10.4: El Producto Cruzado

La “ortogonalidad” es inmensamente importante. Un escaneo rápido de su entorno actual sin duda revelará numerosas superficies y bordes que son perpendiculares entre sí (incluidos los bordes de esta página). El producto punto proporciona una prueba rápida de ortogonalidad: vectores\(\vec u\) y\(\vec v\) son perpendiculares si, y solo si,\(\vec u \cdot \vec v=0\).

Dados dos vectores no paralelos, distintos de cero\(\vec u\) y\(\vec v\) en el espacio, es muy útil encontrar un vector\(\vec w\) que sea perpendicular a ambos\(\vec u\) y\(\vec v\). Hay una operación, llamada producto cruzado, que crea tal vector. Esta sección define el producto cruzado, luego explora sus propiedades y aplicaciones.

Definición 61 Productos cruzados

Dejar\(\vec u =\langle u_1,u_2,u_3\rangle\) y\(\vec v = \langle v_1,v_2,v_3\rangle\) ser vectores en\(\mathbb{R}^3\). El producto cruzado de\(\vec u\) y\(\vec v\), denotado\(\vec u \times \vec v\), es el vector

\[\vec u \times \vec v = \langle u_2v_3-u_3v_2,-(u_1v_3-u_3v_1),u_1v_2-u_2v_1\rangle.\]

Esta definición puede ser un poco engorrosa de recordar. Después de un ejemplo daremos un método conveniente para computar el producto cruzado. Por ahora, un examen cuidadoso de los productos y las diferencias dadas en la definición debería revelar un patrón que no es demasiado difícil de recordar. (Por ejemplo, en el primer componente solo aparecen 2 y 3 como subíndices; en el segundo componente, solo 1 y 3 aparecen como subíndices. Un estudio posterior revela el orden en que aparecen.)

Practicemos usando esta definición computando un producto cruzado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Computing a cross product

Dejar\(\vec u = \langle 2,-1,4\rangle\) y\(\vec v = \langle 3,2,5\rangle\). Encontrar\(\vec u \times \vec v\), y verificar que sea ortogonal a ambos\(\vec u\) y\(\vec v\).

Solución
Usando la Definición 61, tenemos

\[\vec u \times \vec v = \langle (-1)5-(4)2,-\left((2)5-(4)3\right) , (2)2-(-1)3\rangle = \langle -13,2,7\rangle.\]

(Animamos al lector a computar este producto por su cuenta, luego verificar su resultado).

Probamos si\(\vec u \times \vec v\) es ortogonal o no a\(\vec u\) y\(\vec v\) usando el producto punto:

\[\left(\vec u \times \vec v\right) \cdot \vec u = \langle -13,2,7\rangle \cdot \langle 2,-1,4\rangle = 0,\]

\[\left(\vec u \times \vec v\right) \cdot \vec v = \langle -13,2,7\rangle \cdot \langle 3,2,5 \rangle = 0.\]

Dado que ambos productos de punto son cero,\(\vec u \times \vec v\) es de hecho ortogonal a ambos\(\vec u\) y\(\vec v\).

Un método conveniente para calcular el producto cruzado comienza con la formación de una\(3\times 3\) matriz particular, o matriz rectangular. La primera fila comprende los vectores unitarios estándar\(\vec i\),\(\vec j\), y\(\vec k\). La segunda y tercera filas son los vectores\(\vec u\) y\(\vec v\), respectivamente. Usando\(\vec u\) y\(\vec v\) del Ejemplo 10.4.1, comenzamos con:

Ahora repite las dos primeras columnas después de las tres originales:

Esto da tres diagonales completas “superior izquierda a inferior derecha”, y tres diagonales completas “superior derecha a inferior izquierda”, como se muestra. Calcular los productos a lo largo de cada diagonal, luego sumar los productos a la derecha y restar los productos a la izquierda:

\[\vec u \times \vec v = \left(-5\vec i+12\vec j+4\vec k\,\right) - \left(-3\vec k+8\vec i+10\vec j\,\right) = -13\vec i+2\vec j+7\vec k = \langle -13,2,7\rangle.\]

Practicamos usando este método.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Computing a cross product

Dejar\(\vec u=\langle 1,3,6\rangle\) y\(\vec v = \langle -1,2,1\rangle\). Calcular ambos\(\vec u \times \vec v\) y\(\vec v \times \vec u\).

Solución

Para calcular\(\vec u \times \vec v\), formamos la matriz como se prescribe anteriormente, completa con primeras columnas repetidas:

\[\begin{array}{ccccc} \ \vec i\ &\ \vec j\ &\ \vec k\ &\ \vec i\ &\ \vec j\ \\ 1&3&6&1&3\\-1&2&1&-1&2\end{array}\]

Dejamos que el lector compute los productos de las diagonales; damos el resultado:

\[\vec u \times \vec v = \left(3\vec i-6\vec j+2\vec k\,\right) - \left(-3\vec k + 12\vec i+\vec j\,\right) = \langle -9,-7,5\rangle.\]

Para calcular\(\vec v \times \vec u\), cambiamos la segunda y tercera filas de la matriz anterior, luego multiplicamos a lo largo de diagonales y restamos:

\[\begin{array}{ccccc} \ \vec i\ &\ \vec j\ &\ \vec k\ &\ \vec i\ &\ \vec j\ \\-1&2&1&-1&2\\ 1&3&6&1&3\end{array}\]

Observe cómo con las filas que se cambian, los productos que alguna vez aparecieron en el ahora derecho aparecen a la izquierda, y viceversa. Así el resultado es:

\[\vec v \times \vec u = \left(12\vec i+\vec j-3\vec k\,\right) - \left(2\vec k + 3\vec i-6\vec j\,\right) = \langle 9,7,-5\rangle,\]

que es lo contrario de\(\vec u \times \vec v\). Dejamos al lector verificar que cada uno de estos vectores es ortogonal a\(\vec u\) y\(\vec v\).

Propiedades del Producto Cruzado

No es casualidad que\(\vec v \times \vec u = -(\vec u \times \vec v)\) en el ejemplo anterior; se pueda demostrar usando la Definición 61 que este siempre será el caso. El siguiente teorema establece varias propiedades útiles del producto cruzado, cada una de las cuales se puede verificar haciendo referencia a la definición.

TEORAMA 87 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ

Dejar\(\vec u\),\(\vec v\) y\(\vec w\) ser vectores adentro\(\mathbb{R}^3\) y dejar\(c\) ser un escalar. Se mantienen las siguientes identidades:

1. \(\vec u \times \vec v = -(\vec v \times \vec u)\)Propiedad anticonmutativa
2. a) Propiedades\((\vec u+\vec v)\times \vec w = \vec u \times \vec w+\vec v \times \vec w\) distributivas
   b\(\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u \times \vec v+\vec u \times \vec w\)
3. \(c(\vec u \times \vec v) = (c\vec u) \times \vec v = \vec u \times (c\vec v)\)
4. a) Propiedades de\(\vec u \times \vec v)\cdot \vec u = 0\) ortogonalidad
   b\((\vec u \times \vec v)\cdot \vec v = 0\)
5. \(\vec u \times \vec u = \vec 0\)
6. \(\vec u \times \vec 0 = \vec 0\)
7. \(\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u \times \vec v)\cdot \vec w\)Producto Triple Escalar

Introducimos el producto cruzado como una forma de encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados, pero no dimos una prueba de que la construcción dada en la Definición 61 satisface esta propiedad. El teorema 87 afirma que esta propiedad posee; la dejamos como problema en la sección Ejercicio para verificar esto.

La propiedad 5 del teorema también se deja al lector para que lo pruebe en la sección Ejercicio, pero revela algo más interesante que “lo es el producto cruzado de un vector consigo mismo”\(\vec 0\). Dejar\(\vec u\) y\(\vec v\) ser vectores paralelos; es decir, que haya un escalar\(c\) tal que\(\vec v = c\vec u\). Considera su producto cruzado:

\ [\ begin {align*}
\ vec u\ times\ vec v &=\ vec u\ times (c\ vec u)\ quad &&\\
&= c (\ vec u\ times\ vec u)\ quad &&\ text {(por Propiedad 3 del Teorema 87)}\\
&=\ vec 0. \ quad &&\ text {(por la Propiedad 5 del Teorema 87)}
\ end {align*}\]

Acabamos de demostrar que el producto cruzado de vectores paralelos es\(\vec 0\). Esto insinúa algo más profundo. El teorema 86 relacionó el ángulo entre dos vectores y su producto puntual; existe una relación similar que relaciona el producto cruzado de dos vectores y el ángulo entre ellos, dado por el siguiente teorema.

TEORAMA 88 LA CRUZ PRODUCTO Y ANGUL

Dejar\(\vec u\) y\(\vec v\) ser vectores en\(\mathbb{R}^3\). Entonces

\[\norm{\vec u \times \vec v} = \norm u\, \norm v \sin\theta,\]

donde\(\theta\),\(0\leq \theta \leq \pi\), es el ángulo entre\(\vec u\) y\(\vec v\).

Nota: La definición 58 (a través del Teorema 86) define\(\vec u\) y\(\vec v\) ser ortogonal si\(\vec u\cdot\vec v=0\). Podríamos usar el Teorema 88 para definir\(\vec u\) y\(\vec v\) son paralelos si\(\vec u\times \vec v = 0\). Por tal definición,\(\vec 0\) sería tanto ortogonal como paralelo a cada vector. Paradojas aparentes como esta no son infrecuentes en matemáticas y pueden ser muy útiles.

Obsérvese que este teorema hace una declaración sobre la magnitud del producto cruzado. Cuando el ángulo entre\(\vec u\) y\(\vec v\) es 0 o\(\pi\) (es decir, los vectores son paralelos), la magnitud del producto cruzado es 0. El único vector con una magnitud de 0 es\(\vec 0\) (ver Propiedad 9 del Teorema 84), de ahí que el producto cruzado de vectores paralelos sea\(\vec 0\).

Demostramos la verdad de este teorema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): The cross product and angles

Dejar\(\vec u = \langle 1,3,6\rangle\) y\(\vec v = \langle -1,2,1\rangle\) como en el Ejemplo 10.4.2. Verificar el teorema 88 encontrando\(\theta\), el ángulo entre\(\vec u\) y\(\vec v\), y la magnitud de\(\vec u \times \vec v\).

Solución

Utilizamos el Teorema 86 para encontrar el ángulo entre\(\vec u\) y\(\vec v\).

\ begin {alinear*}
\ theta &=\ cos^ {-1}\ izquierda (\ frac {\ vec u\ cdot\ vec v} {\ norma u\,\ norma v}\ derecha)\\
&=\ cos^ {-1}\ izquierda (\ frac {11} {\ sqrt {46}\ sqrt {6}}\ derecha)\\
&\ aprox. 0.8471 = 48.471 = 54^\ circ.
\ end {alinear*}

Nuestro trabajo en el Ejemplo 10.4.2 demostró que\(\vec u \times \vec v = \langle -9,-7,5\rangle\), de ahí\(\norm{\vec u \times \vec v} = \norm u\, \norm v\sin\theta\) ¿\(\norm{\vec u \times \vec v} = \sqrt{155}.\)Es? Usando aproximaciones numéricas, encontramos:

\ [\ comenzar {alinear*}
\ norma {\ vec u\ veces\ vec v} &=\ sqrt {155} &\ norma u\,\ norma v\ sin\ theta & =\ sqrt {46}\ sqrt {6}\ sin 0.8471\\
&\ aprox 12.45. & &\ aprox 12.45.
\ end {alinear*}\]

Numéricamente, parecen iguales. Usando un triángulo rectángulo, uno puede mostrar que

\[\sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{46}\sqrt{6}}\right)\right) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{46}\sqrt{6}},\]
|lo que nos permite verificar exactamente el teorema.

Regla de la mano derecha

La propiedad anticonmutativa del producto cruzado demuestra eso\(\vec u \times \vec v\) y\(\vec v \times \vec u\) difieren solo por un signo, estos vectores tienen la misma magnitud pero apuntan en la dirección opuesta. Al buscar un vector perpendicular a\(\vec u\) y\(\vec v\), esencialmente tenemos dos direcciones para elegir, una en la dirección de\(\vec u \times \vec v\) y otra en la dirección de\(\vec v \times \vec u\). ¿Importa cuál elegimos? ¿Cómo podemos saber cuál obtendremos sin graficar, etc.?

Otra maravillosa propiedad del producto cruzado, como se define, es que sigue la regla de la mano derecha. Dado\(\vec u\) y\(\vec v\) adentro\(\mathbb{R}^3\) con el mismo punto inicial, apunte el dedo índice de tu mano derecha en la dirección de\(\vec u\) y deja que tu dedo medio apunte en la dirección de\(\vec v\) (tanto como hicimos al establecer la regla de la mano derecha para el sistema de coordenadas tridimensionales). Tu pulgar se extenderá naturalmente en la dirección de\(\vec u \times \vec v\). Uno puede “practicar” esto usando la Figura 10.39. Si cambia, y apunta el buscador índice en la dirección de\(\vec v\) y el dedo medio en la dirección de\(\vec u\), su pulgar ahora apuntará en la dirección opuesta, lo que le permitirá “visualizar” la propiedad anticonmutativa del producto cruzado.

Figura 10.39: Ilustrando la Regla de la Mano Derecha del producto cruzado.

Aplicaciones del producto cruzado

Hay una serie de formas en las que el producto cruzado es útil en matemáticas, física y otras áreas de la ciencia más allá de “solo” encontrar un vector perpendicular a otras dos. Destacamos algunos aquí.

Área de un paralelogramo

Es un hecho de geometría estándar que el área de un paralelogramo es\(A = bh\), donde\(b\) está la longitud de la base y\(h\) es la altura del paralelogramo, como se ilustra en la Figura 10.40 (a). Como se muestra al definir la Ley de Paralelogramo de adición vectorial, dos vectores\(\vec u\) y\(\vec v\) definen un paralelogramo cuando se dibuja a partir del mismo punto inicial, como se ilustra en la Figura 10.40 (b). La trigonometría nos dice que\(h = \norm u \sin \theta\), de ahí que el área del paralelogramo sea

\[A = \norm u\,\norm v\sin\theta = \norm{\vec u \times \vec v},\label{eq:crossp1}\]

donde la segunda igualdad proviene del Teorema 88.

Figura 10.40: Usando el producto cruzado para encontrar el área de un paralelogramo.

Ilustramos usando la ecuación\ eqref {eq:crossp1} en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Finding the area of a parallelogram

1. Encuentra el área del paralelogramo definido por los vectores\(\vec u = \langle 2,1\rangle\) y\(\vec v = \langle 1,3\rangle\).
2. Verificar que los puntos\(A = (1,1,1)\),\(B = (2,3,2)\),\(C = (4,5,3)\) y\(D = (3,3,2)\) son los vértices de un paralelogramo. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución

1. La Figura 10.41 (a) esboza el paralelogramo definido por los vectores\(\vec u\) y\(\vec v\). Tenemos un pequeño problema en que nuestros vectores existen en\(\mathbb{R}^2\), no\(\mathbb{R}^3\), y el producto cruzado solo se define en vectores en\(\mathbb{R}^3\). Bordeamos este número viendo\(\vec u\) y\(\vec v\) como vectores en el\(x-y\) plano de\(\mathbb{R}^3\), y los reescribimos como\(\vec u = \langle 2,1,0\rangle\) y\(\vec v =\langle 1,3,0\rangle\). Ahora podemos calcular el producto cruzado. Es fácil demostrarlo\(\vec u \times \vec v = \langle 0,0,5\rangle\); por lo tanto el área del paralelogramo es\(A = \norm{\vec u \times \vec v} = 5\).
   
2. Para mostrar que el cuadrilátero\(ABCD\) es un paralelogramo (mostrado en la Figura 10.41 (b)), necesitamos mostrar que los lados opuestos son paralelos. Podemos demostrarlo rápidamente\(\vec{AB} =\vec{DC} = \langle 1,2,1\rangle\) y\(\vec{BC} = \vec{AD} = \langle 2,2,1\rangle\). Encontramos el área calculando la magnitud del producto cruzado de\(\vec{AB}\) y\(\vec{BC}\):
   \[\vec{AB} \times \vec{BC} = \langle 0,1,-2\rangle \quad \Rightarrow \quad \norm{\vec{AB}\times\vec{BC}} = \sqrt{5} \approx 2.236.\]

Figura 10.41: Esbozo de los paralelogramos en el Ejemplo 10.4.4.

Esta aplicación es quizás más útil para encontrar el área de un triángulo (en definitiva, los triángulos se utilizan con más frecuencia que los paralelogramos). Esto lo ilustramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Area of a triangle

Encuentra el área del triángulo con vértices\(A=(1,2)\),\(B=(2,3)\) y\(C=(3,1)\), como se muestra en la Figura 10.42.

Solución

Encontramos que el área de este triángulo en un ejemplo anterior estaba\(1.5\) usando integración. Allí discutimos el hecho de que encontrar el área de un triángulo puede ser inconveniente usando la fórmula "\(\frac12bh\)" ya que se tiene que calcular la altura, lo que generalmente implica encontrar ángulos, etc. El uso de un producto cruzado es mucho más directo.

Figura 10.42: Encontrar el área de un triángulo en el Ejemplo 10.4.5

Podemos elegir cualquiera de los dos lados del triángulo para usar para formar vectores; elegimos\(\vec{AB} = \langle 1,1\rangle\) y\(\vec{AC}=\langle 2,-1\rangle\). Al igual que en el ejemplo anterior, reescribiremos estos vectores con un tercer componente de 0 para que podamos aplicar el producto cruzado. El área del triángulo es

\[\frac12\norm{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac12\norm{\langle 1,1,0\rangle \times \langle 2,-1,0\rangle} = \frac12\norm{\langle 0,0,-3\rangle} = \frac32.\]

Llegamos a la misma respuesta que antes con menos trabajo.

Volumen de un Paralelepípedo

El análogo tridimensional al paralelogramo es el paralelepípedo. Cada cara es paralela a la cara opuesta, como se ilustra en la Figura 10.43. Al cruzar\(\vec v\) y\(\vec w\), se obtiene un vector cuya magnitud es el área de la base. ¡Salpicando este vector con\(\vec u\) calcula el volumen de paralelepípedo! (Hasta un signo; tomar el valor absoluto.)

Figura 10.43: Un paralelepípedo es el análogo tridimensional al paralelogramo.

Así el volumen de un paralelepípedo definido por vectores\(\vec u\),\(\vec v\) y\(\vec w\) es\[V = |\vec u\cdot (\vec v \times \vec w)|.\label{eq:crossp2}\]
Obsérvese cómo este es el Producto Triple Escalar, visto por primera vez en el Teorema 87. Aplicando las identidades dadas en el teorema muestra que podemos aplicar el Producto Triple Escalar en cualquier “orden” que escojamos para encontrar el volumen. Es decir,
\[V = |\vec u\cdot(\vec v \times \vec w)| = |\vec u\cdot (\vec w \times \vec v)| = |(\vec u \times \vec v)\cdot \vec w|,\quad \text{etc.}\]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding the volume of parallelepiped

Encuentra el volumen del paralelipado definido por los vectores\(\vec u = \langle 1,1,0\rangle\),\(\vec v = \langle -1,1,0\rangle\) y\(\vec w = \langle 0,1,1\rangle\).

Solución

Aplicamos la Ecuación\ eqref {eq:crossp2}. Primero encontramos\(\vec v \times \vec w =\langle 1,1,-1\rangle\). Entonces

\[|\vec u\cdot(\vec v \times \vec w)| = |\langle 1,1,0\rangle \cdot \langle1,1,-1\rangle| = 2.\]

Entonces el volumen del paralelepípedo es de 2 unidades cúbicas.

Figura 10.44: Un paralelepípedo en el Ejemplo 10.4.6

Si bien esta aplicación del Producto Triple Escalar es interesante, no se usa con tanta frecuencia: los paralelepípedos no son una forma común en física e ingeniería. La última aplicación del producto cruzado es muy aplicable en ingeniería.

Torque

El par es una medida de la fuerza de giro aplicada a un objeto. Un escenario clásico que involucra torque es la aplicación de una llave a un perno. Cuando se aplica una fuerza a la llave, el perno gira. Cuando representamos la fuerza y la llave con vectores\(\vec F\) y\(\vec \ell\), vemos que el perno se mueve (debido a las roscas) en una dirección ortogonal a\(\vec F\) y\(\vec \ell\). El par generalmente se representa por la letra griega\(\tau\), o tau, y tiene unidades de N\(\cdot\) m, un Newton—metro, o ft\(\cdot\) lb, un pie—libra.

Si bien una comprensión completa del par está más allá de los propósitos de este libro, cuando\(\vec F\) se aplica una fuerza a un brazo de palanca\(\vec \ell\), el par resultante es

\[\vec \tau = \vec \ell \times \vec F.\label{eq:crossp3}\]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Computing torque

Una palanca de 2 pies de longitud hace un ángulo con la horizontal de\(45^\circ\). Encuentre el par resultante cuando se aplique una fuerza de 10 lb al final del nivel donde:

1. la fuerza es perpendicular a la palanca, y
2. la fuerza hace un ángulo de\(60^\circ\) con la palanca, como se muestra en la Figura 10.45.

Figura 10.45: Muestra una fuerza aplicada a una palanca en el Ejemplo 10.4.7.

Solución

1. Comenzamos determinando vectores para el brazo de fuerza y palanca. Dado que el brazo de palanca forma un\(45^\circ\) ángulo con la horizontal y mide 2ft de largo, podemos afirmar que\(\vec \ell = 2\langle \cos 45^\circ,\sin 45^\circ\rangle = \langle \sqrt2,\sqrt2\rangle.\)
   
   Dado que el vector de fuerza es perpendicular al brazo de palanca (como se ve en el lado izquierdo de la Figura 10.45), podemos concluir que está haciendo un ángulo de\(-45^\circ\) con la horizontal. Como tiene una magnitud de 10lb, podemos afirmar\(\vec F = 10\langle \cos (-45^\circ), \sin(-45^\circ)\rangle = \langle 5\sqrt2,-5\sqrt2\rangle.\)
   
   Usando la Ecuación 10.45 para encontrar que el par requiere un producto cruzado. Nuevamente dejamos que el tercer componente de cada vector sea 0 y calculamos el producto cruzado:
   \[\begin{align*}\vec\tau &= \vec \ell \times \vec F \\&= \langle \sqrt2,\sqrt2,0\rangle \times \langle 5\sqrt2,-5\sqrt2,0\rangle \\&= \langle 0,0,-20\rangle\end{align*}\]
   Esto claramente tiene una magnitud de 20 ft-lb.
   
   Podemos ver los vectores de fuerza y brazo de palanca como “en la página”; nuestro cálculo de\(\vec\tau\) muestra que el par va “a la página”. Esto sigue la Regla de la Mano Derecha del producto cruzado, y también coincide bien con el ejemplo de la llave que gira el perno. Girando un perno en sentido horario lo mueve hacia dentro.
   
2. Nuestro brazo de palanca todavía puede ser representado por\(\vec \ell = \langle \sqrt2,\sqrt2\rangle\). Como nuestro vector de fuerza hace un\(60^\circ\) ángulo con\(\vec \ell\), podemos ver (haciendo referencia al lado derecho de la figura) que\(\vec F\) hace un\(-15^\circ\) ángulo con la horizontal. Así
   \[\begin{align*}\vec F = 10\langle \cos-15^\circ,\sin-15^\circ\rangle &= \langle \frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},-\frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2}\rangle \\&\approx \langle 9.659,-2.588\rangle.\end{align*}\]
   volvemos a hacer el tercer componente 0 y tomamos el producto cruzado para encontrar el par:
   \[\begin{align*}\vec\tau &= \vec \ell \times \vec F\\&= \langle \sqrt2,\sqrt2,0\rangle \times \langle \frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},-\frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},0\rangle\\&= \langle 0,0,-10\sqrt3\rangle\\&\approx \langle 0,0,-17.321\rangle.\end{align*}\]
   Como cabría esperar, cuando los vectores de fuerza y brazo de palanca son ortogonales, la magnitud de la fuerza es mayor que cuando los vectores no son ortogonales.

Si bien el producto cruzado tiene una variedad de aplicaciones (como se señala en este capítulo), su uso fundamental es encontrar un vector perpendicular a otros dos. Saber que un vector es ortogonal a otros dos es de increíble importancia, ya que nos permite encontrar las ecuaciones de líneas y planos en una variedad de contextos. La importancia del producto cruzado, en cierto sentido, se basa en la importancia de líneas y planos, que ven un uso generalizado a lo largo de la ingeniería, la física y las matemáticas. Estudiamos líneas y planos en las dos secciones siguientes.