3n+11}\right )^n\)

16. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{0.9n^2-n-3}{n^2+n+3}\right )^n\)

17. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^nn^2}{3^n}\)

18. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}\)

19. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^22^{n+1}}\)

20. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n+7}}{7^n}\)

21. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{n^2-n}{n^2+n}\right )\)

22. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right )^2\)

23. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( \ln n\right )^2}\)

24. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{\left ( \ln n\right )^n}\)

En los Ejercicios 25-34, determinar la convergencia de la serie dada. Anotar la prueba utilizada; más de una prueba puede ser apropiada.

25. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+4n-2}{n^3+4n^2-3n+7}\)

26. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^44^n}{n!}\)

27. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n+n}\)

28. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^n}\)

29. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+4n+1}}\)

30. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!n!n!}{(3n)!}\)

31. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln n}\)

32. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{n+2}{n+1}\right )\)

33. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{\left ( \ln n\right )^n}\)

34. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right )\)

8.5: Serie alterna y convergencia absoluta

Términos y Conceptos

1. ¿Por qué\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n\) no es una serie alterna?

2. Una serie\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\) converge cuando\({a_n}\) es _____ _____ y\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\) _____.

3. Dar un ejemplo de una serie cuando\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\) converge pero no\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n|\) lo hace.

4. La suma de una serie convergente _____ se puede cambiar reordenando el orden de sus términos.

Problemas

En Ejercicios 5-20,\(\sum\limits_{n=i}^{\infty}a_n\) se da una serie alternante.
a) Determinar si la serie converge o diverge.
b) Determinar si\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n|\) converge o diverge.
c) Si\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\) converge, determinar si la convergencia es condicional o absoluta.

5. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\)

6. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n!}}\)

7. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n+5}{3n-5}\)

8. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n}{n^2}\)

9. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+5}{n^2-3n+1}\)

10. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln n+1}\)

11. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{\ln n}\)

12. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{1+3+5+...+ (2n-1)}\)

13. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos (\pi n)\)

14. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin ((n+1/2)\pi)}{n\ln n}\)

15. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left ( -\frac{2}{3}\right )^n\)

16. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-e)^{-n}\)

17. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nn^2}{n!}\)

18. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^{-n^2}\)

19. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)

20. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1000)^2}{n!}\)

Dejar\(S_n\) ser la n suma\(^{th}\) parcial de una serie. En los Ejercicios 21-24, se da una serie alternante convergente y un valor de n. Calcular\(S_n\text{ and }S_{n+1}\) y utilizar estos valores para encontrar límites en la suma de la serie.

21. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln (n+1)},\quad n=5\)

22. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^4},\quad n=4\)

23. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!},\quad n=6\)

24. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left ( -\frac{1}{2}\right )^n,\quad n=9\)

En los Ejercicios 25-28, se da una serie alternante convergente junto con su suma y un valor de\(\epsilon\). Utilice el Teorema 71 para encontrar n tal que la suma\(^{th}\) parcial n de la serie esté dentro\(\epsilon\) de una suma de la serie.

25. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^4}=\frac{7\pi^4}{720},\quad \epsilon =0.001\)

26. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}=\frac{1}{e},\quad \epsilon =0.0001\)

27. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4},\quad \epsilon =0.001\)

28. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}=\cos 1,\quad \epsilon =10^{-8}\)

8.6: Serie Power

Términos y Conceptos

1. Adoptamos la convección que\(x^0 =\) _____, independientemente del valor de x.

2. ¿Cuál es la diferencia entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia?

3. Si el radio de convergencia de\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_xx^n\) es 5, ¿cuál es el radio de convergencia de\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot a_nx^{n-1}\)?

4. Si el radio de convergencia de\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) es 5, ¿cuál es el radio de convergencia de\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(=1)^na_nx^n\)?

Problemas

En Ejercicios 5-8, escribe la suma de los primeros 5 términos de la serie de potencia dada.

5. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^nx^n\)

6. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}x^n\)

7. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\)

8. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\)

En Ejercicios 9-24, se da una serie de poder.
(a) Encontrar el radio de convergencia.
b) Encontrar el intervalo de convergencia.

9. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^n\)

10. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^n\)

11. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-3)^n}{n}\)

12. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(x+4)^n}{n!}\)

13. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^n}\)

14. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-5)^n}{10^n}\)

15. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}5^n (x-1)^n\)

16. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-2)^nx^n\)

17. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{n}x^n\)

18. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^n}x^n\)

19. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}(x-5)^n\)

20. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n n! (x-10)^n\)

21. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\)

22. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{n^3}\)

23. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}n! \left ( \frac{x}{10}\right )^n\)

24. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2 \left (\frac{x+4}{4}\right )^n\)

En Ejercicios 25-30,\(f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) se da una función.
a) Dar una serie de potencias\(f'(x)\) y su intervalo de convergencia.
b) Dar una serie de potencias\(f;(x)\,dx\) y su intervalo de convergencia.

25. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^n\)

26. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)

27. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left ( \frac{x}{2}\right )^n\)

28. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-3x)^n\)

29. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\)

30. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\)

En los Ejercicios 31-36, dar los primeros 5 términos de la serie que es una solución a la ecuación diferencial dada.

31. \(y' =3y,\quad y(0)=1\)

32. \(y' =5y,\quad y(0)=5\)

33. \(y' =y^2,\quad y(0)=1\)

34. \(y' =y+1,\quad y(0)=1\)

35. \(y'' =-y,\quad y(0)=0,\,y'(0)=1\)

36. \(y'' =2y,\quad y(0)=1,\,y'(0)=1\)

8.7: Polinomios de Taylor

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es la diferencia entre un polinomio de Taylor y un polinomio de Maclaurin?

2. T/F: En general,\(p_n(x)\) se aproxima\(f(x)\) mejor y mejor a medida que n se hace más grande.

3. Para alguna función\(f(x)\), el polinomio Maclaurin de grado 3 es\(p_4(x)=6+3x-4x^2+5x^3-7x^4\). ¿Qué es\(p_2(x)\)?

4. Para alguna función\(f(x)\), el polinomio Maclaurin de grado 3 es\(p_4(x)=6+3x-4x^2+5x^3-7x^4\). ¿Qué es\(f'''(0)\)?

Problemas

En Ejercicios 5-12, encuentra el polinomio Maclaurin de grado n para la función dada.

5. \(f(x) = e^{-x},\quad n=3\).

6. \(f(x) = \sin x,\quad n=8\).

7. \(f(x) = x\cdot e^{x},\quad n=5\).

8. \(f(x) = \tan x,\quad n=6\).

9. \(f(x) = e^{2x},\quad n=4\).

10. \(f(x) = \frac{1}{1-x},\quad n=4\).

11. \(f(x) = \frac{1}{1+x},\quad n=4\).

12. \(f(x) = \frac{1}{1-x},\quad n=7\).

En Ejercicios 13-20, encuentra el polinomio Taylor de grado n, at\(x=c\), para la función dada.

13. \(f(x) =\sqrt{x},\quad n=4,\quad c=1\)

14. \(f(x) =\ln (x+1),\quad n=4,\quad c=1\)

15. \(f(x) =\cos x,\quad n=6,\quad c=\pi/4\)

16. \(f(x) =\sin x,\quad n=5,\quad c=\pi/6\)

17. \(f(x) =\frac{1}{x},\quad n=5,\quad c=2\)

18. \(f(x) =\frac{1}{x^2},\quad n=8,\quad c=1\)

19. \(f(x) =\frac{1}{x^2+1},\quad n=4,\quad c=-1\)

20. \(f(x) =x^2 \cos x,\quad n=2,\quad c=-1\)

En los Ejercicios 21-24, aproximar el valor de la función con el polinomio Taylor indicado y dar límites aproximados sobre el error.

21. Aproximado\(\sin 0.1\) con el polinomio Maclaurin de grado 3.

22. Aproximado\(\cos 1\) con el polinomio Maclaurin de grado 4.

23. Aproximado\(\sqrt{10}\) con el polinomio Taylor de grado 2 centrado en\(x=9\).

24. Aproximado\(\ln 1.5\) con el polinomio Taylor de grado 3 centrado en\(x=1\).

Los ejercicios 25-28 piden que se encuentre una n tal que se\(p_n(x)\) aproxime\(f(x)\) dentro de un cierto límite de precisión.

25. Encuentra n tal que el polinomio Maclaurin de grado n de\(f(x)=e^x\) se aproxime dentro de 0.0001 del valor real.

26. Encuentra n tal que el polinomio Taylor de grado n de\(f(x)=\sqrt{x}\), centrado en\(x=4\), se aproxime\(\sqrt{3}\) dentro de 0.0001 del valor real.

27. Encuentra n tal que el polinomio Maclaurin de grado n de\(f(x)=\cos x\) se aproxime\(\cos \pi/3\) dentro de 0.0001 del valor real.

28. Encuentra n tal que el polinomio Maclaurin de grado n de\(f(x)=\sin x\) se aproxime\(\cos \pi\) dentro de 0.0001 del valor real.

En los Ejercicios 29-33, encuentra el\(n^{th}\) término del polinomio Taylor indicado.

29. Encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término del polinomio Maclaurin para\(f(x)=e^x\).

30. Encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término del polinomio Maclaurin para\(f(x)=\cos x\).

31. Encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término del polinomio Maclaurin para\(f(x)=\frac{1}{1-x}\).

32. Encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término del polinomio Maclaurin para\(f(x)=\frac{1}{1+x}\).

33. Encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término del polinomio Maclaurin para\(f(x)=\ln x\).

En los Ejercicios 34-36, aproximar la solución a la ecuación diferencial dada con un polinomio Maclaurin grado 4.

34. \(y'=y,\quad y(0)=1\)

35. \(y'=5y,\quad y(0)=3\)

36. \(y'=\frac{2}{y},\quad y(0)=1\)

8.8: Serie Taylor

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es la diferencia entre un polinomio de Taylor y una serie de Taylor?

2 ¿Qué teorema debemos usar para demostrar que una función es igual a su serie Taylor?

Problemas

Key Idea 32 da el\(n^{th}\) término de la serie Taylor de funciones comunes. En los Ejercicios 3-6, verificar la fórmula dada en la Idea Clave encontrando los primeros términos de la serie Taylor de la función dada e identificando un patrón.

3. \(f(x) =e^x;\quad c=0\)

4. \(f(x) =\sin x;\quad c=0\)

5. \(f(x) =1/(1-x);\quad c=0\)

6. \(f(x) =\tan^{-1} x;\quad c=0\)

En Ejercicios 7-12, encuentra una fórmula para el\(n^{th}\) término de la serie Taylor de\(f(x)\), centrada en c, encontrando los coeficientes de las primeras potencias de x y buscando un patrón. (Las fórmulas para varios de estos se encuentran en Key Idea 32; mostrar trabajo verificando estas fórmulas).

7. \(f(x) =\cos x;\quad c=\pi/2\)

8. \(f(x) =1/x;\quad c=1\)

9. \(f(x) =e^{-x};\quad c=\pi/2\)

10. \(f(x) =\ln (1+x);\quad c=0\)

11. \(f(x) =x/(x+1);\quad c=1\)

12. \(f(x) =\sin x;\quad c=\pi/4\)

En Ejercicios 13-16, muestran que la serie de Taylor para\(f(x)\), como se da en la Idea Clave 32, es igual a\(f(x)\) aplicando el Teorema 77; es decir, espectáculo\(\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=0\).

13. \(f(x) =e^x\)

14. \(f(x) =\sin x\)

15. \(f(x) =\ln x\)

16. \(f(x) =1/(1-x)\)(mostrar igualdad solo en (-1,0))

En Ejercicios 17-20, utilice la serie Taylor dada en Key Idea 32 para verificar la identidad dada.

17. \(\cos (-x)=\cos x\)

18. \(\sin(-x)=-\sin x\)

19. \(\frac{d}{dx}\left ( \sin x\right )=\cos x\)

20. \(\frac{d}{dx}\left ( \cos x\right )=-\sin x\)

En los Ejercicios 21-24, escribe los primeros 5 términos de la serie Binomial con el valor k dado.

21. \(k=1/2\)

22. \(k=-1/2\)

23. \(k=1/3\)

24. \(k=4\)

En Ejercicios 25-30, usa la serie Taylor dada en Key Idea 32 para crear la serie Taylor de las funciones dadas.

25. \(f(x)=\cos \left ( x^2\right )\)

26. \(f(x)=e^{-x}\)

27. \(f(x) =\sin (2x+3)\)

28. \(f(x) =\tan^{-1}(x/2)\)

29. \(f(x) =e^x \sin x\)(solo encuentra los primeros 4 términos).

30. \(f(x)=(1+x)^{1/2}\cos x\)(solo encuentra los primeros 4 términos)

En los Ejercicios 31-32, aproximar el valor de la integral definida dada utilizando los primeros 4 términos no nulos de la serie Taylor del integrando.

31. \(\int_0^{\sqrt{\pi}}\sin \left (x^2\right )\,dx\)

32. \(\int_0^{\pi^2 /4}\cos \left (\sqrt{x}\right )\,dx\)