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11.2: Cálculo y Funciones Vectoriales

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    111766
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La sección anterior nos introdujo a un nuevo objeto matemático, la función vectorizada. Ahora aplicamos conceptos de cálculo a estas funciones. Comenzamos con el límite, luego trabajamos nuestro camino a través de derivados a integrales.

    Límites de las funciones valoradas por vectores

    La definición inicial del límite de una función valorada por vector es un poco intimidante, al igual que la definición del límite en la Definición 1. El teorema que sigue a la definición muestra que en la práctica, tomar límites de funciones de valor vectorial no es más difícil que tomar límites de funciones de valor real.

    Definición 68: Límites de las funciones con valores vectoriales

    Dejar\(I\) ser un intervalo abierto que contiene\(c\), y dejar\(\vecs r(t)\) ser una función vector-valorada definida en\(I\), excepto posiblemente en\(c\). El límite de\(\vecs r(t)\), a medida que\(t\) se aproxima\(c\), es\(\vecs L\), expresado como

    \[\lim_{t\to c} \vecs r(t) = \vecs L,\]

    significa que dada alguna\(\epsilon>0\), existe\(\delta>0\) tal que para todos\(t\neq c\), si\(|t-c| <\delta\), tenemos\(\norm{\vecs r(t) - \vecs L} < \epsilon.\)

    Observe cómo la medición de distancia entre números reales es el valor absoluto de su diferencia; la medida de distancia entre vectores es la norma vectorial, o magnitud, de su diferencia.

    teorema 89: Límites de Funciones Vector-Valoradas

    1. Dejar\(\vecs r(t) = \langle \,f(t),g(t)\,\rangle\) ser una función vector-valorada en\(\mathbb{R}^2\) definida en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\). Entonces\[\lim_{t\to c} \vecs r(t) = \langle \lim_{t\to c}f(t)\, , \,\lim_{t\to c} g(t)\rangle.\]
    2. Dejar\(\vecs r(t) = \langle \,f(t),g(t),h(t)\,\rangle\) ser una función vector-valorada en\(\mathbb{R}^3\) definida en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\). Entonces\[\lim_{t\to c} \vecs r(t) = \langle \lim_{t\to c}f(t)\, , \,\lim_{t\to c} g(t)\,, \,\lim_{t\to c} h(t)\rangle\]

    El teorema 89 establece que calculamos límites por componentes.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding limits of vector-valued functions

    Vamos a\(\vecs r(t) = \langle \frac{\sin t}{t},\, t^2-3t+3,\,\cos t\rangle.\) encontrar\( \lim_{t\to 0}\vecs r(t)\).

    Solución

    Aplicamos el teorema y los límites de cómputos por componentes.

    \ [\ begin {alinear*}
    \ lim_ {t\ to0}\ vecs r (t) &=\ langle\ lim_ {t\ a 0}\ frac {\ sin t} {t}\,,\ lim_ {t\ a 0} t^2-3t+3\,,\,\ lim_ {t\ a 0}\ cos t\ rangle\\
    &= Langle 1,3,1\ rangle.
    \ end {alinear*}\]

    Continuidad

    Definición 69: Continuidad de las funciones con valores vectoriales

    Let\(\vecs r(t)\) Ser una función vector-valorada definida en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\).

    1. \(\vecs r(t)\)es continuo en\(c\) si\( \lim_{t\to c} \vecs r(t) = r(c)\).
    2. Si\(\vecs r(t)\) es continuo en absoluto\(c\) adentro\(I\), entonces\(\vecs r(t)\) es continuo en\(I\).

    Nuevamente tenemos un teorema que nos permite evaluar la continuidad en cuanto a componentes.

    TEORAMA 90: Continuidad de las Funciones Vectoriales

    Let\(\vecs r(t)\) Ser una función vector-valorada definida en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\). \(\vecs r(t)\)es continuo en\(c\) si, y solo si, cada una de sus funciones componentes es continua en\(c\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Evaluating continuity of vector-valued functions

    Dejar\(\vecs r(t) = \langle \frac{\sin t}{t},\, t^2-3t+3,\,\cos t\rangle.\) Determinar si\(\vecs r\) es continuo en\(t=0\) y\(t=1\).

    Solución

    Mientras que el segundo y tercer componentes de\(\vecs r(t)\) se definen en\(t=0\), el primer componente,\((\sin t)/t\), no lo es. Dado que el primer componente ni siquiera se define en\(t=0\), no\(\vecs r(t)\) se define en\(t=0\), y por lo tanto no es continuo en\(t=0\).

    En\(t=1\) cada una de las funciones componentes es continua. Por lo tanto\(\vecs r(t)\) es continuo en\(t=1\).

    Derivados

    Considere una función de valor vectorial\(\vecs r\) definida en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(t_0\) y\(t_1\). Podemos calcular el desplazamiento de\(\vecs r\) on\([t_0,t_1]\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1a}\). Recordemos que dividir el vector de desplazamiento por\(t_1-t_0\) da la tasa promedio de cambio en\([t_0,t_1]\), como se muestra en\(\PageIndex{1b}\).

    11.8.PNG
    Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustrando el desplazamiento, dando lugar a una comprensión de la derivada de funciones vectoriales.

    La derivada de una función vectorizada es una medida de la tasa instantánea de cambio, medida tomando el límite como la longitud de\([t_0,t_1]\) va a 0. En lugar de pensar en un intervalo como\([t_0,t_1]\), pensamos en ello como\([c,c+h]\) para algún valor de\(h\) (de ahí que el intervalo tenga longitud\(h\)). La tasa promedio de cambio es

    \[\frac{\vecs r(c+h)-\vecs r(c)}{h}\]

    por cualquier valor de\(h\neq0\). Tomamos el límite\(h\to0\) para medir la tasa instantánea de cambio; esta es la derivada de\(\vecs r\).

    Definición 70: Derivada de una Función Vectorial

    Dejar\(\vecs r(t)\) ser continuo en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\).

    1. La derivada de\(\vecs r\) at\(t=c\) es\[\vecs r ^\prime (c) = \lim_{h\to 0} \frac{\vecs r(c+h) - \vecs r(c)}{h}.\]
    2. El derivado de\(\vecs r\) es\[\vecs r ^\prime (t) = \lim_{h\to 0} \frac{\vecs r(t+h) - \vecs r(t)}{h}.\]

    Nota: Las notaciones alternativas para la derivada de\(\vecs r\) incluyen:\[\vecs r ^\prime(t) = \frac{d}{dt}\big(\,\vecs r(t)\,\big) = \frac{d\vecs r}{dt}.\]

    Si una función con valor vectorial tiene una derivada para todos\(c\) en un intervalo abierto\(I\), decimos que\(\vecs r(t)\) es diferenciable on\(I\).

    Una vez más podríamos ver esta definición como intimidante, pero recordemos que podemos evaluar los límites en cuanto a componentes. El siguiente teorema verifica que esto significa que también podemos calcular derivados por componentes, haciendo que la tarea no sea demasiado difícil.

    teorema 91: Derivadas de Funciones Valoradas por Vector

    1. Vamos\(\vecs r(t) = \langle \, f(t), g(t)\,\rangle\). Entonces\[\vecs r ^\prime(t) = \langle\, f^\prime (t), g^\prime (t)\, \rangle.\]
    2. Vamos\(\vecs r(t) = \langle \, f(t), g(t), h(t)\,\rangle\). Entonces\[\vecs r ^\prime(t) = \langle\, f^\prime (t), g^\prime (t), h^\prime (t)\, \rangle.\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Derivatives of vector-valued functions

    Vamos\(\vecs r(t) = \langle t^2,t\rangle\).

    1. Croquis\(\vecs r(t)\) y\(\vecs r ^\prime(t)\) en los mismos ejes.
    2. Calcular\(\vecs r ^\prime(1)\) y bosquejar este vector con su punto inicial en el origen y en\(\vecs r(1)\).

    Solución

    1. El teorema 91 nos permite computar derivados por componentes, así\[\vecs r ^\prime(t) = \langle 2t, 1\rangle.\]\(\vecs r(t)\) y\(\vecs r ^\prime(t)\) se grafican juntos en la Figura 11.9 (a). Observe cómo trazar los dos juntos, de esta manera, no es muy esclarecedor. Al tratar con funciones de valor real, el trazado\(f(x)\) con nos\(f^\prime (x)\) dio información útil ya que pudimos comparar\(f\) y\(f^\prime \) al mismo\(x\) -valores. Cuando se trata de funciones con valores vectoriales, es difícil saber qué puntos en la gráfica de\(\vecs r ^\prime\) corresponden a qué puntos en la gráfica de\(\vecs r\).
    2. Nosotros calculamos fácilmente\(\vecs r ^\prime(1) = \langle 2,1\rangle\), que se dibuja en Figura\(\PageIndex{2a}\) con su punto inicial en el origen, así como en\(\vecs r(1) = \langle 1,1\rangle.\) Estos se esbozan en Figura\(\PageIndex{2b}\).
    imageedit_2_7341053437.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Graficando la derivada de una función con valor vectorial en el Ejemplo 11.2.3

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Derivatives of vector-valued functions

    Vamos\(\vecs r(t) = \langle \cos t, \sin t, t\rangle\). Cómputos\(\vecs r ^\prime(t)\) y\(\vecs r ^\prime(\pi/2)\). Croquis\(\vecs r ^\prime(\pi/2)\) con su punto inicial en el origen y en\(\vecs r(\pi/2)\).

    Solución

    Calculamos\(\vecs r ^\prime\) como\(\vecs r ^\prime(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1\rangle\). En\(t= \pi/2\), tenemos\(\vecs r ^\prime(\pi/2) = \langle -1,0,1\rangle\). La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una gráfica de\(\vecs r(t)\), con\(\vecs r ^\prime(\pi/2)\) trazado con su punto inicial en el origen y en\(\vecs r(\pi/2)\).

    imageedit_6_8257622551.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Visualización de una función vectorizada y su derivada en un punto.

    En Ejemplos\(\PageIndex{3}\) y\(\PageIndex{4}\), esbozar una derivada particular con su punto inicial en el origen no pareció revelar nada significativo. Sin embargo, cuando esbozamos el vector con su punto inicial en el punto correspondiente de la gráfica, sí vimos algo significativo: el vector parecía ser tangente a la gráfica. Aún no hemos definido lo que significa “tangente” en términos de curvas en el espacio; de hecho, utilizamos la derivada para definir este término.

    Definición 71: Vector tangente, línea tangente

    Dejar\(\vecs r(t)\) ser una función valorada vectorialmente diferenciable en un intervalo abierto\(I\) que contiene\(c\), donde\(\vecs r ^\prime(c)\neq \vecs 0\).

    1. Un vector\(\vecs v\) es tangente a la gráfica de\(\vecs r(t)\) at\(t=c\) if\(\vecs v\) es paralelo a\(\vecs r ^\prime(c)\).
    2. La línea tangente} a la gráfica de\(\vecs r(t)\) at\(t=c\) es la línea a través\(\vecs r(c)\) con dirección paralela a\(\vecs r ^\prime(c)\). Una ecuación de la línea tangente es
      \[\vecs \ell(t) = \vecs r(c) + t\,\vecs r ^\prime(c).\]

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Finding tangent lines to curves in space

    \(\vecs r(t) = \langle t,t^2,t^3\rangle\)Vamos\([-1.5,1.5]\). Encuentra la ecuación vectorial de la línea tangente a la gráfica de\(\vecs r\) at\(t=-1\).

    Solución

    Para encontrar la ecuación de una línea, necesitamos un punto en la línea y la dirección de la línea. El punto viene dado por\(\vecs r(-1) = \langle -1,1,-1\rangle\). (Para ser claros,\(\langle -1,1,-1\rangle\) es un vector, no un punto, sino que usamos el punto “apuntado” por este vector.)

    La dirección viene de\(\vecs r ^\prime(-1)\). Calculamos, en cuanto a componentes,\(\vecs r ^\prime(t) = \langle 1,2t, 3t^2\rangle\). Así\(\vecs r ^\prime(-1) = \langle 1,-2,3\rangle\).

    La ecuación vectorial de la línea es\(\ell(t) = \langle -1,1,-1\rangle + t\langle 1,-2,3\rangle\). Esta línea y\(\vecs r(t)\) se esbozan, desde dos perspectivas, en Figura\(\PageIndex{4a}\) y\(\PageIndex{4b}\).

    imageedit_10_9965768232.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): Graficando una curva en el espacio con su línea tangente.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Finding tangent lines to curves

    Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes a\(\vecs r(t) = \langle t^3,t^2\rangle\) at\(t=-1\) y\(t=0\).

    Solución

    Nos encontramos con eso\(\vecs r ^\prime(t) = \langle 3t^2,2t\rangle\). En\(t=-1\), tenemos

    \[\vecs r(-1) = \langle -1,1\rangle\quad \text{and}\quad \vecs r ^\prime(-1) = \langle 3,-2\rangle, \nonumber\]

    por lo que la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(\vecs r(t)\) at\(t=-1\) es

    \[\ell(t) = \langle -1,1\rangle + t\langle 3,-2\rangle. \nonumber\]

    Esta línea se grafica con\(\vecs r(t)\) en la Figura\(\PageIndex{5}\).

    imageedit_14_8739213939.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Gráfica\(\vecs{r}(t)\) y su línea tangente en Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    ¡En\(t=0\), tenemos\(\vecs r ^\prime(0) = \langle 0,0\rangle=\vecs 0\)! Esto implica que la línea tangente “no tiene dirección”. No podemos aplicar la Definición 71, de ahí que no podamos encontrar la ecuación de la línea tangente.

    No pudimos calcular la ecuación de la línea tangente a\(\vecs r(t)= \langle t^3,t^2\rangle\) at\(t=0\) porque\(\vecs r ^\prime(0) = \vecs 0\). El gráfico de la Figura 11.12 muestra que hay una cúspide en este punto. Esto nos lleva a otra definición de suave, previamente definida por la Definición 46 en la Sección 9.2.

    Definición 72: Funciones suavizadas con valores vectoriales

    Dejar\(\vecs r(t)\) ser una función valorada vectorialmente diferenciable en un intervalo abierto\(I\). \(\vecs r(t)\)es suave en\(I\) si está\(\vecs r ^\prime(t)\neq \vecs 0\) encendido\(I\).

    Habiendo establecido derivados de funciones vectoriales, ahora exploramos las relaciones entre la derivada y otras operaciones vectoriales. El siguiente teorema establece cómo la derivada interactúa con la adición de vectores y los diversos productos vectoriales.

    TEOREM 92: Propiedades de Derivadas de Funciones Vectoriales

    Dejar\(\vecs r\) y\(\vecs s\) ser funciones vectoriales diferenciables, dejar\(f\) ser una función diferenciable de valor real, y dejar\(c\) ser un número real.

    1. \( \frac{d}{dt}\Big(\vecs r(t) \pm \vecs s(t)\Big) = \vecs r ^\prime(t) \pm \vecs s\,'(t)\)
    2. \( \frac{d}{dt}\Big(c\vecs r(t)\Big) = c\vecs r ^\prime(t)\)
    3. \(\frac{d}{dt}\Big(f(t)\vecs r(t)\Big) = f^\prime (t)\vecs r(t) + f(t)\vecs r ^\prime(t)\)Regla del producto
    4. \(\frac{d}{dt}\Big(\vecs r(t)\cdot \vecs s(t) \Big) = \vecs r ^\prime(t)\cdot \vecs s(t) + \vecs r(t)\cdot \vecs s\,'(t)\)Regla del producto
    5. \(\frac{d}{dt}\Big(\vecs r(t)\times \vecs s(t) \Big) = \vecs r ^\prime(t)\times \vecs s(t) + \vecs r(t)\times \vecs s\,'(t)\)Regla del producto
    6. \(\frac{d}{dt}\Big(\vecs r\big(f(t)\big)\Big) = \vecs r ^\prime\big(f(t)\big)f^\prime (t)\)Regla de la Cadena

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Using derivative properties of vector-valued functions

    Dejar\(\vecs r(t) = \langle t, t^2-1\rangle\) y dejar\(\vecs u(t)\) ser el vector unitario que apunta en la dirección de\(\vecs r(t)\).

    1. Gráfica\(\vecs r(t)\) y\(\vecs u(t)\) en los mismos ejes, en\([-2,2]\).
    2. Encontrar\(\vecs u\,'(t)\) y bosquejar\(\vecs u\,'(-2)\),\(\vecs u\,'(-1)\) y\(\vecs u\,'(0)\). Esbozar cada uno con punto inicial el punto correspondiente en la gráfica de\(\vecs u\).

    Solución

    1. Para formar el vector unitario que apunta en la dirección de\(\vecs r\), necesitamos dividirlo\(\vecs r(t)\) por su magnitud.
      \[\norm{\vecs r(t)} = \sqrt{t^2+(t^2-1)^2} \quad \Rightarrow \quad \vecs u(t) = \frac{1}{\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}}\langle t,t^2-1\rangle.\]
      \(\vecs r(t)\)y\(\vecs u(t)\) se representan gráficamente en la Figura 11.13. Observe cómo la gráfica de\(\vecs u(t)\) forma parte de un círculo; este debe ser el caso, ya que la longitud de\(\vecs u(t)\) es 1 para todos\(t\).
    2. Para calcular\(\vecs u\,'(t)\), usamos el Teorema 92, la escritura\[\vecs u(t) = f(t)\vecs r(t),\quad \text{where}\quad f(t) = \frac{1}{\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}}=\big(t^2+(t^2-1)^2\big)^{-1/2}.\]
      (Podríamos escribir\[\vecs u(t) = \langle \frac{t}{\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}}, \frac{t^2-1}{\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}}\rangle\]
      y luego tomar la derivada. Es una cuestión de preferencia; este último método requiere dos aplicaciones de la Regla de Cociente donde nuestro método utiliza las Reglas de Producto y de Cadena.)

      Encontramos\(f^\prime (t)\) usando la Regla de Cadena: Ahora\[\begin{align*}f^\prime (t) &= -\frac12\big(t^2+(t^2-1)^2\big)^{-3/2}\big(2t+2(t^2-1)(2t)\big)\\&= -\frac{2t(2t^2-1)}{2\big(\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}\,\big)^3}\end{align*}\]

      encontramos\(\vecs u\,'(t)\) usando la parte 3 del Teorema 92:\[\begin{align*}\vecs u\,'(t) &= f^\prime (t)\vecs u(t) + f(t)\vecs u\,'(t) \\&= -\frac{2t(2t^2-1)}{2\big(\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}\,\big)^3}\langle t,t^2-1\rangle + \frac{1}{\sqrt{t^2+(t^2-1)^2}}\langle 1,2t\rangle.\end{align*}\]

      Esto es cierto que es muy “desordenado”; tal suele ser el caso cuando tratamos con vectores unitarios. Podemos usar esta fórmula para calcular\(\vecs u\,(-2)\),\(\vecs u\,(-1)\) y\(\vecs u\,(0)\):\[\begin{align*}\vecs u\,(-2) &= \langle -\frac{15}{13 \sqrt{13}},-\frac{10}{13\sqrt{13}}\rangle \approx \langle -0.320,-0.213\rangle\\\vecs u\,(-1) &= \langle 0,-2\rangle\\\vecs u\,(0) &= \langle 1,0\rangle\end{align*}\]
    imageedit_18_7203514646.png
    Figura\(\PageIndex{6}\): Graficar\(\vecs{r}(t)\text{ and } \vecs{u}(t)\) en Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Cada uno de estos está bosquejado en la Figura\(\PageIndex{6}\). Observe cómo la longitud del vector da una indicación de la rapidez con la que se está rastreando el círculo en ese punto. Cuando\(t=-2\), el círculo se está dibujando relativamente lento; cuando\(t=-1\), el círculo se está trazando mucho más rápidamente.

    Es un hecho geométrico básico que una línea tangente a un círculo en un punto\(P\) es perpendicular a la línea que pasa por el centro del círculo y\(P\). Esto se ilustra en la Figura 11.14; cada vector tangente es perpendicular a la línea que pasa por su punto inicial y el centro del círculo. Dado que el centro del círculo es el origen, podemos afirmar esto de otra manera:\(\vecs u\,'(t)\) es ortogonal a\(\vecs u(t)\).

    Recordemos que el producto punto sirve como prueba de ortogonalidad: si\(\vecs u\cdot \vecs v = 0\), entonces\(\vecs u\) es ortogonal a\(\vecs v\). Así, en el ejemplo anterior,\(\vecs u(t)\cdot \vecs u\,'(t)=0\).

    Esto es cierto para cualquier función con valor vectorial que tenga una longitud constante, es decir, que rastrea parte de un círculo. Tiene implicaciones importantes más adelante, por lo que la declaramos como teorema (y dejamos su prueba formal como un Ejercicio).

    TEORAMA 93 Funciones Vectoriales de Longitud Constante

    Let\(\vecs r(t)\) Ser una función diferenciable valorada por vector en un intervalo abierto\(I\) de longitud constante. Es decir,\(\norm{\vecs r(t)} = c\) para todos\(t\) en\(I\) (equivalentemente,\(\vecs r(t)\cdot \vecs r(t) = c^2\) para todos\(t\) en\(I\)). Entonces\(\vecs r(t)\cdot\vecs r ^\prime(t) = 0\) para todos\(t\) en\(I\).

    Integración

    Las integrales indefinidas y definidas de las funciones vectoriales también se evalúan por componentes.

    TEOREM 94: Integrales indefinidas y definidas de funciones con valores vectoriales

    Dejar\(\vecs r(t) = \langle f(t),g(t)\rangle\) ser una función vectorizada en\(\mathbb{R}^2\).

    1. \( \int \vecs r(t)\ dt = \langle \int f(t)\ dt, \int g(t)\ dt\rangle\)
    2. \( \int_a^b \vecs r(t)\ dt = \langle \int_a^b f(t)\ dt, \int_a^b g(t)\ dt\rangle\)

    Una declaración similar se mantiene para las funciones con valores vectoriales en\(\mathbb{R}^3\).

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Evaluating a definite integral of a vector-valued function

    Vamos\(\vecs r(t) = \langle e^{2t},\sin t\rangle\). Evaluar\( \int_0^1 \vecs r(t) \ dt\).

    Solución

    Seguimos el Teorema 94.

    \ [\ begin {align*}
    \ int_0^1\ vecs r (t)\ dt &=\ int_0^1\ langle e^ {2t},\ sin t\ rangle\ dt\
    &=\ langle\ int_0^1 e^ {2t}\ dt\,\ int_0^1\ sin t\ dt\ rangle\\
    &=\ langle\ frac12e^ {2t}\ Big|_0^1\, -\ cos t\ Big|_0^1\ rangle\\
    &=\ langle\ frac 12 (e^2-1)\, -\ cos (1) +1\ rangle\\
    &\ approx\ langle 3.19,0.460\ rangle.
    \ end {alinear*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Solving an initial value problem

    Vamos\(\vecs r ^{\prime\prime}(t) = \langle 2, \cos t, 12t\rangle\). Encuentra\(\vecs r(t)\) dónde:

    1. \(\vecs r(0) = \langle -7,-1,2\rangle\)y
    2. \(\vecs r ^\prime(0) = \langle 5,3,0\rangle.\)

    Solución

    Conociendo\(\vecs r ^{\prime\prime}(t) = \langle 2,\cos t, 12t\rangle\), nos encontramos\(\vecs r ^\prime(t)\) evaluando la integral indefinida.

    \ [\ begin {align*}
    \ int\ vecs r ^ {\ prime\ prime} (t) dt &=\ langle\ int 2 dt\,\ int\ cos t dt\,\ int\ cos t dt\,\ int 12t dt\ rangle\\
    &=\ langle 2t+C_1,\ sin t+ C_2, 6t^2 + C_3\ rangle\\
    &=\ langle 2t,\ sin t,6t^2\ rangle +\ langle C_1, C_2, C_3\ rangle\\
    &= \ langle 2t,\ sin t,6t^2\ rangle +\ vecs C_1.
    \ end {alinear*}\]

    Observe cómo cada integral indefinida crea su propia constante que recolectamos como un vector constante\(\vecs C_1\). Saber nos\(\vecs r ^\prime(0) = \langle 5,3,0\rangle\) permite resolver para\(\vecs C_1\):

    \ [\ begin {align*}
    \ vecs r ^\ prime (t) & =\ langle 2t,\ sin t,6t^2\ rangle +\ vecs C_1\
    \\ vecs r ^\ prime (0) &=\ langle 0,0,0\ rangle +\ vecs C_1\
    \ langle 5,3,0\ rangle &=\ vecs C_1.
    \ end {alinear*}\]

    Entonces\(\vecs r ^\prime(t) = \langle 2t,\sin t,6t^2\rangle + \langle 5,3,0\rangle = \langle 2t+5, \sin t + 3, 6t^2\rangle\). Para encontrar\(\vecs r(t)\), nos integramos una vez más.

    \ [\ begin {align*}
    \ int\ vecs r ^\ prime (t)\ dt &=\ langle\ int 2t+5\ dt,\ int\ sin t + 3\ dt,\ int 6t^2 dt\ rangle\\
    &=\ langle t^2+5t, -\ cos t + 3t, 2t^3\ rangle +\ vecs C_2.
    \ end {alinear*}\]

    Con\(\vecs r(0) = \langle -7,-1,2\rangle\), resolvemos para\(\vecs C_2\):

    \ [\ begin {align*}
    \ vecs r (t) &=\ langle t^2+5t, -\ cos t + 3t, 2t^3\ rangle +\ vecs C_2
    \\ vecs r (0) &=\ langle 0, -1,0\ rangle +\ vecs C_2
    \\ langle -7, -1,2\ rangle\ langle 0, -1,0\ arangle +\ vecs C_2\\
    \ langle -7,0,2\ rangle &=\ vecs C_2.
    \ end {alinear*}\]

    Entonces\(\vecs r(t) = \langle t^2+5t, -\cos t + 3t, 2t^3\rangle + \langle -7,0,2\rangle = \langle t^2+5t-7,-\cos t+3t,2t^3+2\rangle.\)

    ¿Qué significa la integración de una función vectorizada? Hay muchas aplicaciones, pero ninguna tan directa como “el área bajo la curva” que usamos para entender la integral de una función de valor real.

    Una comprensión clave para nosotros proviene de considerar la integral de una derivada:\[\int_a^b \vecs r ^\prime(t) dt = \vecs r(t)\Big|_a^b = \vecs r(b)-\vecs r(a).\]
    Integrar una función de tasa de cambio da desplazamiento.

    Observando que las funciones vectoriales están estrechamente relacionadas con ecuaciones paramétricas, podemos describir la longitud del arco de la gráfica de una función valorada por vector como una integral. Dadas las ecuaciones paramétricas\(x=f(t)\)\(y=g(t)\),, la longitud del arco en\([a,b]\) de la gráfica es

    \[\text{Arc Length} = \int_a^b\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2} dt,\]

    como se afirma en el Teorema 82 en la Sección 9.3. Si\(\vecs r (t) = \langle f(t), g(t)\rangle\), tenga en cuenta que\(\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2} = \norm{\vecs r ^\prime(t)}\). Por lo tanto, podemos expresar la longitud del arco de la gráfica de una función valorada por vector como una integral de la magnitud de su derivada.

    TEORAMA 95: Longitud de Arco de una Función Vectorial

    Dejar\(\vecs r (t)\) ser una función vector-valorada donde\(\vecs r ^\prime(t)\) es continua en\([a,b]\). La longitud\(L\) del arco de la gráfica de\(\vecs r (t)\) es\[L = \int_a^b \norm{\vecs r ^\prime(t)}\ dt.\]

    Tenga en cuenta que en realidad estamos integrando una función escalar aquí, no una función de valor vectorial.

    El siguiente apartado toma lo que hemos establecido hasta ahora y lo aplica a los objetos en movimiento. Dejaremos\(\vecs r (t)\) describir la trayectoria de un objeto en el plano o en el espacio y descubriremos la información proporcionada por\(\vecs r ^\prime(t)\) y\(\vecs r ^{\prime\prime}(t)\).


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