9.E: Aplicaciones de Curvas en un Plano (Ejercicios)

9.1: Secciones Cónicas

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es la diferencia entre las cónicas degeneradas y las no degeneradas?

2. Usa tus propias palabras para explicar qué mide la excentricidad de una elipse.

3. ¿Qué tiene la mayor excentricidad: una elipse o una hipérbola?

4. Explique por qué es cierto lo siguiente: “Si el coeficiente del\(x^2\) término en la ecuación de una elipse en forma estándar es menor que el coeficiente del\(y^2\) término, entonces la elipse tiene un eje mayor horizontal”.

5. Explicar cómo se puede observar rápidamente la ecuación de una hipérbola en forma estándar y determinar si el eje transversal es horizontal o vertical.

Problemas

En los Ejercicios 6-13, encuentra la ecuación de la parábola definida por la información dada. Esbozar la parábola.

6. Enfoque:\((3,2)\); directrix:\(y=1\)

7. Enfoque:\((-1,-4)\); directrix:\(y=2\)

8. Enfoque:\((1,5)\); directrix:\(x=3\)

9. Enfoque:\((1/4,0)\); directrix:\(x=-1/4\)

10. Foco:\((1,1)\); vértice:\((1,2)\)

11. Foco:\((-3,0)\); vértice:\((0,0)\)

12. Vértice:\((0,0)\); directrix:\(y=-1/16\)

13. Vértice:\((2,3)\); directrix:\(x=4\)

En los Ejercicios 14-15 se da la ecuación de una parábola y un punto en su gráfica. Encuentra el foco y directrix de la parábola, y verifica que el punto dado es equidistante del foco y directrix.

14. \(y=\frac{1}{4}x^2,\,P=(2,1)\)

15. \(x=\frac{1}{8}(y-2)^2+3,\,P=(11,10)\)

En los Ejercicios 16-17, esboza la elipse definida por la ecuación dada. Etiquetar el centro, focos y vértices.

16. \(\frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-2)^2}{5}=1\)

17. \(\frac{1}{25}x^2+\frac{1}{9}(y+3)^2=1\)

En los Ejercicios 18-19, encuentra la ecuación de la elipse que se muestra en la gráfica. Dar la ubicación de los focos y la excentricidad de la elipse.

18.

19.

En los Ejercicios 20-23, encuentra la ecuación de la elipse definida por la información dada. Esboza la elipse.

20. Focos:\((\pm 2,0)\); vértices:\((\pm 3,0)\)

21. Focos:\((- 1,3)\text{ and }(5,3)\); vértices:\((-3,3)\text{ and }(7,3)\)

22. Focos:\((2,\pm 2)\); vértices:\((2,\pm 7)\)

23. Enfoque:\((-1,5)\); vértice:\((-1,-4)\); centro:\((-1,1)\)

En los Ejercicios 24-27, escriba la ecuación de la elipse dada en forma estándar.

24. \(x^2-2x+2y^2-8y=-7\)

25. \(5x^2+3y^2=15\)

26. \(3x^2+2y^2-12y+6=0\)

27. \(x^2+y^2-4x-4y+4=0\)

28. Considera la elipse dada por\(\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{12}=1\).
a) Verificar que los focos estén ubicados en\((1,3\pm 2\sqrt{2})\)
(b) El punto\(P_1 = (2,6)\text{ and }P_2 = (1+\sqrt{2},3+\sqrt{6})\approx (2.414,5.449)\) se encuentra en la elipse. Verificar que la suma de distancias de cada punto a los focos sea la misma.

En los Ejercicios 29-32, encuentra la ecuación de la hipérbola que se muestra en la gráfica.

29.

30.

31.

32.

En los Ejercicios 33-34, esboza la hipérbola definida por la ecuación dada. Etiquetar el centro y los focos.

33. \(\frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1\)

34. \((y-4)^2-\frac{(x+1)^2}{25}=1\)

En los Ejercicios 35-38, encuentra la ecuación de la hipérbola definida por la información dada. Esbozar la hipérbola.

35. Focos:\((\pm 3,0);\) vértices:\((\pm 2, 0)\)

36. Focos:\((0, \pm 3);\) vértices:\((0, \pm 2)\)

37. Focos:\((-2,3)\text{ and }(8,3)\) vértices:\((-1,3)\text{ and }(7,3)\)

38. Focos:\((3,-2)\text{ and }(3,8)\) vértices:\((3,0)\text{ and }(3,6)\)

En los Ejercicios 39-42, escribe la ecuación de la hipérbola en forma estándar.

39. \(3x^2-4y^2=12\)

40. \(3x^2-y^2+2y=10\)

41. \(x^2-10y^2+40y=30\)

42. \((4y-x)(4y+x)=4\)

43. Johannes Kepler descubrió que los planetas de nuestro sistema solar tienen órbitas elípticas con el Sol en un foco. La órbita elíptica de la Tierra se utiliza como unidad estándar de distancia; la distancia desde el centro de la órbita elíptica de la Tierra a un vértice es 1 Unidad Astronómica, o A.U.
La siguiente tabla da información sobre las órbitas de tres planetas.

(a) En una elipse, el saber nos\(c^2=a^2-b^2\text{ and }e=c/a\) permite encontrar b en términos de a y e. Espectáculo \(b=a\sqrt{1-e^2}\).
(b) Para cada planeta, encontrar ecuaciones de su órbita elíptica de la forma\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). (Esto coloca el centro en (0,0), pero el Sol se encuentra en una ubicación diferente para cada planeta).
(c) Desplazar las ecuaciones para que el Sol se encuentre en el origen. Trazar las tres órbitas elípticas.

44. Se graba un sonido fuerte en tres estaciones que se encuentran en una línea como se muestra en la siguiente figura. La estación A grabó el sonido 1 segundo después de la estación B, y la estación C grabó el sonido 3 segundos después de B. Usando la velocidad del sonido como 340m/s, determine la ubicación del origen del sonido.

9.2: Ecuaciones paramétricas

Términos y Conceptos

1. T/F: Al esbozar la gráfica de ecuaciones paramétricas, los valores x e y se encuentran por separado, luego se trazan juntos.

2. La dirección en la que una gráfica se “mueve” se llama _____ de la gráfica.

3. Una Ecuación escrita tal como\(y=f(x)\) está escrita en forma ____.

4. Crear ecuaciones paramétricas\(x=f(t),\,y=g(t)\) y bosquejar su gráfica. Explica cualquier característica interesante de tu gráfica en función de las funciones\(f\) y\(g\).

Problemas

En los Ejercicios 5-8, esboza la gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas a mano, haciendo una tabla de puntos para trazar. Asegúrese de indicar la orientación de la gráfica.

5. \(x=t^2+t,\quad y=1-t^2,\quad -3\le t\le 3\)

6. \(x=1,\quad y=5\sin t,\quad -\pi/2\le t\le \pi/2\)

7. \(x=t^2,\quad y=2,\quad -2\le t\le 2\)

8. \(x=t^3-t+3,\quad y=t^2+1,\quad -2\le t\le 2\)

En los Ejercicios 9-17, esbozar la gráfica de la ecuación paramétrica dada; es aconsejable utilizar una utilidad gráfica. Asegúrese de indicar la orientación de la gráfica.

9. \(x=t^3-2t^2,\quad y=t^2,\quad -2\le t\le 3\)

10. \(x=1/t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le 10\)

11. \(x=3\cos t,\quad y=5\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi\)

12. \(x=3\cos t,\quad y=5\sin t+3,\quad 0\le t\le 2\pi\)

13. \(x=\cos t,\quad y=\cos (2t),\quad 0\le t\le \pi\)

14. \(x=\cos t,\quad y=\sin (2t),\quad 0\le t\le 2\pi\)

15. \(x=2\sec t,\quad y=3\tan t,\quad -\pi/2 \le t\le \pi/2\)

16. \(x=\cos t +\frac{1}{4}\cos (8t),\quad y=\sin t +\frac{1}{4}\sin (8t),\quad 0\le t\le 2\pi\)

17. \(x=\cos t +\frac{1}{4}\sin (8t),\quad y=\sin t +\frac{1}{4}\cos (8t),\quad 0\le t\le 2\pi\)

En los Ejercicios 18-19 se dan cuatro conjuntos de ecuaciones paramétricas. Describir cómo sus gráficas son similares y diferentes. Asegúrese de discutir la orientación y los rangos.

18.
a)\(x=t\quad y=t^2,\quad -\infty < t <\infty\)
b)\(x=\sin t\quad y=\sin^2 t,\quad -\infty < t <\infty\)
c)\(x=e^t\quad y=e^{2t},\quad -\infty < t <\infty\)
d)\(x=-t\quad y=t^2,\quad -\infty < t <\infty\)

19.
a)\(x=\cos t\quad y=\sin t,\quad 0\le t \le 2\pi\)
b)\(x=\cos (t^2)\quad y=\sin (t^2),\quad 0\le t \le 2\pi\)
c)\(x=\cos (1/t)\quad y=\sin (1/t),\quad 0\le t \le 2\pi\)
d)\(x=\cos (\cos t)\quad y=\sin (\cos t),\quad 0\le t \le 2\pi\)

En los Ejercicios 20-29, eliminar el parámetro en las ecuaciones paramétricas dadas.

20. \(x=2t+5,\quad y=-3t+1\)

21. \(x=\sec t,\quad y=\tan t\)

22. \(x=4\sin t +1,\quad y=3\cos t-2\)

23. \(x=t^2,\quad y=t^3\)

24. \(x=\frac{1}{t+1},\quad y=\frac{3t+5}{t+1}\)

25. \(x=e^t,\quad y=e^{3t}-3\)

26. \(x=\ln t,\quad y=t^2-1\)

27. \(x=\cot t,\quad y=\csc t\)

28. \(x=\cosh t,\quad y=\sinh t\)

29. \(x=\cos (2t),\quad y=\sin t\)

En los Ejercicios 30-33, eliminar el parámetro en las ecuaciones paramétricas dadas. Describir la curva definida por las ecuaciones paramétricas en función de su forma rectangular.

30. \(x=at+x_0,\quad y=bt+y_0\)

31. \(x=r\cos t,\quad y=r\sin t\)

32. \(x=a\cos t +h,\quad y=b\sin t +k\)

33. \(x=a\sec t +h,\quad y=b\tan t +k\)

En los Ejercicios 34-37, encuentra ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular dada usando el parámetro\(t=\frac{dy}{dx}\). Verificar que en\(t=1\), el punto de la gráfica tenga una línea tangente con pendiente de 1.

34. \(y=3x^2-11x+2\)

35. \(y=e^x\)

36. \(y=\sin x \text{ on }[0,\pi]\)

37. \(y=\sqrt{x}\text{ on }[0,\pi]\)

En los Ejercicios 42-45, encuentra el (los) valor (s) de t donde la gráfica de las ecuaciones paramétricas se cruza a sí misma.

38. \(x=t^3-t+3,\quad y=t^2-3\)

39. \(x=t^3-4t^2+t+7,\quad y=t^2-t\)

40. \(x=\cos t,\quad y=\sin (2t)\text{ on }[0,2\pi]\)

41. \(x=\cos t \cos (3t),\quad y=\sin t \cos (3t)\text{ on }[0,\pi]\)

En Ejercicios 42-45, encuentra el (los) valor (s) de t donde la curva definida por las ecuaciones paramétricas no es suave.

42. \(x=t^3+t^2-t,\quad y=t^2+2t+3\)

43. \(x=t^2-4t,\quad y=t^3-2t^2-4t\)

44. \(x=\cos t,\quad y=2\cos t\)

45. \(x=2\cos t -\cos (2t),\quad y=2\sin t -\sin (2t)\)

En los Ejercicios 46-54, encuentra ecuaciones paramétricas que describen la situación dada.

46. Un proyectil se dispara desde una altura de 0 pies, aterrizando a 16 pies de distancia en 4s.

47. Un proyectil se dispara desde una altura de 0 pies, aterrizando a 200 pies de distancia en 4s.

48. Un proyectil se dispara desde una altura de 0 pies, aterrizando a 200 pies de distancia en 20 años.

49. Un círculo de radio 2, centrado en el origen, que se traza en el sentido de las agujas del reloj una vez encendido\([0,2\pi]\).

50. Un círculo de radio 3, centrado en\((1,1)\), que se traza una vez en sentido antihorario una vez encendido\([0,1]\).

51. Una elipse centrada en (1,3) con eje mayor vertical de longitud 6 y eje menor de longitud 2.

52. Una elipse con focos en\((\pm 1,0)\) y vértices en\((\pm 5,0)\).

53. Una hipérbola con focos en\((5,-3)\) y\((-1,-3)\), y con vértices en\((1,-3)\) y\((3,-3)\).

54. Una hipérbola con vértices en\((0,\pm 6)\) y asíntotas\(y=\pm 3x\).

9.3: Cálculo y ecuaciones paramétricas

Términos y Conceptos

1. T/F: Dadas ecuaciones paramétricas\(x=f(t)\text{ and }y=g(t)\)\(\frac{dy}{dx}=f'(t)f'(t)\),, siempre y cuando\(g'(t)\ne 0\).

2. Dadas las ecuaciones paramétricas\(x=f(t)\text{ and }y=g(t)\), la derivada\(\frac{dy}{dx}\) como se da en la Idea Clave 37 es una función de _________?

3. T/F: Dadas las ecuaciones paramétricas\(x=f(t)\text{ and }y=g(t)\)\(\frac{d^2y}{dx^2}\), para encontrar, uno simplemente calcula\(\frac{d}{dt}\left (\frac{dy}{dx}\right )\).

4. T/F: Si\(\frac{dy}{dx}=0\) en\(t=t_0\), entonces la línea normal a la curva at\(t=t_0\) es una línea vertical.

Problemas

En los Ejercicios 5-12 se dan ecuaciones paramétricas para una curva.
(a) Encontrar\(\frac{dy}{dx}\).
(b) Encontrar las ecuaciones de la tangente y línea (s) normal (s) en el punto (s) dado (s).
(c) Esbozar la gráfica de las funciones paramétricas junto con las líneas tangentes y normales encontradas.

5. \(x=t,\, y=t^2;\quad t=1\)

6. \(x=\sqrt{t},\, y=5t+2;\quad t=4\)

7. \(x=t^2-t,\, y=t^2+t;\quad t=1\)

8. \(x=t^2,\, y=t^3-1;\quad t=0 \text{ and }t=1\)

9. \(x=\sec t,\, y=\tan t \text{ on }(-\pi/2,\pi/2);\quad t=\pi/4\)

10. \(x=\cos t,\, y=\sin (2t);\quad t=\pi/4\)

11. \(x=\cos t \sin (2t),\, y=\sin t \sin (2t)\text{ on }[0,2\pi];\quad t=3\pi /4\)

12. \(x=e^{t/10},\, y=e^{t/10}\sin t;\quad t=\pi/2\)

En los Ejercicios 13-20, encuentra t -valores donde la curva definida por las ecuaciones paramétricas dadas tiene una línea tangente horizontal. Nota: estas son las mismas ecuaciones que en los Ejercicios 5-12.

13. \(x=t,\,y=t^2\)

14. \(x=\sqrt{t},\,y=5t+2\)

15. \(x=t^2-t,\,y=t^2+t\)

16. \(x=t^2-1,\,y=t^3-t\)

17. \(x=\sec t,\,y=\tan t \text{ on }(-\pi/2, \pi/2)\)

18. \(x=\cos t,\,y=\sin (2t)\text{ on }[0,2\pi]\)

19. \(x=\cos t\sin (2t),\,y\sin t\sin (2t)\text{ on }[0,2\pi]\)

20. \(x=e^{t/10}\cos t,\,y=e^{t/10}\sin t\)

En los Ejercicios 21-24, encuentra\(t=t_0\) donde la gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas no es suave, luego encuentra\(\lim\limits_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}\).

21. \(x=\frac{1}{t^2+1},\quad y=t^3\)

22. \(x=-t^3+7t^2-16t+13,\quad y=t^3-5t^2+8t-2\)

23. \(x=t^3-3t^2+3t-1,\quad y=t^2-2t+1\)

24. \(x=\cos^2 t,\quad y=1-\sin^2 t\)

En los Ejercicios 25-32 se dan ecuaciones paramétricas para una curva. Encuentra\(\frac{d^2y}{dx^2}\), luego determina los intervalos en los que la gráfica de la curva es cóncava arriba/abajo. Nota: estas son las mismas ecuaciones que en los Ejercicios 5-12.

25. \(x=t,\, y=t^2;\quad t=1\)

26. \(x=\sqrt{t},\, y=5t+2;\quad t=4\)

27. \(x=t^2-t,\, y=t^2+t;\quad t=1\)

28. \(x=t^2,\, y=t^3-1;\quad t=0 \text{ and }t=1\)

29. \(x=\sec t,\, y=\tan t \text{ on }(-\pi/2,\pi/2);\quad t=\pi/4\)

30. \(x=\cos t,\, y=\sin (2t);\quad t=\pi/4\)

31. \(x=\cos t \sin (2t),\, y=\sin t \sin (2t)\text{ on }[0,2\pi];\quad t=3\pi /4\)

32. \(x=e^{t/10},\, y=e^{t/10}\sin t;\quad t=\pi/2\)

En los Ejercicios 37-40, se aproxima numéricamente a la longitud del arco dada.

37. Aproximar la longitud del arco de un pétalo de la curva de rosa\(x=\cos t \cos (2t)\) usando la Regla de Simpson y\(n=4\).

38. Aproximar la longitud del arco de la “curva de pajarita”\(x=\cos t,\quad y=\sin (2t)\) usando la Regla de Simpson y\(n=6\).

39. Aproximar la longitud del arco de la parábola\(x=t^2-t\),\(y=t^2+t\) el [-1,1] usando la Regla de Simpson y\(n=4\).

40. Una aproximación común de la circunferencia de una elipse dada por\(x=a\cos t,\quad y=b\sin t\) es\(C\approx 2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\).

En los Ejercicios 41-44 se describe un sólido de revolución. Encontrar o aproximar su área de superficie según lo especificado.

41. Encuentra el área de superficie de la esfera formada girando el círculo\(x=2\cos t,\quad y=2\sin t\) alrededor de:
(a) el eje x y
(b) el eje y.

42. Encuentra la superficie son del toro (o “donut”) formado girando el círculo\(x=\cos t+2,\quad y=\sin t\) alrededor del eje y.

43. Aproximado la superficie son del sólido formado girando la “mitad superior derecha” de la curva de la pajarita\(x=\cos t, y=\sin (2t)\text{ on }[0,\pi/2]\) alrededor del eje x, usando la Regla de Simpson y\(n=4\).

44. Aproximar el área superficial del sólido formado girando el pétalo de la curva de rosa\(x=\cos t \cos (2t),\, y=\sin t\cos (2t) \text{ on }[0,\pi/4]\) alrededor del eje x, usando la Regla de Simpson y\(n=4\).

9.4: Introducción a las coordenadas polares

Términos y Conceptos

1. En sus propias palabras, describa cómo trazar el punto polar\(P(r,\theta)\).

2. T/F: Al trazar un punto con coordenada polar\(P(r,\theta),\,r\) debe ser positivo.

3. T/F: Cada punto del plano cartesiano puede ser representado por una coordenada polar.

4. T/F: Cada punto en el plano cartesiano puede ser representado únicamente por una coordenada polar.

Problemas

5. Trazar los puntos con las coordenadas polares dadas.
a)\(A=P(2,0)\)
b)\(B=P(1,\pi)\)
c)\(C=P(-2,\pi/2)\)
d)\(D=P(1,\pi/4)\)

6. Trazar los puntos con las coordenadas polares dadas.
a)\(A=P(2,3\pi)\)
b)\(B=P(1,-\pi)\)
c)\(C=P(1,2)\)
d)\(D=P(1/2,5\pi/6)\)

7. Para cada uno de los puntos dados dar dos conjuntos de coordenadas polares que lo identifican, donde\(0\le \theta \le 2\pi\).

8. Para cada uno de los puntos dados dar dos conjuntos de coordenadas polares que lo identifican, donde\(-\pi\le \theta \le \pi\).

9. Convierte cada una de las siguientes coordenadas polares a rectangulares, y cada una de las siguientes coordenadas rectangulares a polares.
a)\(A=P(2,\pi/4)\)
b)\(B=P(2,-\pi/4)\)
c)\(C=P(2,-1)\)
d)\(D=P(-2,1)\)

10. Convierte cada una de las siguientes coordenadas polares a rectangulares, y cada una de las siguientes coordenadas rectangulares a polares.
a)\(A=P(3,\pi)\)
b)\(B=P(1,2\pi /3)\)
c)\(C=P(0,4)\)
d)\(D=P(1,-\sqrt{3})\)

En los Ejercicios 11-29, grafica la función polar en el intervalo dado.

11. \(r=2,\quad 0\le \theta\le \pi/2\)

12. \(\theta =\pi/6,\quad -1\le r\le \pi/2\)

13. \(r=1-\cos \theta,\quad [0,2\pi ]\)

14. \(r=2+\sin \theta,\quad [0,2\pi ]\)

15. \(r=2-\sin\theta,\quad [0,2\pi ]\)

16. \(r=1-2\sin \theta,\quad [0,2\pi ]\)

17. \(r=1+2\sin \theta,\quad [0,2\pi ]\)

18. \(r=\cos (2\theta),\quad [0,2\pi ]\)

19. \(r=\sin (3\theta),\quad [0,\pi ]\)

20. \(r=\cos (\theta /3),\quad [0,3\pi ]\)

21. \(r=\cos (2\theta /3),\quad [0,6\pi]\)

22. \(r=\theta /2,\quad [0,4\pi ]\)

23. \(r=3\sin (\theta),\quad [0,\pi ]\)

24. \(r=\cos \theta \sin\theta,\quad [0,2\pi ]\)

25. \(r=\theta^2-(\pi/2)^2,\quad [\pi,\pi ]\)

26. \(r=\frac{3}{5\sin \theta - \cos \theta},\quad [0,2\pi ]\)

27. \(r=\frac{-2}{3\cos \theta - 2\sin \theta},\quad [0,2\pi ]\)

28. \(r=3\sec \theta,\quad (-\pi/2,\pi/2)\)

29. \(r=3\csc \theta , \quad (0,\pi)\)

En los Ejercicios 30-38, convertir la ecuación polar en una ecuación rectangular.

30. \(r=2\cos \theta\)

31. \(r=-4\sin \theta\)

32. \(r=\cos \theta +\sin \theta\)

33. \(r=\frac{7}{5\sin \theta -2\cos \theta}\)

34. \(r=\frac{3}{\cos \theta}\)

35. \(r=\frac{4}{\sin \theta}\)

36. \(r=\tan \theta\)

37. \(r=2\)

38. \(\theta = \pi/6\)

En los Ejercicios 39-46, convertir la ecuación rectangular en una ecuación polar.

39. \(y=x\)

40. \(y=4x+7\)

41. \(x=5\)

42. \(y=5\)

43. \(x=y^2\)

44. \(x^2y=1\)

45. \(x^2+y^2=7\)

46. \(x+1)^2+y^2=1\)

En Ejercicios 47-54, encuentra los puntos de intersección de las gráficas polares.

47. \(r=\sin (2\theta) \text{ and }r=\cos \theta \text{ on }[0,\pi]\).

48. \(r=\cos (2\theta) \text{ and }r=\cos \theta \text{ on }[0,\pi]\).

49. \(r=2\cos \theta \text{ and }r=2\sin \theta \text{ on }[0,\pi]\).

50. \(r=\sin \theta \text{ and }r=\sqrt{3}+3\sin \theta \text{ on }[0,2 \pi]\).

51. \(r=\sin (3\theta) \text{ and }r=\cos (3\theta) \text{ on }[0,\pi]\).

52. \(r=3\cos \theta \text{ and }r=1+\cos \theta \text{ on }[-\pi,\pi]\).

53. \(r=1 \text{ and }r=2\sin (2\theta) \text{ on }[0,2\pi]\).

54. \(r=1-\cos \theta \text{ and }r=1+\sin \theta \text{ on }[0,2\pi]\).

55. Elija un valor entero para n, donde\(n\ne 2,3\) y use la tecnología\(r=\sin \left ( \frac{m}{n}\theta\right )\) para trazar tres valores enteros diferentes de m. Esboza estos y determina un intervalo mínimo en el que se muestra toda la gráfica.

56. Crea tu propia función polar,\(r=f(\theta)\) y bosquéala. Describa por qué la gráfica se ve como lo hace.

9.5: Cálculo y funciones polares

Términos y Conceptos

1. Dada la ecuación polar\(r=f(\theta)\), ¿cómo se pueden crear ecuaciones paramétricas de una misma curva?

2. Con coordenadas rectangulares, es natural aproximarse son con ________; con coordenadas polares, es natural aproximar área con _______.

Problemas

En los Ejercicios 3-10, encuentra;
(a)\(\frac{dy}{dx}\)
(b) la ecuación de las líneas tangentes y normales a la curva en el\(\theta\) valor indicado.

3. \(r=1;\quad \theta =\pi/4\)

4. \(r=\cos \theta;\quad \theta =\pi/4\)

5. \(r=1+\sin \theta;\quad \theta =\pi/6\)

6. \(r=1-\cos \theta;\quad \theta =3\pi/4\)

7. \(r=\theta;\quad \theta =\pi/2\)

8. \(r=\cos (3\theta);\quad \theta =\pi/6\)

9. \(r=\sin (4\theta ) ;\quad \theta =\pi/3\)

10. \(r=\frac{1}{\sin \theta -\cos \theta};\quad \theta =\pi\)

En Ejercicios 11-14, encuentra los valores de\(\theta\) en el intervalo dado donde la gráfica de la función polar tiene líneas tangentes horizontales y verticales.

11. \(r=3;\quad [0,2\pi]\)

12. \(r=2\sin \theta;\quad [0,\pi]\)

13. \(r=\cos (2\theta);\quad [0,2\pi]\)

14. \(r=1+\cos \theta;\quad [0,2\pi]\)

En los Ejercicios 15-16, encuentra la ecuación de las líneas tangentes a la gráfica en el polo.

15. \(r=\sin \theta ;\quad [0,\pi]\)

16. \(r=\sin (3\theta);\quad [0,\pi]\)

En Ejercicios 17-27, encuentra el área de la región descrita.

17. Encerrado por el círculo:\(r=4\sin \theta\)

18. Encerrado por el círculo\(r=5\)

19. Encerrado por un pétalo de\(r=\sin (3\theta)\)

20. Encerrado por el cardiod\(r=1-\sin \theta \)

21. Encerrado por el lazo interno del limacon\(r=1+2\cos t\)

22. Encerrado por el bucle exterior del limacon\(r=1+2\cos t\) (incluyendo el área encerrada por el bucle interno)

23. Encerrado entre el bucle interno y externo del limacon\(r=1+2\cos t\)

24. Encerrado por\(r=2\cos \theta\text{ and }r=\sin\theta\), como se muestra:

25. Encerrado por\(r=\cos (3\theta)\text{ and }r=\sin (3\theta)\), como se muestra:

26. Encerrado por\(r=\cos \theta \text{ and }r=\sin (2\theta)\), como se muestra:

27. Encerrado por\(r=\cos \theta \text{ and }r=1-\cos \theta\), como se muestra:

En los Ejercicios 28-32, conteste las preguntas relacionadas con la longitud del arco.

28. Vamos\(x(\theta)=f(\theta)\cos \theta \text{ and }y(\theta)=f(\theta)\sin \theta\). Mostrar, como sugiere el texto, eso\(x'(\theta)^2+y'(\theta)^2=f'(\theta)^2+f(\theta)^2\).

29. Utilice la fórmula de longitud de arco para calcular la longitud del arco del círculo\(r=2\).

30. Utilice la fórmula de longitud de arco para calcular la longitud del arco del círculo\(r=4\sin \theta\).

31. Aproximar la longitud del arco de un pétalo de la curva de rosa\(r=\sin (3\theta)\) con la Regla de Simpson y\(n=4\).

32. Aproximar la longitud del arco del cardiod\(r=1+\cos \theta\) con la Regla de Simpson y\(n=6\).

En los Ejercicios 33-37, conteste las preguntas que involucren área superficial.

33. Usa la Idea Clave 44 para encontrar el área de superficie de la esfera formada girando el círculo\(r=2\) alrededor del rayo inicial.

34. Usa la Idea Clave 44 para encontrar el área de superficie de la esfera formada girando el círculo\(r=2\cos \theta\) alrededor del rayo inicial.

35. Encontrar el área superficial de un sólido formado girando el cardiod\(r=1+\cos \theta\) alrededor del rayo inicial.

36. Encuentra el área de superficie del sólido formado girando el círculo\(r=2\cos \theta\) alrededor de la línea\(\theta=\pi/2\).

37. Encuentra el área de superficie del sólido formado girando la línea\(r=3\sec \theta,\,-\pi/4 \le \theta \le \pi/4\), alrededor de la línea\(\theta=\pi/2\).